初中数学教学中数形结合思想的应用——以“全等三角形的判定”为例

曾琪瑛 (大亚湾区澳头实验学校,广东 惠州 516000)

对于推理能力培养的关注，有两个因素值得研究：一是传统的初中数学教学中，推理能力的培养一直被重视，学生针对数学构建自己的知识和结构的过程中，会自然加强自己的推理能力，并且中学生在抽象能力迅速发展的黄金时期，会不自觉地利用推理来解决数学问题；二是核心素养对初中数学教学的规范作用，在进行数学核心素养的教学渗透中，关键的要素中就蕴含着逻辑推理，哪怕逻辑推理只是推理的一部分，但针对初中数学课程教学，推理的价值和地位已经不可忽视.总结初中数学的教学经验，会有太多的时机可以进行学生推理能力的有效培养，笔者在大亚湾区澳头实验学校从教28年初中数学，发现效果非常理想.下面就通过对这种教学方式的教学经验，谈谈数学教学的几点体会.

一、数形结合的概念

在初中数学教学中，所谓数形结合就是代数含义和几何含义的有机结合，换言之就是按照数学问题的相关条件和获得的结论之间的内在联系，即可以对代数含义进行分析，又可以对几何意义进行揭示，形成数量关系和空间形式的有机融合，在这种融合中形成正确的解题思路，圆满解决数学问题.在古今中外的数学研究中，数与形一直是最古老、最本质的两个方面，两者之间的紧密结合既是极其重要的数学思想，也是可以普遍应用的数学方式.数学家华罗庚曾经指出：“数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,割裂分家万事休.”从该形象而精辟的阐述不难看出，在与形相关的数学教学研究中，相关数形结合的理念的重要性，也奠定了数学解题理论的实践基础.

二、 初中数学教学中数形结合思想的重要意义

(一)数形结合思想在初中数学中的地位

在数学理论和数学思想中，数形结合思想是其中极其重要的组成部分，其方式方法在数学教学中占据重要地位.该方式不仅使用灵活，且具有极强的应用性，可以有效将数轴坐标系、圆、多边形的几何知识与函数、方程、不等式等代数知识有机结合，可以推进学生学习过程中构建系统高效的数学思维体系，同时显著提升教师的教学效率，优化了数学教学的解题模式.

(二)数形结合思想在初中数学中的意义

对于提升学生思维的灵活性和敏捷性，数形结合思想效果明显.该思维为学生解题提供了便捷、灵活的新思路，可以利用图形的组合解释繁杂的数量关系.学生可以认真大胆地猜测阅读题目，分析判断给出的条件转化的可能性，让解题思路大大拓宽，从而提升了学生思维的灵活性和敏捷性.数形结合最大的优势就是将抽象复杂的数学问题转化为直观简单.在新课程标准的数学教材中插入了诸多的图形，这些貌似简单的图形却蕴含着关键的数学知识和方法，有些需要很多文字才能表达清楚的定理只要一张图就能解释.因此，教师可以利用这些插图与实际例题结合，将概念定理巧妙引入其中，养成学生用图形记忆概念、处理问题的习惯，将抽象化为具体，将复杂变为简洁，充分发挥了数形结合的价值.

二、数形结合的基本方式

(一)以数助形

数指的是代数，形指的是几何，这两者是中学数学中两个关键的研究课题，而两种因素又是联系密切.具体在数学解题中，表现为“以数助形”和“以形助数”两个方面.数与形就是数学的两条腿，想真正理解数与形的关系，必须深刻体会“以数助形”和“以形助数”，同时更要体会数与形各自的优势和缺陷，然后互相补充.上文中华罗庚关于数与形关系的精辟阐述，很恰当地总结了数形结合以及相辅相成的要点.数形结合不但在教学思想中存在，更是一种不可替代的数学学习方式.

