最优权组合模型在季冻区公路软基工后沉降中的应用

韩春鹏， 徐先博， 张建， 李建华

(1.东北林业大学土木工程学院， 哈尔滨 150040； 2.中交基础设施养护集团有限公司， 北京 100011； 3.中国建筑第八工程局有限公司西南分公司， 成都 610093)

中国东北地区分布着较大范围的软土，由于该地区冬季冻结期长，地基冻结深度较大，软土地基工后沉降的控制是影响建成后路面质量、行车速度和使用寿命的关键因素。因此，在修建公路时，对软土路基路段进行沉降观测和预测，并运用分析结果指导施工，对于保证公路建设质量和延长公路使用寿命具有重要意义。

基于Terzaghi一维固结理论进行沉降计算是常用的方法，但地基沉降属于三维问题且由于土的不均匀性、不连续性和各向异性，其计算结果往往与实测结果相差较大，因此利用沉降观测资料推算后期沉降(包括最终沉降)的实效性就显得更加突出。目前常用的方法归纳起来有：曲线拟合法[1]、Asaoka法、遗传算法[2-3]、神经网络法[4-5]和灰色系统法等[6]。如胡其志等[7]采用双曲线、泊松曲线及指数曲线对某公路大桥软基路段进行联合预测，得出采用双曲线时预测精度较高。翁志坚等[8]利用马尔科夫优化灰色GM(1，1)预测模型，并对基坑沉降进行了预测。谢宇航等[9]对S型单项模型和传统嫡值法组合预测模型进行优化，提高了其预测的精度。徐卫平等[10]通过改进指数模型，提出了名为DR模型的预测方法。李豪杰等[11]通过改进灰色GM(1，1)模型对地铁深基坑的沉降进行了预测，预测精度较传统灰色模型有所提高。张满想等[12]在某公路沉降预测中对比了GM(1，1)和Verhulst两种灰色预测模型，结果表面Verhulst模型的适用性更好。

传统的单一预测模型预测效果会出现不稳定的问题[13]，需要对其进行组合或优化。在过往的预测研究中，针对寒区考虑区域气候特点的沉降预测研究较少，且未对取样间隔进行系统性研究。基于此，现以某公路为依托，采用最优权组合预测模型对季冻区软土地基的沉降进行预测，分析预测结果与实测沉降量的相对误差，验证组合预测模型对季节性冻土地区公路软土地基沉降预测的适用性；同时基于季冻区区域气候特点及实际工况，对取样间隔的选取进行研究，根据预测模型提出适合季冻区的监测方案，在满足软土地基沉降预测效果的同时兼顾经济性。

1 沉降预测模型理论

1.1 GM(1，1)预测模型

灰色系统理论是一种动态模糊的预测模型，以“部分信息已知，部分信息未知”的“小样本”“贫信息”“不确定性系统为研究对象”[14]。GM(1，1)表示模型是一阶微分方程，且只含1个变量的灰色模型。已知参考数据列为

X0=[X0(1)，X0(2)，…，X0(n)]

(1)

式(1)中：X为实测数据。

1次累加生成序列：

X1=[X1(1)，X1(2)，…，X1(n)]

=[X0(1)，X0(1)+X0(2)，…，

X0(1)+…+X0(n)]

(2)

X1的均值生成序列为

Z1=[Z1(2)，Z1(3)，…，Z1(n)]

(3)

式(3)中：Z1=0.5X1(k)+0.5X1(k-1)，k=2，3，…，n。

则灰色GM(1，1)模型的白化微分方程为

(4)

式(4)中：a、b为灰参数，其值可通过该方程的最小二乘法确定，即

(5)

式(5)中：

灰色GM(1，1)模型微分方程相应的时间序列为

(6)

(7)

1.2 曲线拟合预测方法

曲线拟合法是根据沉降离散数据选取与之相适应的曲线模型，推算出曲线模型中的相应参数，从而根据模型对后期的沉降进行预测。常用的预测模型有：双曲线预测模型[15]、指数预测模型、二次抛物线预测模型和乘幂预测模型、泊松曲线模型等。依据沉降监测数据分析，采用双曲线、乘幂模型和二次抛物线预测模型进行预测，其中预测效果较好的为二次抛物线预测模型计算公式为

yt=a+bt+ct2

(8)

式(8)中：yt为t时刻沉降量；c为参数。

1.3 最优预测组合模型

最优权权重法组合预测模型是将各单预测模型进行权重分配进而使得误差最小化，设沉降预测有n种方法，t时刻沉降预测值为yi(t)；沉降t时刻实测值为y(t)；第t期第n个预测模型的权重为wi(t)；则组合预测模型[16]为

(9)

组合模型的误差为

(10)

由

(11)

