考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化

谢存仁,徐 峰,阮敏浩

(上海交通大学 a.船舶海洋与建筑工程学院；b.上海市公共建筑和基础设施数字化运维重点实验室,上海 200240)

当前,资源管理已成为建筑工程施工项目管理领域关注的重要工作内容[1]。一方面,资源作为建筑工程项目施工过程中的基本要素和前提条件,减少施工期资源用量的高峰与低谷差值,使资源需求量在整个施工期内趋于均衡,有利于工程项目的管理。另一方面,单价承包模式在建筑工程领域得到广泛应用,其特点是施工单位需承担资源价格上涨导致成本增加的风险[2]。以建筑材料为例,由于价格波动导致建筑工程施工成本变化幅度可达20%[3]。目前,价格预测技术和方法已经比较成熟,能够为较准确地把握资源价格变化趋势与幅度提供可靠的技术手段[4]。倘若施工期资源的需求可以随价格的波动而调整,就能减少市场价格上涨导致成本增加的风险,从而节约资源成本。因此,有必要将资源价格波动因素引入到建筑工程施工进度优化过程中,使得在提升施工期资源均衡度的同时,降低资源的成本,以此提升建筑工程施工项目精益化管理水平。

在“施工进度-资源优化”方面,Dho Heon 等[5]通过测量和最小化因进度优化调整而导致的资源配置波动,提出了最大化资源利用效率且项目持续时间最短的资源配置优化方法。赵阿敏[6]探讨了基于BIM技术的“进度-资源”协同管理的可行性,建立了“资源有限、工期最短”约束条件下的数学模型,并运用遗传算法进行了求解。Virginia等[7]针对两个相互冲突的优化目标,即项目完工时间最小化和每个工序人力资源分配最有效,设计了一种多目标进化和模拟退火算法相结合的综合计算方法。Weng-Tat Chan等[8]针对“工期固定-资源均衡”问题,采用遗传算法对某一案例进行求解,然后又用启发式算法再次求解,结果验证了遗传算法寻找最优解的优越性。董进全等[9]以资源峰值最小化为优化目标,分别建立了工序不可分拆、可分拆和有条件分拆的资源均衡问题的整数线性规划模型,并给出了多种资源情形下资源均衡问题的序贯解法。Cheng等[10]以最小化单位时间内资源方差值为优化目标,设计了求解模型的混沌差分进化算法,以涉及劳动力资源的住宅项目为例,验证了算法的有效性。陈志勇等运用微粒群算法求解资源均衡优化问题,通过微粒群在飞行中位置的进化过程,寻找对应于最优方案和若干个次优方案的工程项目各工序的实际开始时间。

综上,已有的“施工进度-资源优化”方面的研究主要分为“资源有限-工期最短”、“工期固定-资源均衡”两类,均未考虑资源价格波动对资源均衡度和资源成本的影响,使得上述研究成果不能适应单价承包模式下建筑工程施工进度管理的需求。针对以上不足,首先,本文综合考虑施工期资源价格波动对资源均衡度和资源成本的影响,以非关键工序开始时间为变量,以单位时间内资源方差值最小和资源成本最低为目标函数,建立考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型；其次,运用基于适应性权重的遗传算法进行模型求解；最后,通过实际案例的应用验证该优化模型及其求解算法的有效性和实用性,从而为施工单位项目管理者有效优化单价承包模式下建筑工程施工进度提供决策支撑。

1 考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型构建

1.1 工序资源需求矩阵

资源优化总的前提是不改变施工进度计划中各项工序的持续时间及其之间的逻辑关系,并且假设各施工工序在其持续时间内每天的资源需求强度相同,同时确保工序的连续性[12]。因此,首先可以确定施工进度计划中关键工序资源需求矩阵。假设整个建筑工程施工项目包含M个关键工序,总工期为T天,则关键工序对第k种资源的需求量可用式(1)所示矩阵表示：

(1)

其次,构建非关键工序资源需求矩阵。根据各施工工序持续时间及工序间逻辑关系,可计算出非关键工序n的最早可能开始时间ESn和最迟必须开始时间LSn。各非关键工序的实际开始时间TSn应满足：ESn≤TSn≤LSn。非关键工序n对第k种资源的需求量可用式(2)所示的矩阵表示：

(2)