要想在初中的数学解题中真正实现“数形结合”的目标，必须熟悉和清楚两者之间的常态应用的结合点，通过对“以数助形”的深度分析，结合点有两个层面的意思：第一，几何问题的代数化可以利用数轴和坐标系实现，在以后的高中数学中，还要接触通过向量将几何问题代数化的模式；第二，通过距离、面积、角度等几何量处理几何难题.例如，借助勾股定理对直角进行证明，通过线段比例证明相似度，会收到意想不到的效果，激发了学生对数学的浓厚兴趣.

(二)以形助数

几何图形具备直观易懂的鲜明特点，所以在数形结合的教学实践中，无论是教师和学生都比较注重于“以形助数”的思维模式，代数现象通过几何图形阐述，会收到事半功倍的神奇效果，可以激发学生的数学兴趣，将几何图形用于解决代数问题表现在两个方面：第一，通过几何图形更好地记忆代数公式；第二，借助坐标系和数轴把代数表达式向几何意义转化，通过形象构造鲜明的几何图形直观处理代数问题，也可以对代数运算进行简化.例如，可以利用全等三角形的判定的相关图形，解决代数的问题，可以收到神奇的解题效果.

三、数形结合中培养推理能力的意义

如果想利用数形结合的方式培养学生的推理能力，那么必须在教学理念上进行深入的认知，要明白它实质体现的是一种对应的数与形的关系，数学问题是利用数与形的转化来解决的.所谓的数学问题的解决，第一是接触新的数学知识时候解决的问题，第二是数学知识构建之后解决的问题.无论是第一点还是第二点，我们都可以利用推理的方式来进行问题解决.例如利用“全等三角形”的知识来说明问题.因为会有大量的逻辑推理方式蕴含在全等三角形的判定知识的教学中，在全等三角形的性质基础上探求全等三角形的判断规则，整个学习过程都带着探究趣味.该学习过程学生会利用证明中的证实或者证伪，对自己猜想是不是符合判定法则进行有效的判断，全等性质包含着逻辑推理，也就是利用三边相等和三角相等，对得出的可能的判定依据进行推理，由此，“边边边”客观上是根据全等形“完全重合”的理念，貌似利用直觉维度推理出来的“角角角”“边角边”“角边角”“角角边”“边边角”等，推理结果马上形成后，对这些推理进行实证或者证伪，就形成了又一个可以运用的推理过程.

四、基于数形结合案例培养学生推理能力简析

客观上，在“全等三角形”数学课程中，以数形结合的方式训练学生推理能力，业界也进行过相似的研究，其典型的论断是：中学数学教学目标之一就是养成学生一定逻辑推理的能力，初中数学教师对学生这种能力的培养责任重大，而“全等三角形”会发挥举足轻重的作用，笔者完全赞同上面的三要素，所实现的目标是让学生思维融入推理过程中去，就客观上形成了推理能力培养的合理空间.具体的教学程序设计如下：

(一)将数形结合思想导入全等三角形知识中

在开始进行全等三角形课程前，教师可根据数形结合的思想进行全等三角形知识导入，通过其合理的应用为新课程展开奠定基础，利用该方式对量与全等三角形之间关系进行阐述，利用这样的方式将学生对全等三角形的兴趣和好奇心逐渐激发出来.例如，在进行相关全等三角形新课程教学时，教师要利用灵活的方式将数形结合的理念渗透到课程中，学生在教师的思路引导下实际操作，可以在硬纸板上分别画出三边为3 cm，4 cm，5 cm的三角形，然后将这些三角形从硬纸板上抠出来，重叠后与其他同学的三角形进行对比，同时可以讨论自己的发现.这样的教学可以促进学生进入良好的学习状态，更可以对全等三角形含义有深刻的理解.

方案一：复习引入.总结边角边公理和角边角公理的条件得出两个三角形全等的判定需要三个条件.启发学生想一想，如果将这三个条件变换为三个角对应相等或三条边对应相等，那么两个三角形是否还全等?

方案二：实验引入.根据已有验证边角边公理和角边角公理的真实性的经验，验证按如下要求画出的△A′B′C′是否和已知的△ABC全等.

