复多一阶逻辑的“本体论无辜”问题辨析

朱敏 付敏

摘要：引入复多一阶逻辑是为了形式化一阶公理集合论，为断定集合概念具有唯一普遍的外延提供支持。然而，其自身的纯逻辑性仍是备受争议的议题，争议主要集中在复多一阶逻辑的语义解释是否的确具有“本体论无辜”这个结果。复多一阶逻辑的支持者试图论证该逻辑并不承诺超出经典一阶量化论域之外的对象，由此证立复多一阶逻辑的“本体论无辜”。然而，这一论证在两个方面需要辨析与澄清。一方面，如果采取不可归约论证、模态论证或集合论公理的证立原则为复多一阶逻辑的“本体论无辜”辩护，会面临难以克服的困难;另一方面，通过诉诸复多概念在日常用法中的不可或缺性及其汇集式用法的不可还原性，一种更可行的证立成为可能。因此，应当为探求“本体论无辜”的实质辩护继续努力。

关键词：复多一阶逻辑;复多概念;本体论无辜;对象概念

中图分类号：B81    文献标志码：A    文章编号：1001-862X（2022）03-0119-006

集合概念的意义问题是当代逻辑哲学和数学哲学的重要问题之一。用经典一阶逻辑表述的策梅洛-弗兰克尔公理集合论（简称ZFC1）被视为阐明集合概念意义的最佳理论之一。然而，作为揭示集合概念内容的一阶分离公理模式，它的语义解释没有对集合概念本身的意义做出任何断定。也就是说，它既没有断定集合概念的外延是无限扩展的，也没有断定集合概念具有唯一普遍的外延。为此，公理集合论的提出者策梅洛1930年提倡引入二阶逻辑来表述公理集合论，由此阐明二阶公理集合论（简称ZFC2）解释的集合概念具有唯一普遍的外延。然而，由于该方案对“所有集合的总体”这个类做出本体论承诺而饱受诟病。

20世纪80年代，布勒斯（G. Boolos）引进复多一阶逻辑（Plural First-Order Logic，以下简称PFO），旨在替代二阶逻辑为集合概念具有唯一普遍的外延提供辩护。布勒斯断定，PFO和经典一阶逻辑一样，不会承诺超出经典一阶量化论域之外的对象，因此，经由PFO形式化的一阶公理集合论ZFC1也不会承诺超出一阶集合论域中所有集合之外的对象，从而保证一阶集合论域构成集合概念的唯一外延。[1][2]帕森斯（C. Parsons）等学者否认布勒斯的上述断定，他们认为，经由PFO形式化的ZFC1（简称ZFCp1）要么导致它的语义解释存在本体论的扩张，要么导致集合外延的无限扩展。由此，他们断定，PFO必定会承认超出经典一阶量化论域之外的对象。[3][4][5]

“PFO是否承认超出经典一阶量化论域之外的对象”被称为PFO的“本体论无辜”问题，它是PFO哲学合理性的基础问题。本文意在讨论和评断学界对PFO“本体论无辜”的关键性论证，总结以往辩护的得失，揭示更加合理的辩护方向。

一、复多一阶逻辑及其“本体论无辜”问题的提出

（一）关于复多的量化理论

布勒斯在1984年和1985年的论文中引进关于复多的量化理论，认为在自然语言中存在两种量化理论。一种是关于個体的量化理论，即一阶量化理论，量词作用在个体变元x上。比如语句“至少有一粒麦片（M）在碗（W）里”可以形式化为经典一阶逻辑的公式：？埚x（Mx∧Wx）。如果用经典一阶逻辑形式化公理集合论ZFC，那么个体量词就只作用在集合变元x上。另一种是关于复多的一阶量化理论，除个体量词作用在个体变元x上外，还有复多量词作用在复多变元xx上。比如语句“一些麦片在碗里”可以形式化为PFO的公式：？埚xx？坌x（x？刍xx ？圮 （Mx∧Wx）），x？刍xx表示x在xx之中。

