致密气藏边界流晚期定流压产量递减模型研究

詹泽东，邓伟飞，严焕榕，颜学梅

中国石化西南油气分公司勘探开发研究院，四川 成都610041

引言

1945 年，Arps 通过引入损失比，建立了指数、调和、双曲三大曲线族[1-2]，此后，产量递减分析模型的研究与应用一直是国内外专家与学者研究的热点话题。Li 等先后以Arps 递减模型为基础，分别建立了低渗透油气藏水平井以及压裂水平井开发模式的产量递减模型[3-4]。黄帅等以双曲递减为基础，结合灰色关联分析方法，对气井产量主控因素进行了定量分析，为减缓气井衰减速度制定针对性的措施提供了有力的支撑[5]。崔传智等为了克服Arps 递减模型在油气藏后期预测不确定性强的缺陷，提出了水驱油藏产量递减评价新方法[6]。梁倚维等[7]、王颖[8]分别将Arps 产量递减模型应用于渗流阶段划分和气井类别划分。为了进一步提高Arps 递减模型的预测精度和使用的便捷性，刘文锋等[9]、王怒涛等[10]又分别提出了组合模型和有理式模型。詹泽东等在基于Hiles and Mott 渗流模型的基础上，将Arps 递减模型的指数取值特征代替雷诺数应用于渗流规律的分类[11]。此外，Arps 产量递减模型还广泛应用于油气田动态特征分析[12]以及开发方式对油气井产量影响规律分析等诸多方面[13-14]，目前，已成为全球SEC 储量商品价值评价的行业标准之一[15]。随着非常规气藏的深入开发，Duong 与陈元千等提出了不同的幂递减模型[16-17]，Can 等从统计学的角度引入了扩展指数递减模型[18]，詹泽东等提出了多点采样梯度下降法求解其参数，并应用于深层致密气藏产量预测中[19]。2021 年，陈元千又进一步提出了泛指数递减模型，并在美国页岩气可采储量评价中得到广泛应用，同时与扩展指数递减模型进行对比分析表明具有更高的精度[20-21]。

与此同时，Arps 产量递减模型的渗流机理研究也一直持续进行。Fetkovich 基于达西定律公式，认为定压生产条件下油藏产量递减遵循指数递减，从而首次赋予了Arps 递减以渗流意义，此后产量递减图版法成为反演地层参数重要手段[22]。Fraim 等通过理论推导认为，如果实际时间用拟时间函数代替，气井在定压生产情况下，边界流阶段的产量—时间关系也表现为指数递减[23]，揭示了气藏与油藏产量递减的差异性。Palacio 等以定容油气藏为研究对象，以达西定律为流变方程建立边界流晚期渗流方程，通过方程推导使得边界流阶段产量递减曲线变为调和递减曲线[24]。为了弥补定流压生产条件的限制，通过进一步理论完善又相继出现了Agarwal-Gardner 递减曲线图版、NPI 递减曲线图版以及流动物质平衡曲线图版，从而奠定了现代产量递减分析框架[25]，并得到广泛使用[26]，同时，随着油气藏开发井型和驱动类型不同又衍生出众多递减模型[27-28]。2011 年，陈新彬等从理论上论证了油水两相稳定渗流条件下，相渗曲线形态是造成产量递减遵循Arps 递减模型的主要原因[29]。鉴于双曲递减模型尚未得到渗流理论支撑，陈元千等以大量的矿产数据为依托，进一步强化了Arps 递减模型属于经验模型的论断[30]。

综上所述，通过半个多世纪的发展，油气藏产量递减理论得到了极大的丰富与应用，也正在不断完善与发展。但仍然存在4 个主要问题：（1）以模型数学性质为基础的产量递减模型研究存在量纲不统一的问题；（2）采用Arps 双曲递减进行非常规产量拟合时，存在递减指数大于1 造成物理属性不合理的现象；（3）以渗流机理为基础的产量递减模型研究其动力学微分方程是以达西定律为基础的，致密气藏由于其渗流机理的特殊性，动力学微分方程不再遵循达西定律；（4）在实际开发过程中气井生产普遍采用先定产降压再定压降产的工作制度，与产量递减模型研究中通常假定气井一直采用定压生产存在差异。因此，在进一步明确致密气藏渗流机理的基础上，根据气井实际生产模式建立相应的气藏产量递减理论模型，对深入认识致密气藏产量递减特征具有重要意义。本文依托中江气田沙溪庙组气藏开发实践，在开展渗流机理实验的基础上，结合物质平衡方程通过理论推导建立致密气藏产量递减模型，以期解决以上问题。