最后,确定整个施工期间第k种资源的需求矩阵。假设整个建筑工程项目包含N个非关键工序,则整个施工期间第k种资源需求量可用式(3)所示的矩阵表示：

(3)

式中：Rk为整个施工期间第k种资源的需求矩阵,其有T个元素,与项目总工期T天一一对应,每个元素代表施工项目在这一天对第k种资源的需求量。

1.2 资源均衡优化模型

资源均衡的衡量指标包括资源方差、资源矩、资源绝对偏差和资源平方和等[13],目前已有的研究大多采用资源方差作为衡量指标。因此,参考文献[11]以非关键工序的开始时间为变量,将建筑工程施工过程中单位时间内资源的方差值最小作为目标函数,可构建施工进度资源均衡优化模型,如式(4)所示：

(4)

1.3 考虑价格波动的资源成本优化模型

建筑工程施工期间所需资源往往分多阶段进行采购,每一阶段的采购量不仅要满足当前阶段的需求以保证施工顺利进行,而且也要考虑资源价格波动的影响,使得整个施工期资源成本最低。因此,可以采用动态规划法建立考虑价格波动的施工进度资源成本优化模型。动态规划法作为运筹学的一个分支,是一种求解多阶段决策问题的优化方法,其遵循“最优性原理”,即“无论子问题对应阶段之前的状态和决策如何,对之前的子问题阶段决策所形成的状态而言,余下子问题的诸决策必须构成最优策略,最优策略的任何一部分子策略也必须是最优的”[14]。

考虑施工期资源需求的不确定性及价格波动的实时性,将施工期划分为T个阶段,即每天为一个阶段,每个阶段都可以组织不多于一次的资源采购。图1是一个T阶段资源采购决策过程的示意图,每个方框表示一个决策阶段。首先,确定施工期第t(t=1,2,…,T)阶段的资源采购量qkt。为确保施工的顺利进行,qkt需满足式(5)所示的取值范围,即第t阶段的资源采购量qkt加上工地现场的仓储量Ikt减去需求量Rkt,要大于等于零且小于等于工地现场允许的最大仓储量。

图1 T阶段资源采购决策过程

(5)

式中：Ikmax为第k种资源在工地现场允许的最大仓储量；Ikt为第t阶段第k种资源在工地现场的仓储量,其取值范围满足Ikt∈[0,Ikmax],且满足Ik,t+1=Ikt+qkt-Rkt的递推关系。

其次,根据第t阶段的资源采购量qkt及工地现场仓储量Ikt,用式(6)所示的函数关系表示第t阶段的资源成本Ckt：

Ckt=pkt×qkt+vc×Ikt

(6)

式中：pkt为第t阶段第k种资源的采购单价；vc为第k种资源的单位可变存储费用(含资金占用费)。

最后,进行整个施工期最优资源成本的计算。图1中fkt(Ikt)表示由第t阶段至第T阶段的最优资源成本。根据动态规划的最优性原理,无论阶段t之前的决策如何,其后的决策对于资源仓储量Ikt必定构成最优资源成本fkt(Ikt)。利用动态规划决策过程的这一特性,构建式(7)所示的递推关系,则可以建立起各阶段最优资源成本之间的联系。

(7)

由式(7)可以看出：要求出fkt(Ikt),需要先求出fk,t+1(Ik,t+1),这就决定了应用动态规划基本方程求最优资源成本总是按照各阶段施工顺序的逆序进行的。特别当t=1时,fk1(Ik1)表示整个施工期的最优资源成本值。每一个Rk矩阵均有其对应的fk1(Ik1),由此,可构建施工期资源成本优化模型,如式(8)所示：

(8)

式中：Ck为施工期第k种资源成本。

1.4 考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型

综上,以非关键工序的开始时间为变量,以最小化单位时间内资源方差、最低资源成本为目标函数,构建建筑工程考虑价格波动的施工进度-资源多目标优化模型,如式(9)所示：

(9)

2 基于适应性权重遗传算法的模型求解

遗传算法宜处理优化模型较复杂,且控制变量含离散变量的优化问题求解。多目标优化问题求解中,适应性权重遗传算法由于其削弱了对权重值准确性要求苛刻的优点而被广泛采用。该方法由Gen和Cheng提出,其利用当前种群中一些有用的信息来重新调整权重,从而获得朝正向理想点的搜索压力[15]。考虑本文所建模型的非线性、多目标等特点,适宜采用适应性权重遗传算法进行求解。

