功率谱二次正交化法在随机地震动响应的应用

葛新广，龚景海，李创第，3，王昌盛

（1.上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240；2.柳州工学院土木建筑学院，广西柳州 545616；3.广西科技大学土木建筑学院，广西柳州 545006；4.黄淮学院建筑工程学院，河南驻马店 463000）

引言

地震是人类生存面临的最主要威胁之一，其威胁体现在强烈地震对工程结构的严重破坏以及导致的大量人员伤亡和财产损失上。为此，人们对地震的研究由来已久。随着地震记录资料的不断积累和对地震发生规律研究的逐渐深入，地震动的随机特性成为工程界的共识［1-4］。自Housner［5］首次提出的白噪声激励模型以来，各国学者陆续提出了用于模拟地震动随机性的模型，如Kanai-Tajimi 谱［6-7］、Clough-Penzien 谱［8］、胡聿贤谱［9］、欧进萍谱［10］、李鸿晶谱［11］等。Kanai-Tajimi 谱是首次提出利用基于白噪声的滤波方程来表示复杂的随机地震动激励的模型，而Clough-Penzien 谱、胡聿贤谱、欧进萍谱、李鸿晶谱等又是Kanai-Tajimi 谱的改进模型，因此地震动随机模型越来越接近实际地震动，但表达式越来越复杂。李鸿晶谱对Kanai-Tajimi 谱中的基岩低频和高频范围同时进行修正，提出了适用性更强的随机地震动模型，但该模型表达式复杂，滤波方程含有频域项，传统方法分析结构地震动响应时结果均较为复杂。目前，鲜有关于李鸿晶谱的工程应用文献。

结构的随机振动分析方法分为时域法［12-14］和频域法［15-18］。在时域法中，结构响应协方差与激励协方差存在二重积分的关系。因此，时域法应用的前提是随机激励要有协方差表达式，且表达式越简单越容易获得简明的响应解。李创第等［19-20］基于复模态方法研究了结构基于Kanai-Tajimi谱或Clough-Penzien 谱的地震动响应，但仅获得方差且表达式比较复杂。在频域法中，结构响应的功率谱与激励的功率谱存在简明的代数关系，而所有的随机激励都是具有功率谱表达式的，因此，该方法应用较为广泛。矩阵直接谱法［16］、虚拟激励法［15，21］和传递函数法［17-18］都是频域法中的典型方法。李春祥等［22］利用传递函数法研究了MTMD 结构基于Kanai-Tajimi谱或Clough-Penzien 谱的地震动响应特征，但结构地震动响应方差分析采用的方法为数值计算。频域法中结构响应的0 阶谱矩等于其方差，2 阶谱矩等于响应变化率的方差，1 阶谱矩则是基于首超破坏和Markov 过程假设进行可靠度分析的重要参数［12，23-25］。然而，无论哪种频域法在获得结构响应功率谱密度函数之后，都需要数值求解获得结构响应的谱矩和方差，计算工作量会随着振动系统的增大而成倍增加。

本文的主要工作有：首先，利用留数原理，给出了李鸿晶谱等效的二次正交式，利用复模态法将结构的二阶地震动方程解耦为一阶系统的线性组合；其次，利用一阶系统的虚拟激励法建立线性结构系列地震动响应（相对于地面位移及速度、层间相对位移及其变化率）的频响函数的二次正交式，进而获得结构系列响应功率谱的二次正交式；最后，基于谱矩的定义及随机振动理论，获得了结构地震动系列响应方差和0 阶、1 阶和2 阶谱矩的简明封闭解。

1 线性结构地震动系列响应频域解的统一表达式

1.1 线性结构广义复模态变量的频域解

对于n层的多、高层线型结构，在地震随机激励下的动力方程：

式中M，C和K分别为结构体系的质量、刚度和阻尼矩阵，元素均为常数和分别为结构层相对于地面的位移、速度和加速度向量；I为n×1 阶常矩阵，用来定位地震动激励；为地震动随机激励。