得最优权系数向量Wt=(E-1R)(RTE-1R)-1，其中E=[e1te2t…ent]T[e1te2t…ent]为误差矩阵；R为单位矩阵。

采用灰色GM(1，1)模型与曲线拟合预测方法中的二次抛物线预测模型分别对沉降进行模拟预测，对两种拟合预测结果通过上述方法确定最优权组合系数，将两种模型进行有效组合，最终得出基于两种模型的最优权组合模型。

1.4 计算结果精度检验

(12)

式(12)中：q(k)为k时刻的残差。

定义后验差比值C为

(13)

小误差概率P为

(14)

式(14)中：

(15)

(16)

(17)

(18)

一般地，将模型的精度分为4级，分级标准如表1所示。

表1 精度评价标准表Table 1 accuracy evaluation standard table

2 工程概况

该路线地处大兴安岭，纬度较高，冬季寒冷，冻结期长，且沿线广泛分布浅层软土。选取K57+200断面为研究对象，该路段路基填高2.725 m，软土层平均厚度1.7 m，含水量大于30%，承载力低，压缩性高，易变形，下部为可塑状态粉质黏土，软土地基处理采用在地基上部抛填毛石0.6 m，再进行顶面强夯，强夯至原地面标高后进行路基碎石土的填筑。

2.1 现场监测

温度场监测系统的组成部分主要包括温度采集装置、核心控制装置、通信模块、电源及用户接收装置。温度采集系统中的采集装置选用DS18B20温度传感器，将其埋入到公路的路基中，每隔0.5 m将其布置，且深度达到公路的地基以下。沉降监测采用手动监测系统，由分层沉降仪、磁力环和PPR管组成。结合现场实际情况，布置沉降观测系统。软土地基道路典型结构形式及监测系统如图1所示。

图1 软土地基道路典型结构形式及沉降监测系统Fig.1 Typical structure form and settlement monitoring system of road on soft soil foundation

2.2 路基温度及沉降监测结果

在路基范围内，不同深度位置处的土层温度随时间的推移呈正弦曲线变化，如图2所示，随着深度的增加，土层温度随大气温度变化的改变程度逐渐降低。距离路基表面不同深度位置处土层的温度最高值和最低值出现的时间不同，深部土层最值温度出现的时间滞后于浅部土层。

以2016年9月19日为沉降观测的起点，初始沉降量为0，沉降-时间曲线如图3所示，在距离路基顶面0.5～2.2 m深范围内，随着时间不断推移，路基沉降呈非线性增大趋势，9—11月的沉降速率较大，进入11月份后，由于气温较低，路基土体内部逐渐冻结，其压缩模量逐渐增大，路基沉降变形速率缓慢；待春融期开始后，路基土层温度升高，冻结区域的土体开始融化，排水过程重新开始，固结速率开始逐步提高，但由于起始阶段的主固结沉降已完成大部分，尽管后期的固结速率逐渐提高，但路基沉降速率仍呈逐渐递减趋势。

图2 路基温度-时间曲线Fig.2 Temperature time curve of Subgrade

图3 K57+200断面沉降量-时间曲线Fig.3 Settlement time curve of K57+200 section

3 沉降预测及结果分析

3.1 原始数据等时距处理

三次样条插值是指对一组已知数据点求解一组拟合多项式，两两数据点间采用不超过三次的多项式函数将其连接，并要求该函数二阶以下均可导的一种方法。根据秦亚琼等的研究，采用三次样条插值法相较于直线插值，得到的等间隔序列更准确[17]。为此，选取27组实测数据，通过对原始的沉降数据进行三次样条插值等时距处理，以深度0.5 m土层为例，等时距插值曲线如图4所示。

图4 深度0.5 m等时距插值曲线Fig.4 Equal time interval interpolation curve with depth of 0.5 m

3.2 沉降预测

选取深度为0.5 m的土层中前24组为样本，记为数列X0。将样本数据代入式(1)～式(7)进行灰色拟合预测;由式(8)进行曲线拟合预测，拟合结果为

yt=10.703 95+4.632 52t+0.005 84t2

(19)

将两种拟合结果采用式(9)～式(11)进行组合得到本文的最优权组合模型。其中灰色GM(1，1)模型对应的最优权系数为0.517，曲线拟合的最优权系数为0.483。采用三种预测模型对25～27期沉降量进行预测，预测结果的对比分析如表2所示。

结合表2对比分析不同预测方法的精确性和合理性，各预测方法精度评级均为1级。各预测方法均可以较好地预测沉降值，灰色GM(1，1)模型，二根据李小刚等[18]的研究，增加样本容量能提高模型的预测精度，但增大样本数量意味着取读数据次数的增多，即提高了交通运输及劳动力成本，因此研究增大取样间隔的同时兼顾模型预测精度显得尤为关键。选择取样间隔为30、45、60和75 d分别建立最优权沉降预测模型，计算结果如表3所示。