PFO是在经典一阶逻辑语言的基础上引入复多变元xx以及它与个体变元x之间的逻辑关系“x？刍xx”，然后增加两条关于复多xx的公理而得到的：

（1）？坌xx？埚x（x？刍xx）  复多存在公理

（2）？埚xx？坌x（x？刍xx ？圮 φ（x）），xx不在φ（x）中出现  复多概括模式

布勒斯断定，虽然在经典一阶逻辑的基础上引入上述两条复多公理，但是PFO和经典一阶逻辑在本体论承诺上没有什么不同，它们都不会承诺超出经典一阶逻辑量化论域之外的对象。这是由上述两条公理保证的，特别是由复多概括模式保证的。通过复多变元和个体变元之间的逻辑关系“x？刍xx”，它们的语义解释只承认一阶变元的值为对象，不会承认复多变元的值为对象。比如，复多一阶语句“一些麦片在碗里”只承认 “麦片”和“碗”的存在，不会承认作为复多的“麦片们”的存在，因为“麦片们”的用法只取决于“一粒粒麦片”的存在。因此，该语句和一阶语句“至少有一粒麦片在碗里”在本体论承诺上没有什么不同。该例子说明，PFO不会接受复多变元的值作为对象，经典一阶个体变元的论域将决定复多变元的论域。

上述实例表明，“个体变元的论域会决定复多变元的论域”是上述PFO“本体论无辜”论证的关键。如果经典一阶个体变元的值决定复多变元的值，那么PFO就是以其本体论承诺不超出经典一阶逻辑的量化论域来发挥作用的。

（二）复多一阶逻辑的语义功能

布勒斯引入复多一阶逻辑，是为了解决如下疑难：有些二阶集合论语句如“存在所有非自属集构成的汇集”在直觉上是真的，却被诟病为引入新的本体论承诺，即断定在一阶集合论域中的集合之外还存在新的汇集。

“所有非自属集是否构成新的汇集”，这一问题可从罗素悖论说起。罗素悖论的出现源于素朴概括模式，推导过程如下：

（3）？埚y？坌x（x ∈ y ？圮 φ（x）），y不在φ（x）中出现？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇素朴概括模式

（4）？埚y？坌x（x∈y？圮x？埸x）？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇作为（3）的特例

（5）？坌x（x∈r？圮x？埸x）？摇？摇？摇？摇 ？摇 由（4）（？埚-）

（6）r∈r？圮r？埸r？摇？摇？摇？摇？摇   ？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇 由（5）（？坌-）

通常的观点认为，罗素悖论的出现源于素朴概括模式（3）为假，尤其它的特例（4）为假，即不存在所有非自属集构成的集合。布勒斯认为，虽然所有非自属集因为太大，难以形成集合，却仍可以断定“存在所有且仅有非自属集构成的汇集”。但是，如果这样的汇集不是集合，那么似乎就会断定其他实体的存在，比如该断定可以表示为如下二阶集合论公式：

（7）？埚X？坌x（Xx？圮x？埸x） ，X不在x？埸x中出现

由于X是类变元，公式（7）就断定存在一个所有且仅有非自属集构成的类。但布勒斯不这么认为，在他看来，公式（7）中的类变元X本质上是一个复多变元xx。也就是说，公式（7）应该改写成如下形式：

（7*）？埚xx？坌x（x？刍xx？圮x？埸x） ，xx不在x？埸x中出现 ？摇？摇由（7）的复数转换

由公式（7*）可知，它是复多概括模式（2）的特例。复多概括模式的语义解释表明，它在本体论上只承诺经典一阶变元x的值为对象，不会承诺复多变元xx的值为对象。而且，“所有非自属集”构成的复多只能被复多量词量化，不会被经典一阶量词量化而成为集合，从而可以避免罗素悖论。由此可以断定，尽管“存在所有且仅有非自属集构成的复多”这个语句为真，但该语句并没有引入新的本体论承诺，即没有将复多承诺为实体。

布勒斯的论证断定，PFO的语义解释不会承诺超出经典一阶逻辑量化论域之外的对象（即PFO是本体论无辜的），所以由PFO形式化的一阶公理集合论ZFCp1的语义解释也不会承诺超出一阶集合论量化论域之外的对象（即复多一阶集合论是本体论无辜的）。然而，PFO形式化的一阶公理集合论ZFCp1的任何语义解释中，是否所有复多上的量化都不能还原为集合上的量化？进而，对这个问题所有可能的回答会不会动摇布勒斯关于PFO“本体论无辜”的断定？

