相场模拟形态比对电迁移诱发夹杂演化的影响

董聪聪，黄佩珍

（南京航空航天大学机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏 南京 210016）

集成电路的制程工艺已深入亚微米/纳米级别。由于特征尺寸的缩小，金属互连导线不可避免地会产生诸如裂纹、空洞等微缺陷［1］。这些原生微缺陷极大地影响了互连导线材料的性能，加速了互连导线失效过程。其中，夹杂是一种典型的微缺陷。

在高电流密度下，金属互连导线内部大量的电子流逆着电场方向运动形成“电子风”，与金属阳离子碰撞并传递动量，使金属阳离子沿着与电子流相同的方向运动，即电迁移现象［2］。当金属互连导线的特征尺寸低于150 nm时，电迁移是决定互连导线寿命与可靠性的主导因素［3］。此外，电迁移诱发夹杂进行诸如粗化、分裂或聚合等复杂演化［4-6］，会极大地限制了互连导线的使用寿命。研究金属互连导线中夹杂的形貌演化机理主要有两个应用：（1）对改善电子器件的可靠性与寿命具有重要价值［7］；（2）对纳米图案的形成、制备有着重要意义［8］。

当前研究电迁移诱发金属互连导线夹杂演化的数值模拟方法主要有尖锐界面法和相场法。

尖锐界面法假设基体-夹杂之间的界面是完美而无厚度的，其优点在于基体-夹杂之间的界面可被表示为边界积分方程［9］，易于程序实现。相场法将基体-夹杂之间的界面视为有限厚度层，通过引入一个或数个可随时间与空间连续变化的相场变量描述界面，避免了界面的显式追踪［10］。

基于以上数值模拟方法，得到了大量的数值模拟结果。既往报道表明，存在7个对相应演化结果具有重要影响的参数［11-14］：相对电场强度、线宽比、初始形态比、基体与夹杂的电阻（导）率之比、各向异性强度、晶体取向对称轴数、快速扩散方向与电场方向的偏转角。

然而，上述这些工作对初始形态比的研究还不足。尽管He等［13］基于尖锐界面法探讨了初始形态比对绝缘夹杂形貌演化的影响，但其研究限于微米级，且未考虑初始形态比小于1的取值，也未考虑界面扩散的各向异性。因此本文采用结合自适应网格技术［15］的相场法，分析初始形态比对纳米尺度的导电椭圆夹杂在电迁移诱发各向异性界面扩散下演化的影响。

1 基本理论

考虑如图1所示的单晶二维互连导线模型。互连导线的线长与线宽依次为L、H，其两端的电势差为φ∞。在有限尺寸的金属基体中，存在半轴长分别为a、b的初始椭圆夹杂。基体与夹杂的电导率依次为ξm和ξi。λ=ξi/ξm为电导率之比，β=a/b为初始形态比。序参数ϕ的值用以表征不同的相：夹杂区域R-中ϕ=-1，基体区域R+中ϕ=+1，界面层RI内ϕ为由-1到+1的连续变化。

在外电场作用下，系统总自由能泛函G的构造形式为

其中，γi为界面张力，ε为与界面层厚度相关的梯度能量系数，表示无量纲系数，其中W为两平衡相之间的势垒高度。体自由能密度fbk、梯度自由能密度fgr和电势能密度fe组成系统的总自由能密度G，分别为

其中，式（2）中的fbk采用四次双阱势函数。式（4）中，φ为电势，Ω为单位原子体积，Z∗为原子的有效化合键，e为电子电荷。

由G对ϕ的变分导数推导出化学势u为

驱动力∇u和界面的原子流量J呈线性关系，即

式（7）确保了原子的界面扩散只发生在RI内。引入的各向异性函数f(θ)［11］为

其中，Q为各向异性强度，j为晶体取向对称轴数，θ0为快速扩散方向与电场方向的偏转角，，表示夹杂表面的局部切线方向与外电场顺时针方向（正x轴）形成的夹角，它与序参数ϕ的耦合是引入各向异性界面扩散的关键。

由于质量守恒的约束，ϕ对时间t的变化率为

式（8）为修正的四阶Cahn-Hilliard方程，即

求解式（9）需要联立电势φ的拉普拉斯方程，即

式（10）中，ξ(ϕ)表示与序参数ϕ相关的电导率。

2 可靠性验证

首先根据前文的相场控制方程，基于MOOSE编制有限元程序，再进行程序可靠性验证。在无限大且各向同性的金属材料中，考虑半径为R的圆形夹杂（β=1），对导线施加小电场，则夹杂保持圆形并沿电场方向稳定漂移的理论解［12］为

下标th和num分别表示理论解和数值解。由图2可见，数值解与理论解吻合良好，故本文的有限元算法是可靠的。

3 数值模拟与讨论

本节数值模拟电迁移诱发各向异性界面扩散下夹杂的形貌演化规律，讨论不同β对夹杂形貌演化的影响。外电场的方向均为从左向右。晶体取向为<110>方向，则j=1。其余参数分别为χ=30，λ=1，θ0=0∘，Q=5。

3.1 初始形态比β<1的演化

图3-4所示为β=0.25、0.30和0.50时夹杂的形貌演化图。由图3可见，夹杂经历了复杂的形貌演化。椭圆夹杂沿电场方向内凹形成“锯齿”形，“锯齿”随着演化的进一步进行而沿电场方向延伸，最终导致夹杂沿垂直电场方向分裂为5个相似的“指”形。分裂之后的“指”形夹杂沿电场方向稳定迁移。由图4可见，β=0.30的夹杂最终分裂为4个“指”形夹杂，而β=0.50的夹杂分裂为2个“指”形夹杂。可见，随着β的增大，分裂完成的时间减少，而分裂之后“指”形夹杂的长度增大。

3.2 初始形态比β>1的演化

图5所示为β=2、3和4时夹杂的形貌演化图。由图5可见，夹杂沿电场方向迁移，夹杂前端向电场方向延伸，夹杂尾端垂直于电场方向的长度缩小。而且，β=4的夹杂前端的延伸长度比β=2、3更长。此外，三者均未发生失稳分裂。

如图6所示，曲线的斜率为夹杂迁移速度。当t͂<0.15时，夹杂形貌还不稳定；当t͂≥0.15时，夹杂保持稳定形貌迁移。而且，随着β的增加，稳定形态的夹杂迁移速度逐渐减小。

4 结 论

本文建立了电迁移诱发各向异性界面扩散下夹杂演化的相场模型，模拟了初始形态比β对λ=1时夹杂形貌演化的影响，得到主要结论如下。

（1）电迁移驱动下，夹杂沿电场方向发生迁移，并存在分裂与稳定两种演化模式。

（2）若β<1，则β越小，夹杂越易发生分裂，分裂形成的新夹杂数目越多，新夹杂保持稳定迁移时的x向长度越短。

（3）若β>1，则β越大，夹杂前端延伸越长，稳定形态的迁移速度越小。