2.1 染色体结构

遗传算法是在一定的约束条件及解集空间中搜索最优解[16]。因此,需根据具体的优化模型设定初始种群。本文在满足基本约束条件ESn≤TSn≤LSn的前提下,采用随机方法产生初始种群染色体基因值,每条染色体的基因位数等于施工项目所包含的非关键工序数量。染色体结构如图2所示,其中,染色体基因位表示施工项目的非关键工序,基因值表示非关键工序的实际开始时间。

图2 染色体结构

2.2 适应度函数

适应性权重遗传算法是利用遗传算法的特点与优势,随着代数进化改变权重系数,给出适应性权重。首先,对式(9)所示的多目标优化模型中2个最小化目标Fk，Ck添加负号,变为2个最大化目标,分别定义为Z1(vj)和Z2(vj)：

Z1(vj)=max(-Fk)，Z2(vj)=max(-Ck)。

其次,确定目标函数适应性权重。在遗传进化中,对于给定的一代,两个极限点确定如下：

式中:pop_size为遗传算法中每代的种群数量;vj为第j个染色体。

在当前代,目标函数适应性权重计算方法如下：

最后,确定权重和目标函数如式(10)所示,将其作为遗传算法中的适应度函数。遗传算法在求解优化问题过程中是以适应度函数评价染色体的优劣,并将其作为染色体个体遗传选择的依据[16]。

Z(vj)=w1Z1(vj)+w2Z2(vj)

(10)

2.3 遗传操作

(1)选择：此操作模拟生物进化过程中自然选择的规律,使得适应度函数值越大的个体被选中的机会越多,从而使得优良的特性得以遗传,体现了自然界中适者生存的道理。本文采用较成熟的轮盘赌策略,按下式对选择概率pj和累计概率qj(j=1,2,…,pop_size)进行计算：

式中:Q为当前代所有染色体的适应度函数值倒数的和；pj为第j个染色体的选择概率；qj为第j个染色体的累计概率,s=1,2,…,j。在[0,1]区间内产生拟选中染色体数量的随机数Rr,并逐个检验：如果Rr

(2)交叉：此操作通过双亲中一部分基因重新组合,生成新的染色体,即子代。本文采用部分匹配交叉法(Partialy-matched Crossover,PMX)[17]，即以设定的交叉率随机从父代染色体中选择一定数量的染色体,再随机将选中的父代染色体两两配对,将每一对父代染色体的部分基因进行交换,形成一对子代染色体。具体操作示例如图3所示。

图3 部分一致交叉法操作示例

(3)变异：此操作通过改变父代染色体中的部分遗传基因,从而形成新的子代染色体,这是一种用于保持染色体集合多样性的遗传操作。本文采用一点按位变异操作,即以给定的变异率随机从父代染色体中选择一定数量的染色体,再随机从选中的父代染色体个体中选择一个基因位,将其对应的非关键工序开始时间变换为在其允许的开始时间区间内重新产生一个随机值,形成一个子代染色体。

(4)算法终止：当遗传次数达到设定的最大遗传代数时,遗传算法终止,并输出Pareto解集。当多个目标函数同时进行优化时,由于多个目标之间的无法比较和矛盾冲突等问题,不一定存在所有目标上都是最优的解,通常存在一个解的集合,这种解称作Pareto最优解[16]。

3 案例应用分析

3.1 案例概况

某施工单位以单价承包模式承建一住宅小区内6栋单体的土建施工任务,该项目总建筑面积 32400 m2,包括1栋(1#楼)12层小高层住宅和5栋(2#～6#楼)3层联排别墅,计划工期82 d。考虑到主体结构工程施工期间钢材用量较大,其价格的波动对资源成本影响较大,因此,选用钢材作为施工进度-资源优化的对象。依据建设单位提供的施工蓝图及施工现场实际情况,施工单位项目管理人员决定采用平行施工方式组织各楼栋主体结构工程施工,经测算1#楼施工工期最长,因此其施工工序均为关键工序,其余楼栋的施工工序为非关键工序,各关键工序和非关键工序的相关参数如表1,2所示。初始施工进度计划横道图如图4中关键工序和非关键工序优化前图例所示,图中各非关键工序开始时间均取其最早可能开始时间。工地现场钢材资源的最大仓储量Ikmax为60 t,最初仓储量Ik1为0,可变存储费用(含资金占用费)vc为15元/(t·d)。