二、不可归约论证及其缺陷

布莱克（M. Black）主张，集合论中只有个体和复多上的量化，没有所谓集合上的量化。这个主张可以理解为“所有复多上的量化都不能还原为集合上的量化”的一种表述。根据布莱克的观点，元素并不先于集合而存在，即一旦集合中的元素被确认，集合就被确认。因此，没有所谓由元素生成集合这样的情形。而且，他认为，空集和单元集不是一个复多，它们的存在仅仅是为了集合论构造的方便。比如，谈论单元集实质上就是在谈论元素本身。因此，在他看来，集合不是一个可个体化的对象，而是一个“复多”[6]621，633。根据这种理解，复多一阶公理集合论ZFCp1的一阶量化论域中唯有元素构成的复多，没有集合这样的对象;复多量化论域又只取决于一阶个体量化论域，这就可以断定ZFCp1的语义解释不会承诺超出一阶集合论量化论域之外的对象，从而证实PFO是本体论无辜的。

布莱克又认为，总是存在“复多的复多”这样的情形，即复多具有迭代特征。[6]632-633，633這被证明会使得复多的累积迭代分层与（被布莱克否认的）集合的累积迭代分层一样多[7]313-315;[8]227-228，如果在ZFCp1中集合应该被复多替代，那么布莱克的主张仍需诉诸集合概念之外的其他概念来阐明为何复多概念具有迭代特征。这不仅使得ZFCp1的一阶个体量化论域决定复多量化论域，由它解释复多量化论域的构成;而且需要引入其他概念的量化论域来确定复多量化论域，由它解释复多量化论域为何具有累积迭代分层结构。由此，为了说明复多只取决于一阶个体量化论域，布莱克必须说明，其他概念的量化论域如何可能不被视作对象论域。

林纳伯（？覫. Linnebo）和瑞欧（A. Rayo）提供了一个解决方案。他们首先证明类型论的迭代分层与集合的迭代分层是等价的，由此表明类型论的迭代特征可以代替集合的迭代分层来解释复多的累积迭代分层。他们主张，类型论对类型只作思想上的承诺而非本体论的承诺。[9]由此，虽然复多的量化论域将取决于类型论的量化论域，但是仍只有一阶个体量化论域被视作对象论域。

但是，林纳伯和瑞欧关于类型概念只在思想上得到承诺的断定是可疑的，因为他们在证明类型论与集合的迭代分层理论等价时使用的类型论需要引入无穷阶类型，这要求引进序数理论。为此，他们必须首先断定，序数理论对序数只作出了思想上的承诺而非本体论的承诺。但是，在序数理论的语义解释中，很难想象序数量化论域不被视作对象论域。

总之，一旦承认在ZFCp1的语义解释中复多概念被理解为具有迭代特征并且引入其他概念来阐明它的迭代特征，那么将不得不对引入的那些概念做出本体论的承诺，这与 “ZFCp1的语义解释不会承诺超出一阶量化论域之外的对象”这个断定相背离。由此可知，不可归约性论证使得PFO“本体论无辜”的断定不能真正令人信服。

三、模态论证及其反驳

林纳伯主张，所有复多上的量化总可以还原为集合上的量化。他希望通过这个断定支持PFO的本体论无辜。[10]“所有复多上的量化总可以还原为集合上的量化”意指“复多总可以形成集合”，该断定可形式化为如下公式：

（8）？坌xx？埚y？坌x（x∈y？圮x？刍xx）

但这仍会产生罗素悖论，推导过程如下：

（9）？埚xx？坌x（x？刍xx？圮x？埸x），xx不在x？埸x中出现作为（2）的特例

（10）？坌x（x？刍rr？圮x？埸x），rr不在x？埸x中出现

（9）（？埚-）

（11）？埚r？坌x（x∈r？圮x？刍rr）？摇？摇？摇？摇？摇？摇对（8）（？坌-）

（12）？坌x（x∈r？圮x？埸x）？摇对（11）（？埚-）且（10）

（13）r∈r？圮r？埸r？摇？摇？摇？摇 （12）（？坌-）

林纳伯认为，仍产生罗素悖论的根源在于公式（8）没有表达出“集合相对于元素是一种潜在存在”的关系。因此，他提议将（8）修改为含模态算子的公式（8*）来表达这层涵义[11]206-208，219：

