运用放缩法解数列不等式题的思路

陈晓娟

数列不等式证明题经常出现在各类试题中.此类问题具有较强的综合性，且难度较大.解答此类问题，需仔细观察和研究数列，明确其特征和规律，并进行恰当的放缩.下面，笔者介绍两种运用放缩法证明数列不等式问题的思路.

一、通过裂项进行放缩

裂项相消法是求数列和的常用方法.对于通项公式为分式的数列不等式，可首先将数列的通项公式进行适当的变形，如通分、放缩、拆分，将其转化两项之差的形式，然后利用裂项相消法进行求和，再将所得的结果与求证目标进行对比，最后通过适当的放缩，根据不等式的传递性证明不等式.

二、利用函数的单调性进行放缩

数列是一类特殊的函数，具有单调性.因而在证明数列不等式时，可灵活运用数列和函数的单调性来求证.通常可根据数列不等式的特点，构造出函数模型，将其视为自变量为自然数的函数，再根据函数单调性的定义、导数与函数单调性之间的关系判断出函数的单调性，即可根据函数的单调性对不等式进行放缩，从而证明结论.

利用函数的性质对不等式进行放缩，关键在于构造一个合适的函数模型.这就需要仔细分析目标数列不等式的结构特征，将其进行适当的变形，抽象出一个简单的函数模型，再利用函数的单调性证明不等式.一般地，对于增函数，白变量大的函数值大，自变量小的函数值小;对于减函数，自变量大的函数值小，自变量小的函數值大.

总而言之，在运用放缩法解答数列不等式证明题时，首先要根据题意和目标不等式确定放缩的方向，然后将数列的通项公式、前n项和式进行适当的放缩，以便将数列构造成可裂项求和的式子、函数式，再通过裂项，利用函数的单调性对不等式进行放缩，从而证明结论.

（作者单位：江苏省盐城市第一中学）