目前工程上常用的平稳地震动随机激励模型有Kanai-Tajimi 谱［6-7］、Clough-Penzien 谱［8］、胡聿贤谱［9］、欧进萍谱［10］、李鸿晶谱［11］等，它们的功率谱均以有理式的形式表示。其中，李鸿晶谱是一种同时考虑基岩扰动低频和高频，较为准确的随机地震动激励谱，其表达式为［11］：

式中ωl和ωh分别为控制基岩扰动低频和高频成分的参数；ωg和ξg分别为场地基岩上土层的特征频率和阻尼比；S0为基岩扰动白噪声的强度。

由式（2）可知，该表达式极其复杂，且该功率谱的滤波方程为非线性的，用时域法无法求解。若采用频域法，结构地震动响应的谱矩为含有式（2）的积分，只能用数值积分，故存在计算效率和精度的问题。为了获得结构地震动响应的简明封闭解，本文基于留数定律［26］提出了李鸿晶谱的等效二次正交式：

式中

基于随机激励下的结构动力响应主要是时域法和频域法，时域法应用的前提是激励要有协方差，而被工程界认可的地震动激励模型都是以功率谱形式提出，时域法应用时所得解均比较复杂；频域法应用时易于获得结构动力响应的功率谱，但响应的方差和谱矩的计算为数值法。为此，本文提出了结构频响函数的二次正交法。为获得结构频响函数的二次正交形式，引入状态变量：

则式（1）改写为：

式中

式中o1为元素为0 的n×1 阶向量；o2为元素为0的n×n阶方阵。

由复模态法理论［12，20］，式（5）存在右、左特性向量矩阵U，V和特征值矩阵P，并满足：

式中 特征值矩阵P为对角阵；U和V分别为式（5）的右、左特性向量矩阵。

引入复模态变量：

式中Z为广义变量。

把式（5）代入式（6）并利用复模态理论［12，20］，式（5）变为：

式中γ为复模态振型强度系数向量，其表示为：

式（8）的分量形式为：

式中zj，γj和pj分别为Z，γ和P的分量。

由虚拟激励法［15，21］，式（10）的频域解为：

谱密度函数。

1.2 结构地震动系列响应频域解的统一表达式

结构层相对于地面的地震动位移和层间地震动变形是工程结构抗震设计的关键参数；而结构层相对于地面的地震动位移变化率方差和层间地震动位移变化率方差是结构抗震动力可靠度分析的基础。本文研究了上述地震动系列响应的统一解表达式。

式中uj，k为右特征向量矩阵U的第j行第k列元素。

至此，结构各层位移及其变化率，层间变形及其变化率频域解可统一表示为：

式中X(t)表示地震动响应。κk表示响应量对应的模态系数，对于结构第j层位移，κk=uj，k；对于结构第j层速度κk=uj+n，k；对于结构第j（j＞1）层层间位移，κk=uj，k-uj-1，k；对于结构第j（j＞1）层层间位移变化率，κk=uj+1+n，k-uj+n，k。

2 结构响应功率谱的二次正交化

2.1 结构频率响应特征值函数的二次正交化

由虚拟激励法及式（14），结构响应X的功率谱为［15，21］：

把式（11）代入式（15）：

对式（16）进行简化：

式中

式中ηk=κkγk。

由式（18）可知，GX(ω)与地震动激励无关，而仅与结构的振动特征值和要分析的具体响应量有关，它相当于传递函数法中的频响函数模值的平方，为区别于传统方法，称之为结构频率响应特征值函数。对GX(ω)做如下等价变化：

式（19）进一步简化（简化过程见附录1）为：

从式（20）可知，结构频率响应特征值函数GX(ω)表示成结构体系的振动复特征值pi的平方与频域变量ω平方和的倒数的线性组合，即结构的频响函数HX(ω)的二次正交化。结构频率响应特征值函数的二次正交式，表达式简洁明了，为后文获得结构响应0～2 阶谱矩的简明封闭解奠定基础。