1 定容致密气藏渗流方程

开展气藏渗流机理研究是明确天然气在地下多孔介质中动力学方程的基础，如图1 所示，通过对中江气田沙溪庙组气藏岩芯渗流实验分析表明，流体渗流存在启动压力梯度，并且启动压力梯度随着含水饱和度的增加而增加，当含水饱和度从40%上升到80%，启动压力梯度从0.004 MPa/m 增加到0.023 MPa/m。

图1 中江气田沙溪庙组气藏岩芯不同含水饱和度条件下的启动压力（据国专2016ZX05048-004-01）Fig.1 Starting pressure of Shaximiao Formation gas reservoir core in Zhongjiang Gas Field under different water saturation conditions（according to national special 2016ZX05048-004-01）

假设气井位于圆形均质地层中心，同时，考虑到气井在井筒附近过流面积逐渐减小，渗流速度急剧增大，高速流动达到紊流流动，因此，其渗流规律为非达西渗流，满足富切梅尔定律[31-32]，结合启动压力，综合描述径向渗流微分方程为

由此可见，与常规气藏相比，致密气藏径向渗流方程压降由3 部分组成，分别源于流体层间内摩擦力、启动压力以及紊流效应的消耗。对式（1）进行积分，同时考虑井底污染，得到定容气藏气井定产生产达到拟稳态条件下平均地层压力描述的拟压力产能三项式方程[31]

式中：

从式（2）可以看出，与常规气藏相比，由于启动压力梯度的存在，致密气藏气井拟稳态产能方程不再是二项式产能方程，这也是致密气藏根据产能试井采用常规气藏产能方程进行拟合二项式系数异常的重要原因，典型井如图2，通过启动压力项的校正，二项式产量方程异常消失。

图2 中江气田JS 气藏典型井产能试井二项式产能方程异常与启动压力项校正Fig.2 Binomial productivity equation anomaly and startup pressure gradient correction of typical well productivity test in JS Gas Reservoir of Zhongjiang Gas Field

对式（2）进行变量替换，可得

2 定容致密气藏拟稳态定产转定压产量递减模型

位于定容圆形均质气藏中心的气井到达边界后，泄流区域内无外部能量供给，气井主要依靠自身弹性能量驱动，根据弹性定容气藏物质平衡方程[31]

对式（10）进行时间求导，有

根据式（3），同时结合气体等温压缩系数定义[30]，有

气井由定产生产达到拟稳态后改变为定流压生产，即式（6）中产量随着平均地层压力改变，PVT实验分析表明，气体黏度随压力变化较小，趋于0，针对式（6）中对平均压力的求导可忽略，如图3 所示，中江气田天然气黏度随压力的变化率仅0.003（mPa·s）/MPa，趋于0，在整个压力区间变化也较小，这也是业内相似问题的普遍做法[30-32]，联立式（12）与式（6）对时间求导得

图3 中江气田沙溪庙组气藏天然气黏度高压物性实验（地层温度）Fig.3 High pressure physical property experiment of natural gas viscosity in Shaximiao Formation gas reservoir of Zhongjiang Gas Field（formation temperature）

将式（11）代入式（13），得

采用分离变量法积分得

式（15）即为位于圆形均质定容气藏中心气井由定产生产达到拟稳态后，采用定流压生产的产量递减方程，由此可见，由于紊流效应与启动压力的存在，致密气藏气井产量递减模型不再遵循Arps 递减模型。结合式（15）与式（6）～式（9）可以看出，影响定容致密气藏气井产量递减的因素包括储层渗透率、定容气藏地质储量、储层厚度、流体性质、泄气半径、表皮系数、紊流系数与启动压力梯度，进而为气藏产量递减主控因素分析提取特征因子提供了理论依据。

