灵活运用数学思想，提升解数列题的效率

龚周

数列是高中数学中的重要板块，也是高考考查的重点内容.有些数列问题较为复杂，采用常规方法求解很难.此时不妨灵活运用函数思想、分类讨论思想、转化思想、整体思想、换元思想等数学思想来辅助解题，这样可使问题的求解过程变得更简单，有利于提升解题的效率.本文主要谈一谈如何灵活运用数学思想来解答数列问题.

一、函数思想

函数与数列的联系紧密，等差、等比数列的通项公式、前n项和公式均可看作关于n的函数，其定义域为正整数N*，或以1为首的连续自然数组成的集合.在求数列的最大（小）项、数列和的最大（小）值、求公差、公比的取值范围时，将数列的通项公式、前n项和式看作关于项数n的函数，便可运用函数思想，借助一次函数、二次函数、指数函数的图象、性质来求得问题的答案.

解答本题，需先根据等差数列的定义和等差数列的通项公式求得数列{bn}和{an}的通项公式，然后运用函数思想，将{an}的通项公式看作关于n的反比例函数，根据反比例函数的单调性来求得数列{an}的最值.数列是一种特殊的函数，也具有单调性，其图象是由一些孤立的点组成.运用函数思想解答数列问题，需明晰函数与数列之间的联系.

二、分类讨论思想

分类讨论思想是解答代数问题的重要思想.有些数列的奇偶项之间存在差异，有些数列中某些项的通项公式与其他项的通项公式之间存在不同之处，有些等比数列的公差、公比、首项、项数为参数，此时都需要运用分类讨论思想对各种情况进行分类，并逐步进行讨论，然后综合所得的结果.

三、整体思想

运用整体思想解题，需把握代数式、图形的结构特征，从代数式、图形的整体出发，寻找解题的思路.在解答数列问题时，要从数列的各项、通项公式、和式出发，明确各项与通项公式、和式之间的关系，运用整体思想，通过整体消元、整体代换，求得问题的答案.

四、归纳推理思想

运用归纳推理思想解题，需先分析问题的个别、特殊情形，从中发现规律，通过推理，从而归纳出一般的规律和性质，在求数列的通项公式、求数列的和时，经常要用到归纳推理思想，通过观察——归纳——猜想——证明四个步骤来得出结论.

由上述分析可以发现，在解答数列问题时，灵活运用数学思想，可使问题轻松获解.这就要求我们在解题时，学会将数列问题与函数关联起来，合理对数学对象进行分类讨论，将数列的某些项当作一个整体进行消元、运算，根据数列的部分项进行推理、归纳，灵活运用函數思想、分类讨论思想、整体思想、归纳推理思想来辅助解题.