对称马氏过程梯度型算子弱（1,1）有界性的注记

周博文，张龙腾，梁明杰

（1.福建师范大学 数学与统计学院，福建 福州 350007；2.福建师范大学协和学院，福建 福州 350007；3.三明学院信息工程学院，福建 三明 365004）

对称马氏过程所生成半群的分析性质一直是随机过程与随机分析的主要研究内容，见文献[1-2]。其中，对称马氏过程生成元的Riesz变换是一个非常活跃的研究课题。例如，在假设度量测度空间满足体积倍增(VD)及具有高斯型热核估计条件下，文献[3-5]讨论了对称扩散算子的Riesz变换；文献[6]建立了满足次高斯型热核估计条件下，黎曼流形和图上Riesz变换的LP有界性；文献[10]在紧流形空间上给出了其对应Riesz变换的LP有界性，同时指出了高斯或次高斯热核估计对建立Riesz变换有界的非必要性。文献[3-6]的证明方法强烈依赖于梯度算子的弱（1,1）有界性。然而，轨道不连续马氏过程对应非局部算子的Riesz变换至今仍未系统研究，部分相关结果可参见文献[7]中关于时间依赖非对称稳定型算子的研究。该研究问题的困难主要有两点，一是一般对称马氏过程所对应的梯度型算子是如何定义的；二是如何建立其弱（1,1）有界性。本文的主要贡献是克服上述两个困难，在一般度量测度空间中建立对称马氏过程对应梯度型算子的弱（1,1）有界性，主要的工具是基于狄氏型理论[8-9]与现有文献关于热核估计的相关结果。

1 定理1的证明

2 例子