图1

方案三：电子演示.在图2中的两个三角形中，A′B′=AB,A′C′=AC,∠A′=∠A，△A′B′C′是否与△ABC全等？

图2

(二)将数形结合理念渗透在全等三角形知识的讲授中

可以通过数学量的方式直观化或抽象化展示全等三角形的有关概念，让学生通过数形结合的思维完成形象化的图形数量化.例如，教师在教学“边边边”的全等三角形的公理的时候，完全可以利用数形结合来教学，可以将两个三角形画在黑板上，一个三角形的三边分别为4 cm，3 cm，5 cm，另一个三角形的三边分别为5 cm，4 cm，3 cm.根据这两个三角形，教师提问学生：黑板上的两个三角形是全等三角形吗？教师通过这样数形结合的模式实施教学，最大化地活跃了学生的思维，让学生感觉到数学学习的轻松和简易.

1.案例1：已知，如图3所示，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，点F在AD上，BF的延长线交AC于点E.

图3

(1)求证：△ABD≌△CFD；

(2)求证：BE⊥AC；

(3)设CE的长为m，用含m的代数式表示AC+BF.

2.分析

(1)由AD⊥BC于点D，AD=DC，∠FCD=∠BAD，根据ASA，即可判定：

△ABD≌△CFD；

(2)由△ABD≌△CFD，可得BD=DF，继而可得△BDF与△ACD是等腰直角三角形，则可求得∠AEF=90°，证得BE⊥AC；

(3)根据图形中边与边之间的关系，易得：

AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m.

3.解答

证明：(1) ∵AD⊥BC于点D,∴∠ADB=∠ADC=90°.

在△ABD和△CFD中,

∠BAD=∠FCD,

AD=CD,

∠ADB=∠CDF,

∴△ABD≌△CFD.

(2)∵△ABD≌△CFD,∴BD=DF.

∴∠FBD=∠BFD=45°.

∴∠AFE=∠BFD=45°.

又∵AD=DC,∴∠DAC=∠ACD=45°.∴∠AEF=90°.

∴BE⊥AC.

解：(3)∵∠EBC=∠ACD=45°，CE=m,

∴BE=CE=m.

又 ∵∠AFE=∠FAE=45°,∴AE=FE.

∴AC+BF=CE+AE+BF=CE+EF+BF=CE+BE=CE+CE=2m.

4.小结

本题对全等三角形的性质和判定进行了考查，考查了等腰三角形以及等腰三角形的性质和判定、垂直定义等知识点的综合运用，难度适中，以扎实掌握和应用数形结合的思想.

(三)将数形结合思想融入全等三角形知识的练习中

在全等三角形练习题中合理应用数形结合思想，可以培养学生的数学思考能力，是教师传授数学思想的最有效的途径，同时将数形结合思想应用到全等三角形的解题中，可以有效促进图形与数量间的彼此转化，以降低数学练习题的解题难度，让学生解题的思维更灵活、更广阔，通过数形结合判定全等三角形的相关命题变得容易方便.

1.案例2：如图4所示，△ABD，△AEC都是等边三角形.求证：BE=DC.

图4

2.问题解析

解题指导：(1)数学思想：数形结合的数学思想；(2)解题方法：主要是构造全等三角形，正确地利用等边三角形中隐含的条件证明全等是解决本题的关键.

解题分析：由△ABD和△AEC均为等边三角形，可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=60°，继而可利用SAS证得△BAE≌△DAC，则可证得BE=DC.

证明：在等边△ABD中，有AD=AB，且∠DAB=60°.

在等边△AEC中，有AE=AC，且∠EAC=60°.

∴∠DAB=∠EAC.

由图可知，

∠DAC=∠DAB+∠BAC，

∠BAE=∠EAC+∠BAC，

∴∠DAC=∠BAE.

在△DAC和△BAE中，

AD=AB，∠DAC=∠BAE，AC=AE,

∴△DAC≌△BAE(SAS),∴BE=DC.