（8*）□？坌xx◇？埚r？坌x（x∈r？圮x？刍xx）

（8）的模态化

为了进一步阐明“集合潜在地相对于元素而存在”，林纳伯主张对其底层逻辑PFO用模态逻辑S4.2系统（即经典命题逻辑系统+必然化规则+K公理+T公理+4公理+G公理）彻底模态化，即把其中复多概括模式中的量词？坌和？埚分别替换为模态量词□？坌和◇？埚，使其成为模态PFO（以下简称MPFO）[10]155-158;[11]211-213：

（2*）◇？埚xx□？坌x（x？刍xx？圮φ（x）），xx不在φ（x）中出现 ？摇模态复多概括模式

（14）x？刍xx→□x？刍xx 必然化规则

（15）x≮xx →□x≮xx 必然化规则

（16）？坌x（x？刍xx→□φ（x））→□？坌x（x？刍xx→φ（x））？摇复多的外延固定规则

上述公式（16）是林纳伯新增的公理。它断定复多是不可扩展的，即复多量化论域扩充时，任一复多都不会增加新的元素。后来他发现，如果集合论公理（8*）为真，MPFO中的公理（2*）就会与公理（14）和（15）矛盾。因为，基于集合论公理（8*），（2*）会断定：给定任意公式，可能存在xx 使得无论它继续形成什么集合，xx 是所有且仅有的 φ。现给出（2*）的特例：

（17）◇？埚xx□？坌x（x？刍xx？圮x=x） （2*）的特例

基于集合论公理（8*），这个特例会断定，可能存在xx 使得无论它继续形成什么集合，xx 是所有且仅有的自我同一对象 x 构成的复多。特别地，（8*）可以解释“集合潜在地相对于元素而存在”这层关系，林纳伯尤其主张MPFO中的模态算子应该从元素和集合如何成为自我同一的明确对象这个过程来理解[10]158-160 。这使得（17）与公式（14）和（15）相矛盾，因为一方面，由于形成自我同一的明確对象这个过程是逐步完成的，即首先有自我同一的元素构成复多，然后才有自我同一的集合，它恰好由这些元素构成。这样的话，根据公式（17），就可能存在这样的复多：它随着元素和集合的对象化过程可以不断容纳新的对象。而另一方面，公式（14）和（15）表明，任一复多在任何情形下都有明确相同的外延。一个要求复多的外延可以无限扩充，另一个要求复多的外延是固定的，矛盾出现。为了避免矛盾，林纳伯只好将公式（2*）弱化为如下形式[11]212：

（2**） ？埚xx□？坌x（x？刍xx？圮φ（x）），xx不在φ（x）中出现 弱化的模态复多概括模式

该模式的语义表明，给定任意公式φ（x），在世界w中xx是φ（x），恰好在与w可及的任意世界w′中xx仍是φ（x）。经由上述修正，就得到弱化的模态PFO（以下简称MPFO*），其中的公理（2**）保证复多在任何情形中都具有明确且相同的外延，从而与公式（14）和（15）相容。

回到“本体论无辜”问题：林纳伯将PFO修订为MPFO*后，MPFO*是否仍是本体论无辜的？答案是否定的。因为，尽管集合论公理（8*）的语义解释断定“复多总是可以形成集合”，从而可以避免该公理对复多概念作出本体论承诺，但不能由此断言其底层的逻辑MPFO*是本体论无辜的。实际上，情形正好相反：在给出集合论公理（8*）的语义之前，林纳伯在MPFO的公理（2**）中已经默认“复多”是类似“集合”那样的对象了。

出现这样的情形是因为，林纳伯对弱化的模态复多概括模式（2**）中模态算子所做的语义解释涉及xx中的对象x形成自我同一的明确对象这个过程，由此才能断定集合论公理（8*）成立，进而断定存在自我同一的集合。但是，理解（2**）中的模态算子必须借助xx中的x形成自我同一的明确对象这一过程，这使得复多xx随着“x成为明确对象这个过程”而具备迭代特征。