图4 施工进度计划横道图

表1 案例关键工序数据

3.2 考虑价格波动的施工进度-资源多目标优化建模及求解

首先,依据表1的数据和式(1)可构建此工程项目关键工序钢材资源需求矩阵如式(11)所示：

(11)

依据表2非关键工序“2#楼1层”的数据和式(2)可构建与之对应的非关键工序钢材资源需求矩阵如式(12)所示：

表2 案例非关键工序数据

(12)

与之类似,可构建其余14个非关键工序钢材资源需求矩阵。将式(11)，(12)以及其余所有非关键工序的钢材资源需求矩阵按照式(3)的计算方式进行累加,可以得到整个施工期间钢材资源的需求矩阵。以此矩阵为基础,依据式(9)可构建以各非关键工序开始时间为变量，以最小化单位时间内资源方差和最低资源成本为目标的考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型。

其次,从当地造价信息网站上获取钢材的历史价格数据,并利用基于灰色神经网络模型的建筑材料价格预测方法[4],预测得到该项目施工期每天的钢材价格如表3所示,作为模型求解的已知条件。

表3 预测得到的施工期钢材资源单价 元/t

最后,按照前述适应性权重遗传算法求解流程,利用Python语言实现算法的编程,进行优化模型求解。在程序运算时,参照文献[16]设置遗传算法的相关参数：初始种群数量为100,最大迭代代数为500,交叉概率为0.3,变异概率为0.2。运行算法求解程序,得到优化模型的Pareto解集,从中选取1个解,即考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型对应的一组非关键工序最优开始时间,如表4所示,其对应的钢材单位时间内资源方差值为446.50,成本值为2247.99万元。

表4 考虑价格波动建筑工程施工进度-资源多目标优化模型对应非关键工序最优开始时间 d

3.3 施工进度优化结果对比分析

参考已有研究只考虑施工期资源均衡度的优化模型,即以式(4)所示的施工期单位时间内资源方差值最小为目标函数,利用文献[11]中基于微粒群算法的工程项目资源均衡优化方法,可求得该项目各非关键工序的最优开始时间如表5所示,其对应的施工期钢材单位时间内资源方差值为438.99,成本值为2401.24万元。将其与本文所建立的考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型的优化结果(钢材单位时间内资源方差值为446.50,成本值为2247.99万元)进行对比,可知：对于相同的案例,运用本文所构建的优化模型求得的非关键工序最优开始时间方案,虽然单位时间内资源方差值上升了1.71%,但是资源成本却节约了6.38%。由此可见,本文所建立的考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型,能更好地控制单价承包模式下施工单位由于资源价格上涨导致成本增加的风险,更适应当前建筑工程施工进度-资源优化的需要,有助于在保证资源均衡度的同时降低资源成本。因此,可根据表4的数据更新图4中各非关键工序的开始时间后作为最终的施工进度计划,优化后的施工进度计划如图4中关键工序和非关键工序优化后图例所示。

表5 施工进度-资源单目标优化模型对应的非关键工序最优开始时间 d

4 结 论

通过优化施工进度,提升资源均衡度,降低资源价格上涨导致成本增加的风险从而节约资源成本,对于建筑工程施工项目管理来说至关重要。本文首先以非关键工序开始时间为变量,以资源均衡度最优和资源成本最低为目标,构建了考虑价格波动的建筑工程施工进度-资源多目标优化模型；其次,运用适应性权重遗传算法进行模型求解,并利用Python语言实现算法的编程；最后,通过实际案例的应用和对比分析,验证了所建立多目标优化模型相比传统单目标优化模型的优越性。该模型考虑了资源价格波动对资源均衡度和成本的影响,弥补了传统针对施工进度-资源优化仅考虑资源均衡度的单目标优化模型的不足,为科学确定施工进度计划中各非关键工序的开始时间提供依据。需要注意的是,在本文的研究中,资源成本的计算精度依赖于资源价格预测的准确性。此外,所建立的施工进度优化模型仅考虑了单资源的均衡和成本优化,未考虑多资源均衡及其成本等影响因素,这些不足将在后续研究中予以改进。