3.命题评价

本题利用三角形全等的知识以及等边三角形的性质，利用数形结合针对学生基本技能和基础知识掌握情况进行考查.这道题体现了学生对知识应用的整体能力，充分激发了学生学习数学的积极性，提升了数学学习的信心.同时又培养了学生利用数形结合的推理论证能力和语言表达能力.

(四)在全等三角形判定中注重归纳，提高解题能力

不能将课堂知识总结理解为形式化的“电影回放”.而是要引导学生冲破原有的知识体系，重构新的知识体系，在创新方式和观念内化中充实核心素养.通常情况下，可以从三个层次梳理一节课的知识，首先要总结基础知识，在探索阶段的梳理要侧重学习方式的提炼，最后的总结注重问题解决应用方法的渗透.

从以下几个方面归纳总结：

① 三条边与两个三角形的同余进行对应，表现形式为“边边边”(“SSS”).锻炼学生归纳、整合和表述的能力，在“边边边”判断法中深刻理解文字语言、几何语言和图形语言三者的内在联系，创立合理的模式以供后续使用.

② 分类勘探法的基本环节是：在少而弱到多而强的过渡中，形成通用的模式进行分类探究，为以后的数学学习服务.

③ 对主题中“有什么”的条件进行分析，是教师引导学生必须进行的实践课，利用特殊符号表达主题条件同时整合到图形内，让学生辨别特殊符号就可以理解条件和相关的问题，并根据结果和定理有效分析图形，找出“缺什么”的条件，使目标方向清晰，思考问题的思路清晰，从而得出“缺什么”，为解释问题提供了基本模型.

课堂延展分析：图5中的已知条件，在△ABF和△DCE中，AB=DC,AE=CF,BF=DE,△ABF与△DCE全等吗？为什么？

图5

通过如此练习，方可更有效地引导和发展思维，引导学生首先发现和观察问题，利用特殊符号代表问题条件，同时融入图形中，辨识图形符号就能够获悉“有什么”和“缺什么”，为今后学习几何证明的思路奠定了基础.

五、从数形结合培养推理能力看核心素养培育

在上述案例中，数学内涵最基本的思路就是数形结合，通过深刻认知全等三角形的“形”，通过判断“数”的逻辑关系，这个推理过程自然形成，并借助这个推理过程，学生获得了正确的全等三角形判定法则.因而这是一个完整的基于数形结合培养推理能力的教学过程，这也印证了数形结合是重要的数学思想，广泛应用在数学知识的建构与问题解决中.

在数学的核心素养中逻辑推理的地位是举足轻重的，将核心素养思维渗透到教学的各个环节，就是数学与核心素养的有机结合.但在数学学科中培养学生的核心素养，难以实现全要素都普及的目标，而是必须进行取舍和抓住重点，从这个角度说，数学教育中注重学生推理能力的培养，也是数学核心素养进行实践的过程.

通过上述案例不难看出，对学生推理能力的培养也是综合能力和方法的培养，必须与实际的数学知识相结合或者合理运用，而这个学习与运用又是需要方法支撑的，对于数学知识而言，数形结合的思想既是知识方法的构建，也是关键的数学思想.已经被广泛应用的数形结合，为学生推理能力的培养开拓了更广的空间，如果学生有兴趣研究“形”，就会有更大兴趣去探索数并通过“数”来概括这个形，进行概括描述的时候，倘若存在其他需要，那么数形结合就是深度融合推理能力的培养过程.

六、总 结

数学思想体系中重要的一类就是数形结合的思想，该方式可以化解极其复杂的问题，促进问题的复杂化变得具体化、简单化、形象化，它包括了数的一丝不苟，并且利用图进行图的直观化，解题过程优化的关键手段，可以深度揭示数学本质的相关问题，切实体现数与形的密切关系.进行“数”的研究中要利用“形”，在进行“形”的性质的探索中却又要应用“数”.教学中应用数形结合的模式，解决了很多的数学难题.总而言之，在全等三角形知识学习中合理应用数形结合的思想，可以大幅度提升学生的数学思想，让学生思维的转换更加灵活和宽阔，全面发展了学生的数学的学习能力.