因此，林纳伯的模态论证不是通过MPFO*形式化的集合论来解释复多具有迭代特征（由于它总是可以形成集合），而是在构造MPFO*时就断定复多概念具有迭代特征。这表明，他在构造MPFO*时就把复多视作自我同一的明确对象，就像集合一样。可见，林纳伯的MPFO*很难说在本体论上真正是无辜的。

四、基于集合论证立原则的辩护及其不足

还有一种可能的回答是：一些复多上的量化可以还原为集合上的量化，而另一些则不可以。这似乎符合布勒斯的主张，因为由罗素悖论、最大序数悖论和最大基数悖论可知，所有非自属集、所有序数和所有基数作为复多在集合论中不应视作集合;但直观上，至少包括单元集在内的其他一些集合可以被视为集合。如果集合论公理的内在证立和外在证立原则可以为这一断定提供辩护[12]，将表明对复多概念做出本体论承诺的是集合论自身的语义，而非PFO的语义。这看起来可以为PFO的“本体论无辜”提供一种间接的支持，然而，仍存在着不容忽视的理论困难。

集合论最重要的内在证立原则是哥德尔（K.G■del）等人提出的迭代概念。[13]206-207由迭代概念的含义可知，只有出现在集宇宙V的某初始段Vα中的复多xx才可以形成集合。也就是说，任意xx形成一集合，当且仅当存在一个序数α使得xx出现在集宇宙V的某初始段Vα中。而所有非自属集等构成的复多不会出现在集宇宙Vα的任何初始段中，因此它们不会形成集合。由此似乎可以断定，是集合论的语义要求而非PFO的语义要求对复多概念做出了本体论的承诺。

然而，迭代概念的内在特征将使该论断遭到破坏，因为迭代概念的本性使得对迭代概念的任何精确表述都可以被超越。[13]217-218这意味着，即便“所有非自属集等构成的复多”没有出现在迭代概念已精确表述的任意初始段Vα中，它仍会在迭代概念新表述的某初始段Vβ中出现。因此，根据迭代概念的上述含义，它会断定“所有复多上的量化总可以还原为集合上的量化”。这使得该证立原则提供的论证立刻退回到林纳伯的模态论证立场，从而面临与该立场同样的困难。

集合论另一个主要的内在证立原则是弗兰克尔（A. Fraenkel）等人提出的限制大小原则。[14]203-207根据该原则的规定，任意复多只要不大于所有序数构成的复多就可以形成集合。由此可知，它支持“一些复多上的量化可以还原为集合上的量化”这一断定。但是，该原则无法支持“一些复多上的量化不可以还原为集合上的量化”的断定，因为它没有明确断定“所有非自属集、所有序数和所有基数作为复多不可能形成一个集合”。特别地，如果用本元替代空集，由于序数是本元的特征数，那么序数便提供了本元的高度。[15]405-411假设存在和所有集合一样多的本元，那么所有本元是否可以形成集合？限制大小原则无法、也不打算对这个问题做出回答。由此，很难说它可以为PFO的“本体论无辜”提供真正的辩护。

集合论最重要的外在证立原则是麦蒂（P.Maddy）的自然主义原则。[16]该原则要求在公认的集合论的理论内部来确证这样的断定：一些复多上的量化可以还原为集合上的量化，另一些则不行。换言之，自然主义原则试图表明，无论采取集合论的何种证立原则来支持该观点，都只取决于集合论实践中数学家们的一系列数学思考。它也试图表明，该观点能否被保留，取决于它能否展现不同于其他观点的数学优点以及实现它的数学目标，即挖掘数学的深度事实。[16]65，74，82-83，100因此，麦蒂的自然主义观点或多或少把目前公认合理的集合论以及它的证立原则视作某种公认的认识论立场，并以此作为论证的依据。