2.2 响应功率谱密度函数的二次正交化

由式（3），（17）及（20），则结构地震动响应的功率谱可表示为（具体过程见附录2）：

式中

由式（21）及（22）可知，结构地震动响应功率谱密度函数转化为地震动卓越频率与结构频响函数的简明关系，为后文结构响应方差和0～2 谱矩的分析奠定了基础。

3 响应0～2 阶谱矩及方差的封闭解

由谱矩定义［12］，地震动响应的q阶谱矩αX，q：

3.1 响应的0 阶谱矩及1 阶谱矩简明封闭解

把式（21）代入式（23），则结构响应的谱矩为：

式中

把q=0 及q=1 分别代入式（25）中，可获得和的值（具体见附录3）：

由式（24）和（26a）可获得结构响应的0 阶谱矩；由式（24）和（26b）可获得结构响应的1 阶谱矩。

3.2 地震动响应的2 阶谱矩封闭解

由随机振动理论［12］，平稳地震动响应变化率的0 阶谱矩等于其平稳响应的2 阶谱矩。因此，结构响应的2 阶谱矩可由对于响应量的变化率的0 阶谱矩表示：

由式（24）和（27）可知，结构响应的2 阶谱矩均具有封闭解，且表达式简洁明了。

3.3 地震动响应的方差的封闭解

由随机振动理论［12］，结构响应方差等于其0 阶谱矩，结构响应变化率的方差等于其2 阶谱矩：

由式（24），（27）和（28）可知，本文获得了结构位移响应及其变化率的方差。

4 数值算例

4.1 算例1

单自由度质量为1，结构的自振圆频率ω0=5 rad/s，结构的阻尼比ξ0=0.05。李鸿晶功率谱参数为文献［11］中表3 的广元石井观测站拟合值：S0=1.147 cm2/s3，ξg=0.5，ωg=9.414 rad/s，ωl=3.404 rad/s，ωh=8.955 rad/s。

传统方法的质点位移响应功率谱Sx(ω)和速度响应功率谱分别为：

本文方法获得的质点位移、速度响应功率谱密度函数为式（21），式中pj依据式（6）按照复模态方法获得，κj依据式（14）获得。其中，式（5）的参数如下：

图1 和2 分别为传统方法和本文方法的位移响应功率谱和速度响应功率谱的对比图（图上横坐标间距为0.25 rad/s）。从图中可知，本文方法与传统虚拟激励法完全一致，说明本文所获得的李鸿晶谱等效形式、结构频率响应特征值函数二次正交式和结构响应功率谱的二次正交式的正确性。

图1 位移功率谱对比图Fig.1 Comparison diagram of PSDF of displacement

图2 速度功率谱对比图Fig.2 Comparison diagram of PSDF of velocity

4.2 算例2

对10 层钢筋混凝土一榀框架进行地震动响应分析，结构参数为：柱子截面取600×600 mm2，材料弹性模量E为3.0×1010N/m2，框架跨度为6 m，各层层高为4.2 m，结构阻尼比为0.05，考虑结构自重及荷载等效质量为45 t/层；按刚性楼板假定，结构层间抗侧刚度k=24EI/h3，式中，I为柱截面的惯性矩，h为层高；结构的基本频率为7.08 rad/s。顶层设置TMD 阻尼器，质量为12.4 t，抗侧刚度为6.5×105N/m，阻尼比0.15，TMD的自振频率为7.24 rad/s。李鸿晶功率谱参数与算例1 相同。

顶层设置TMD 的建筑结构可看作在顶层增加一层的结构，采用与传统结构形式一致的运动方程，只是结构部分的阻尼采用瑞利阻尼。

4.2.1 本文方法的正确性验证

为验证本文所获得的结构地震动系列响应0～2阶谱矩及加速度方差的正确性，与虚拟激励法进行对比分析。由于虚拟激励法（PEM）分析结构响应谱矩和方差时受积分步长和积分区间的影响较大，积分区间上限暂定200 rad/s，积分步长取3 种，具体如图3～8所示。由图可知，随着积分步长的减少，虚拟激励法所得谱矩与本文方法越来越接近，说明本文方法的正确性。同时说明，虚拟激励法在分析随机响应谱矩时积分步长的选择对于分析精度至关重要。

图3 位移0 阶谱矩对比图Fig.3 Comparison diagram of 0-order spectral moment of displacement

图4 位移1 阶谱矩对比图Fig.4 Comparison diagram of 1st order spectral moment of displacement

图5 位移2 阶谱矩对比图Fig.5 Comparison diagram of 2nd order spectral moment of displacement