表2 预测结果对比Table 2 Comparison of prediction results

次曲线预测模型，最优权权重预测的平均绝对值误差分别为0.78、0.84和0.33。组合模型绝对误差变化幅度小于两种单一模型，具有更好的稳定性。由此可以得出相对于单一的灰色GM(1，1)模型、二次曲线模型，本文的最优权组合模型拟合预测数据相对于原始观测数据具有更高的贴合度、稳定性，更加符合实际沉降变化情况。

由图5及表3可知，随着取样间隔的增大，误差逐渐增多，模型的预测越差。对比取样间隔为15 d的预测结果，当取样间隔为30 d时，预测值与实测值的相对误差由0.09%、0.04%和0.67%增大到7.48%、7.24%和7.93%，模型的预测效果衰减剧烈。在2017年10月29日，取样间隔30 d对比取样间隔15 d的沉降预测值增大1.008 cm，但对实际工程而言差别不大，同时预测值高于实测值，对控制路基的工后沉降起到一定的积极作用，因此在满足精度要求的基础上，选择30 d为取样间隔，经济效益更好。

图5 不同取样间隔下的预测值与实测沉降值Fig.5 Predicted value and measured settlement value at different sampling intervals

以30 d为取样间隔，在原始的插值数据(24组)上进行间断取样，即选取了12组数据建立预测模型。考虑季冻区气候特点，冬季进行现场数据的读取难度较大，行车的安全性较低，在考虑实际工程中的不便因素下，在间断取样中侧重增加土层沉降速率较快月份的样本数量，即在建立预测模型的12组样本中，相应减少冬季样本数量，使所建立的模型更契合于实际工程。

根据温度监测的结果(图2)，在监测周期内路基及地基范围的土层主要有未冻结(完全融化)、部分冻结、完全冻结和部分融化4种状态，如表4所示。距离路基顶面越近的土层，沉降对路面的影响越明显，因此本文选择距离路基顶面0.5 m深土层为例，在沉降速率较快月份的增加样本数量，在冬季及沉降速率较慢的月份减少样本数量，样本取值方案如表5所示。

表5所述的样本取值方案是在不等时距的条件下进行的，切实考虑实际工况及区域气候特点，在土层处于部分冻结状态及部分融化状态时，冻土层中水分相应地出现相变与迁移，对土体的压缩变形有很大的影响，因此在该状态下取较多样本。在不等式时距的基础上建立灰色预测模型，模型的沉降预测结果如表6所示。

表3 最优权不同取样间隔预测值与实测值对比表Table 3 Comparison of predicted and measured values of different sampling intervals with optimal weight

表4 日期与土层状态对应关系Table 4 corresponding relationship between date and soil layer state

如图6所示，方案M3、M6在三个预测日期下的相对误差分别为5.45%、5.34%，6.07%、5.96%，6.13%、6.88%，与等时距15 d模型预测相比，相对误差差值在5.30%～6.20%，沉降预测增值在7.15～9.56 mm，虽预测精度较等时距15 d模型预测稍差，但在实际工程中仍可满足精度要求；与相同样本数量的等时距30 d模型预测值相比，M3、M6方案预测相对误差较小，说明在考虑实际工况及区域气候特点的情况下，适当增加沉降初期及冻融前后的样本数量，减少冻结及沉降速率较慢时期的样本，可以有效提高模型的预测效果，在一定程度上改善了因地质气候特点引起的实际工程中现场取样的难度及其他不便条件，可为季冻区类似工程沉降监测及预测提供参考。

4 结论

(1)最优权权重法组合模型预测的效果与建立模型时数据选取的频率有关，增大取样间隔会增大模型预测的误差，使模型预测的精度减弱，但另一方面增大取样间隔意味着减少了现场取样的次数，在满足一定精度要求范围内可适当增大取样间隔，取样间隔以30 d为宜。

(2)在季冻区实际工程监测中，冬季及沉降速率较慢期的样本数量可适当减少，沉降初期及冻融前后的样本数量适当增加可以提高模型的预测效果，并能够有效地改善因区域气候引起的实际工程中现场测试的难度及其他不便因素。

表5 样本取值方案Table 5 Sample selection scheme

表6 不同样本取值方案下模型的沉降预测值Table 6 Settlement prediction values of models under different sample values

图6 不同样本取值方案下预测值与实测沉降值的相对误差Fig.6 Relative error between predicted value and measured settlement value under different sampling schemes

(3)通过工程实例有效地验证了经最优权权重组合后的预测模型在季节性冻土地区的适用性，可为季冻区类似工程的监测取样间隔及沉降预测提供借鉴。