分割三角形所得线段与图形面积间的比例关系

张华

【摘要】面积问题是数学中的基本问题，从小学开始我们就学习求简单是特殊的平面图形的面积. 这里重点用面积法探究三解形中直线分三角形所成三角形与线段间的比例关系，并运用这些比例关系来解决一些有关面积或线段长度的问题，通过举例，体验用三角形中的面积与线段间的比例关系简便地证明一些重要的几何定理.

【关键词】几何定理;线段长度;比例关系

求图形面积与线段长度是数学中的基本问题， 在生活中有广泛的应用.下面我们来探究一下分割三角形所成的图形面积与线段长度间的比例关系.

引理1 一般的，△ABC中，若BD：CD=m：n，则

S△ABD：S△ACD=BD：CD=m：n.

證明 如图1，作BC边上的高h，则S△ABD=12BD·h，

S△ACD=12CD·h，

所以S△ABD：S△ACD=BD：CD=m：n

由此可以用过一顶点的直线把三角形按面积任意分割.s△ABDS△ACD=BDCD=mn.

特殊的，当m：n=1：1时，S△ABD：S△ACD=BD：CD=1：1，也就是AD为△ABC的边BC上的中线，则S△ABD=S△ACD，即三角形的中线把三角形按面积平分.

推论1 如图2已知△ABC中，D为BC上一点，BD：CD=m：n，E为AD上一点，且AE：ED=a：b，则

（1）S△ABE ：S△ACE=m：n;

（2）S四ABED：S△BEC=AE：ED=a：b.

证明 （1） 由定理1可得

S△ABDS△ACD=S△EBDS△ECD=BDCD=mn.

由等比性质可得

S△ABD-S△EBDS△ACD-S△ECD=BDCD=mn，

即 S△ABE ：S△ACE=m：n.

（2）由定理1可得S△ABES△DBE=S△ACES△DCE=AEDE=ab.

由等比性质可得 S△ABE+S△ACES△DBE+S△DCE=ab，

即 S四ABEC： S△BEC=AE：ED=a：b.

例1 如图3，△ABC中，P是AB边上的一点，AP：PB=1：n，Q是BC边上的一点，BQ：QC=m：1，AQ与CP交于点O. 求S△AOCS△ABC.

解 连接OB.

由推论1（1），

S△AOCS△BOC=APPB=1n，S△AOCS△AOB=QCBQ=1m，

所以S△AOCS△AOB+S△BOC+S△AOC=1m+n+1.

所以S△AOCS△ABC=1m+n+1.

问题1 如图4，已知AD：AB=a：b，AE：AC=m：n，△ADE与△ABC的面积与边间有怎样的关系？

事实上，学习了三角函数后我们能得到

S△ADE=12AD·AE·sinA，S△ABC

=12AB·AC·sinA，

则S△ADES△ABC=AD·AEAB·AC=ambn.

那用这里得到的定理或推论能否证明呢？

可以连接BE，由定理1可得

S△ADES△ABE=ADAB=ab， ①

S△ABES△ABC=AEAC=mn， ②

①×②得 S△ADES△ABC=AD·AEAB·AC=ambn.

于是有

推论2一直线截三角形两边所得三角形与原三角形的面积比等于截得的三角形两边的积与原三角形两边积的比.

也就是若D，E为△ABC两边AB、AC上的点，AD：AB=a：b，AE：AC=m：n，则S△ADES△ABC=AEAC=ambn.

进一步可得S△ADE：S四BDEC=am：（bn-am）.

由此结论我们可以用一条直线把一个三角形按面积比任意分割.

特别地，当DE//BC时，ADAB=AEAC=mn，S△ADES△ABC=AD·AEAB·AC=m2n2.

这就用推论2证明了相似三角形面积比等于相似比的平方.

例2（小学奥数题）如图5，AD：DB=1：2，AE：EC=5：4，S△ABC=54，求s四BDEC.

解 由AD：DB=1：2，AE：EC=5：4可得

AD：AB=1：（1+2）=1：3，AE：AC=5：（5+4）=5：9.

由推论2可得S△ADES△ABC=AD·AEAB·BC=1×53×9

=527 ，S△ADE54=527，

所以S△ADE=10. S四BDEC=S△ABC-S△ADE

=54-10=44.

由推论2可知：用不过顶点的直线将三角形的面积平分，只要所截三角形两边的积等于原三角形两边的积的一半即可.S△ADES△ABC=AD·AEAB·BC=12.

归纳 一直线平分三角形面积的方法：

①中线

②直线DE，D，E为△ABC两边AB、AC上的点，AD·AEAB·BC=12.

其实①是②的特殊情况，当D为AB的中点时，AD=12AB，要AD·AEAB·AC=12，则必有AE=AC， 此时E与C重合，也就是DE就是中线DC.

问题2 如图6，AD、BE、CF都过点M，且BD：DC=a：b，CE：EA=m：n，能否求得AF：BF？

解 由推论1得

S△ACMS△ABM=DCBD=ba，①

S△ABMS△BCM=EACE=nm，②

S△ACMS△BCM=AFFB.

①×②得 S△ACMS△BCM=EA·DCCE·BD=bnam.

所以AFFB=AE·DCEC·BD=bnam.③

本文我们探究了三角形中面积与线段间的比例关系，得到了几个定理，并证明了几个大家熟悉的重要定理，运用这些定理可以简便地解决一些相关的问题. 在数学的海洋中畅游，其乐无穷，大家如果感兴趣，我们继续探究，挖掘其中的奥秘.