图6 层间位移0 阶谱矩对比图Fig.6 Comparison diagram 0-order spectral moment of interlayer displacement

图7 层间位移1 阶谱矩对比图Fig.7 Comparison diagram of 1st order spectral moment of interlayer displacement

图8 层间位移2 阶谱矩对比图Fig.8 Comparison diagram of 2nd order spectral moment of interlayer displacement

4.2.2 虚拟激励法（PEM）积分区间对其精度的影响分析

由“4.2.1 节”可知，本文方法所获得谱矩为封闭解，且可用来验证虚拟激励法的精度。而目前文献对于虚拟激励法的积分区间没有明确的规定，为此，本文对其合理的积分区间进行了研究。“4.2.1 节”研究表明积分步长取0.05 rad/s 时虚拟激励法基本与本文方法重合，为此，取积分区间上限分别为7.5，15和30 rad/s，取积分步长0.05 rad/s 进行分析，如图9～14所示。

由图9～14 可知，积分区间［0，7.5］rad/s 的虚拟激励法的误差较大；当积分区间为［0，15］rad/s 时，位移和层间位移的0 阶和1 阶谱矩接近精确解（本文方法），而对应的二阶谱矩误差存在一定的偏差；当积分区间为［0，30］rad/s 时，响应的0～2 阶谱矩均与本文方法重合。因此，对于虚拟激励法在分析谱矩时，需要试算积分区间才能保证计算精度。因此，本文方法可用于校核虚拟激励法的分析精度。

图9 PEM 分析位移0 阶谱矩与积分区间关系Fig.9 Relationship between 0-order spectral moment of displacement and integrating range analyzed by PEM

图10 PEM 分析位移1 阶谱矩与积分区间关系Fig.10 Relationship between 1st order spectral moment of displacement and integrating range analyzed by PEM

图11 PEM 分析位移2 阶谱矩与积分区间关系Fig.11 Relationship between 2nd order spectral moment of displacement and integrating range analyzed by PEM

图12 PEM 分析层间位移0 阶谱矩与积分区间关系Fig.12 Relationship between 0-order spectral moment of interlayer displacement and integrating range analyzed by PEM

图13 PEM 分析层间位移1 阶谱矩与积分区间关系Fig.13 Relationship between 1st order spectral moment of interlayer displacement and integrating range analyzed by PEM

图14 PEM 分析层间位移2 阶谱矩与积分区间关系Fig.14 Relationship between 2nd order spectral moment of interlayer displacement and integrating range analyzed by PEM

5 结论

针对既有方法分析平稳激励下线性结构随机地震动响应方差和0～2 阶谱矩频域法无解析解或时域法解析解复杂的问题，本文提出了结构响应功率谱密度函数的二次正交化法，并成功获得线性结构基于李鸿晶地震动功率谱的0～2 阶谱矩和方差的简明封闭解，主要结论如下：

（1）利用复模态方法对线性结构地震动方程进行解耦，将结构的地震动化为一阶微分方程组的线性组合；利用一阶微分方程的虚拟激励法，获得了结构响应的频域解，并获得了结构层位移和速度，结构层相对位移及其变化率的统一形式的简明频域解；最后给出了结构频率响应特征值函数的二次正交式。

（2）基于留数定理给出了李鸿晶功率谱的二次正交式，本方法同样适用于其他平稳功率谱的二次正交化。

（3）在获得结构系列响应的频率响应特征值函数二次正交式和地震动激励二次正交式的基础上，进而获得了结构系列响应功率谱密度函数的二次正交式，为获得结构系列响应的0～2 阶谱矩和方差的简明封闭解奠定基础。

（4）通过一单自由度和一多自由度TMD 结构对比分析了本分方法和传统虚拟激励法，研究表明本文方法所获得系列响应功率谱密度函数和0～2阶谱矩的封闭解的正确性。本文方法可用来验证虚拟激励法积分步长和积分间距对于结构响应谱矩和方差的精度。

（5）由于本文获得了结构动力响应的0～2 阶谱矩和方差的简明封闭解，可为结构动力可靠度分析提供新思路。

附录1 式（19）的简化过程

附录2 式（21）的简化过程

所以

式中

附录3和的推导