然而，自然主义原则的主要问题在于，若目前公认合理的集合论及其证立原则支持“有一些复多不可以还原为集合”这一断定，那么它将如何为这些复多提供本体论的承诺，从而支持PFO始终是本体论无辜的。自然主义原则的回答只可能是：对PFO“本体论无辜”的支持不会超出目前最好的集合论所能提供的最佳答案。显然，依据这样的回答，无法确定PFO是否总是本体论无辜的，将来完全可能出现大家公认更好的集合论，其认识论立场刚好相反。

总之，集合论公理的内在和外在证立原则并不足以表明，是集合论本身的语义要求而非PFO的語义要求对复多概念作出了本体论承诺。尤其对那些“无法还原为集合的复多”而言，它们的本体论承诺是由集合论还是由PFO作出的，尚需新的核证。

五、评论与展望

回到布勒斯原有的论证：PFO是本体论无辜的，所以由PFO表述的复多一阶集合论也是本体论无辜的。上述分析表明，虽然以上三种观点穷尽了“是否所有（由元素构成的）复多上的量化都不能还原为集合上的量化”的所有答案，但是它们对PFO所做的“本体论无辜”的所有可能辩护均面临难以克服的困难。因此，即便布勒斯的这个论证成立，PFO“本体论无辜”的断定要么被反驳，要么是不确定的。

然而，这并不意味着无法为PFO的“本体论无辜”找到可行的证立路径。要论证复多一阶逻辑PFO的“本体论无辜”，不仅要说明其本体论承诺不会超出经典一阶逻辑的量化论域，更要阐明为何“不超出经典一阶逻辑的量化论域”对核证PFO的“本体论无辜”是实质性的，这涉及对“何谓‘对象’概念以及如何阐明它的含义”这个基本问题的解答。为了更准确地把握PFO“本体论无辜”问题的实质和意义，以下三个方面的澄清是必要的。

首先，对PFO“本体论无辜”的辩护或反驳都预设了某种“对象”概念。一些学者坚称只有经典一阶逻辑的量化论域才是唯一可理解的，因为他们坚信“对象”概念是某种单称词项的指派以及经典一阶量词遍历的东西[17]10-22;[18]1-25，因此，一个恰当的本体论承诺只能通过经典一阶逻辑的量词才能说明。这正如蒯因所主张的，确定一个量化语句是否为真，取决于它是否被经典一阶逻辑形式化的、最好的科学理论所蕴涵，取决于该语句中的变元是否只指派该科学理论中的（经典）一阶对象。[18]91-113;[19]12-13由此，只存在经典一阶量词可断定的对象，不存在复多量词遍历的对象。[5]326但截至目前，这种主张更像是一种观念上的坚持，而非实质性的辩护。因此，判别“复多”究竟是不是“对象”，人们需要为其坚持的“对象”概念提供更多理由。

其次，“复多”在日常用法中的不可或缺性和不可还原性，或许能够为其作为“对象”提供支持，但需要更多辩护。瑞欧和易（B. U. Yi）等学者发现，复多概念在日常语言的用法中是不可或缺的，并且它有分布式和汇集式这两种用法。[20]469-472;[21]分布式用法的“复多”可以还原为个体化的“对象”，如集合;汇集式用法的“复多”则不可还原为个体化的“对象”，比如由所有集合构成的迭代分层是汇集式的复多，它不同于构成它的部分。依照这种观点，似乎应该承认汇集式的复多具有本体论地位，因而PFO应当接受“复多”是一个“对象”。

但一些学者不这么认为。在他们看来，一个理论的本体论承诺仅仅与“如无必要、勿增实体”的理论选择标准有关，与日常语言的使用无关，涉及复多概念的理论也不例外[22]137-138;尤其是日常语言更强调语言的可操作性，而非探究复杂的研究对象。[23]86-87但是，持有这种观点或许仅仅出于对“唯有经典一阶逻辑才是形式化一个科学理论的最好语言”这一信念的执着。

最后，在PFO的“本体论无辜”问题上的争论，最终落脚在更基本问题的分歧上：“对象”概念的界定是否仅在经典一阶逻辑形式化的理论中才能给出。要消解分歧就需要为汇集式的“复多”能否作为“对象”提供更为实质的分析。这就需要为如下思考做出努力：最好的理论是否应该回归自然语言的逻辑框架，从而允许给经典一阶理论增加一个复多量化层级？

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（責任编辑 吴 勇）