同时，从式（15）可以看出，新的产量递减模型属于隐式方程，可以利用生产数据采用最优化原理求取数值解，平均地层压力求解以及视地层压力求取参考Palacio 与Blasigame 采用的迭代法[24]，某平均地层压力条件下的黏度、等温压缩系数通过高压物性实验数据查取。

典型井数据拟合如图4所示，通过拟合得到该井井控范围内动态储量为0.11×104m3，与实际生产较为吻合（目前该井已停产，累计产气量为0.08×104m3），计算井控范围内启动压力梯度约为0.013 MPa/m，与该气藏实验岩芯分析启动压力梯度实验成果较为吻合（图1），从而为储层参数求取提供了一种新方法。

图4 中江气田沙溪庙组气藏某典型井数据拟合图Fig.4 Data fitting diagram of a typical well in Shaximiao Formation gas reservoir of Zhongjiang Gas Field

3 模型特征分析

3.1 启动压力梯度与紊流效应对气井产量递减具有抑制作用

从式（15）可以看出，启动压力梯度对气井产量递减具有减缓作用，而从式（2）可以看出，启动压力梯度的存在导致气井产量降低，表明启动压力梯度对气井生产具有正负双向作用，一方面增阻降产，另一方面保持稳产（降低气井产量递减速度），紊流效应也具有双重效应，这也是致密气藏长期处于低压低产的重要原因。

3.2 新模型更具一般性

当启动压力梯度为0（λ=0）且紊流系数为0时（β=0），气井产量递减模型为

这就是Fraim 和Wattenberg 通过理论推导认为定容气藏拟稳态条件下由定产转为定流压时产量递减模型[23]，即拟时间函数条件下的气井指数递减模型是气井边界流晚期由定产转为定流压生产气井产量递减的特殊模型。

3.3 无因次时间与无因次产量形式上为Arps 产量递减的指数递减模型

根据式（15）

式（18）表明定容圆形均质气藏定产生产达到拟稳态采用定流压生产条件下其无因次产量与时间汇聚为一条指数递减曲线。

3.4 渗流规律变化可能是造成非常规气藏采用Arps递减模型拟合双曲指数大于1 的原因

非常规气藏开发采用双曲递减模型拟合出现大于1 的情况，进而造成其质量不守恒的情况[16，19]，其原因目前还未得到较好的解释。根据前人研究成果[33]，流体渗流包括高速非达西流、达西流和低速非达西3 种情况，由式（14）可以得到

式中：

D′—瞬时递减率，d-1。

对于定容致密气藏而言，储层渗透率低，紊流系数较大，当气井高配产情况下，气井遵循非达西高速渗流，随着气藏自身能力衰竭，流体渗流速度逐渐降低，当雷诺数达到高速非达西流与达西流临界点时，流体渗流规律发生突变，造成瞬时递减率发生突变，而采用Arps 双曲递减模型拟合点要求递减率具有连续性，强行拟合从而可能导致其递减指数大于1。

4 结论

（1）渗流实验分析表明，致密储层流体渗流存在启动压力梯度，导致气井拟稳态产能方程不再遵循二项式产能方程，实例分析表明致密气产能二项式方程异常可通过启动压力项进行校正。

（2）理论推导表明，气井定产量生产达到拟稳态条件下，改为定流压生产，气井产量递减模型因为受启动压力梯度以及紊流效应影响，产量-拟时间不再遵循Arps 递减模型，通过新模型可以有效求解气井动态储量及启动压力梯度等参数。拟稳态条件下定产转定压生产产量递减新模型影响因素包括储层渗透率、地质储量、储层厚度、流体性质、泄气半径、表皮系数、紊流系数与启动压力梯度，进而为气藏产量递减主控因素分析特征因子提取提供了理论依据。

（3）与Fraim 和Wattenberg 提出的递减模型相比，新模型更具一般性，即Fraim 和Wattenberg 产量递减模型是紊流系数为0，启动压力梯度为0 的特殊产量递减模型，通过引入无因次产量与时间表明，定容致密气藏拟稳态条件下工作制度从定产生产变为定压生产其无因次时间-产量递减曲线汇聚成Arps 指数递减模型。

（4）非常规气藏气井产量采用Arps 双曲递减模型拟合，递减指数大于1 可能是气井渗流规律转化造成的。