滤波辨识(1):有限脉冲响应滑动平均系统的滤波增广参数估计

丁 锋,刘喜梅

(1.江南大学 物联网工程学院,江苏 无锡214122;2.青岛科技大学 自动化与电子工程学院,山东 青岛266061)

系统辨识的基本方法包括投影辨识方法、随机梯度辨识方法、最小二乘辨识方法、牛顿辨识方法。这些方法与一些新思想、新理论、新原理、新概念,如 辅助模型辨识思想、多新息辨识理论、递阶辨识原理、耦合辨识概念、滤波辨识理念等[1-7]相结合,诞生出许多辨识方法,如辅助模型投影方法、辅助模型随机梯度方法、辅助模型最小二乘方法、辅助模型牛顿辨识方法等。

从2017年开始在《青岛科技大学学报(自然科学版)》连载“信号建模”论文,从2018年开始连载“传递函数辨识”论文26篇,即遍历26个字母A,B,C,…,Z。最近的连载论文研究了线性回归系统、方程误差系统和输出误差系统的递阶递推辨识方法和递阶迭代辨识方法[8-16]。有限脉冲响应(FIR)模型在信号处理和滤波器设计中用得很多。这里考虑一类有色噪声干扰的有限脉冲响应系统,其干扰是滑动平均(moving average,MA)过程,即有限脉冲响应滑动平均模型(FIR-MA 模型)描述的一类最简单有色噪声干扰的随机控制系统,连载论文研究了有限脉冲响应滑动平均系统的递阶递推参数估计[9]和递阶增广迭代参数估计方法[10]。本研究利用滤波辨识理念,研究FIR-MA 系统的滤波增广递推辨识方法,即滤波增广参数估计方法。

1 FIR-MA 系统及其滤波辨识模型

有限脉冲响应滑动平均(FIR-MA)模型又称为受控滑动平均模型(controlled moving average model,CMA模型)。

考虑下列有限脉冲响应滑动平均模型(FIRMA模型)描述的随机控制系统,

假设阶次n b和n d已知,记n:＝n b＋n d。设t≤0时,各变量的初值为零:u(t)＝0,y(t)＝0,v(t)＝0。

对应于含有滑动平均噪声D(z)v(t)干扰的系统辨识方法称为“增广”辨识方法,即将噪声模型的参数d i增加到参数向量中。因此,当系统中涉及滑动平均噪声项,即MA 噪声干扰时,对应的辨识方法名称中都有“增广”二字,以示区别。

定义参数向量和信息向量:

注1 式(11)和(5)是经过数据滤波后得到的两个辨识模型,即FIR-MA 系统的滤波辨识模型(filtered identification model),一个包含了系统模型的参数向量b,另一个包含了噪声模型的参数向量d,它们包含了系统的所有参数。

注2 滤波辨识模型(11)和(5)中只包含了白噪声干扰v(t),但是滤波输出yf(t),滤波输入信息向量φf(t),噪声w(t)和噪声向量ψ(t)都是未知的,因此必须利用可得到的观测数据{y(t),φ(t)},采用递推或迭代方案,通过对这些未知变量yf(t),φf(t),w(t),ψ(t)和v(t)进行估算,从而提出相应的滤波辨识方法。

2 基于滤波的增广随机梯度方法

3 基于滤波的多新息增广随机梯度方法

4 基于滤波的多新息增广投影方法

下面利用最速下降法推导滤波多新息增广投影辨识方法。考虑从j＝t－p＋1到j＝t的数据窗里的p组数据。定义堆积噪声向量:

假设步长(step size)为μf(t)和μ(t)。使用最速下降法(负梯度搜索),极小化准则函数J3(b)和J4(d),可以得到梯度递推关系:

联立式(58)～(63)和(46)～(57),就得到辨识FIRMA 系统参数向量b和d的基于滤波的多新息增广投影辨识算法,简称滤波多新息增广投影算法(filtered multi-innovation extended projection algorithm,F-MI-EProj算法):

则式(70)～(85)构成了简化的滤波多新息增广投影算法(F-MI-EProj算法)。

5 基于滤波的递推增广梯度方法

根据式(6),(11)和(5),定义堆积输出向量Y(t)和堆积输入信息矩阵Φ(t),堆积滤波输出向量Yf(t)和堆积滤波输入信息矩阵Φf(t),堆积噪声向量W(t)和堆积噪声矩阵Ψ(t)如下:

根据式(11)和(5),定义二次准则函数:

6 基于滤波的多新息递推增广梯度方法

这个算法也称为基于残差的F-MI-REG 算法,读者可以写出基于新息的F-MI-REG 算法,并研究它们的收敛性[3]

7 基于滤波的递推增广最小二乘方法

极小化准则函数J5(b)和J6(d),可以得到下列最小二乘递推关系:

L1(t)∈ℝnb和L2(t)∈ℝn d为增益向量(gain vector),P1(t)∈ℝnb×nb和P2(t)∈ℝn d×n d为协方差矩阵(covariance matrix)。

8 基于滤波的多新息增广最小二乘方法

当p＝1时,上述算法退化为滤波递推增广最小二乘算法(139)～(151)。

注3多新息辨识方法包含多新息递推辨识方法和多新息迭代辨识方法。对于多新息递推辨识方法,常常省略“递推”两个字,将多新息递推最小二乘辨识方法简称为多新息最小二乘辨识方法。如,滤波多新息递推增广最小二乘辨识算法简称为滤波多新息增广最小二乘算法,滤波多新息递推增广最小二乘辨识算法简称为滤波多新息增广最小二乘算法。

9 结 语

针对最简单的方程误差滑动平均(EEMA)系统,即有限脉冲响应滑动平均系统,研究和提出了滤波(多新息)增广随机梯度辨识算法、滤波多新息增广投影辨识算法、滤波(多新息)递推增广梯度辨识算法、滤波(多新息)增广最小二乘辨识算法。尽管这些滤波增广辨识方法是针对滑动平均噪声干扰下的有限脉冲响应随机系统提出的,但是其思想可以推广到有色噪声干扰下的线性和非线性多变量输出误差随机系统中[17-31]。