一类分数阶分段Duffing振子的混沌研究

王 军， 申永军， 张建超， 王晓娜

(1.石家庄铁道大学 省部共建交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，石家庄 050043；2.河北轨道运输职业技术学院 机电工程系，石家庄 050021)

关于系统产生混沌必要条件的问题，很多学者利用Melnikov方法对其进行了研究。如：牛玉俊等[1]利用Melnikov方法,研究了定点脉冲系统出现Smale马蹄意义下混沌的必要条件，为定点脉冲系统的混沌研究提供了一种解析工具。李海涛等[2]利用Melnikov方法研究了三稳态能量收集系统同宿分岔以及混沌动力学的定性研究方法，得到了发生同宿分岔的阈值曲线。沈晓娜等[3]通过研究非线性碰撞振动系统共存的光滑Melnikov函数和非光滑Melnikov函数，得到光滑同宿轨分叉和非光滑同宿轨分岔产生Smale马蹄混沌的必要条件。李海涛等[4]利用Melnikov方法对非对称势能阱的双稳态能量采集系统进行研究得出了系统发生同宿分岔的阈值，研究结果将拓展非线性动力学的研究范畴，为实现混沌响应的调控提供一种策略。张红丽等[5]利用Melnikov方法研究了一类带有外激的非线性动力系统，得到当某些参数值取特定值时，平均方程的异宿轨破裂，这可能引起Smale马蹄混沌。Wang等[6]利用Melnikov方法研究了准周期扰动下单壁碳纳米管在参量激励和外激励下的共振行为，获得了具有周期摄动近似系统的Smale马蹄混沌的必要条件。刘彬等[7]利用Melnikov方法研究了一种液压缸非线性刚度约束系统，得到了液压缸非线性刚度约束系统发生Smale马蹄变换意义下混沌的临界条件。

还有一些文献主要针对整数阶 Duffing 振子产生混沌的问题进行研究。如：李航等[8]利用Melnikov方法对Duffing系统的主-超谐联合共振系统进行全局分析，得到系统进入Smale马蹄意义下混沌的条件。Wen等[9]用Melnikov方法研究了强迫激励下的整数阶Duffing振子在位移延迟反馈和速度延迟反馈下的异宿分岔和混沌，分析了产生混沌的必要条件。Sun等[10]利用Melnikov方法研究了在谐振激励下具有延迟位移和速度反馈的整数阶Duffing振荡器的混沌行为，得出了同宿分岔产生混沌的必要条件。Shen等[11]基于Melnikov方法研究了在共振激励下具有延迟位移和速度反馈的Duffing振荡器的分叉和混沌行为，建立了Smale马蹄铁意义上混沌解析的必要条件。

针对分数阶系统产生混沌问题的研究还比较少。Xing等[12]利用Melnikov方法分析了分数阶导数欠谐波激励下Duffing振子混沌运动的必要条件，建立了Smale马蹄形意义上的混沌必要条件，然后得到了混沌阈值曲线。Nwagoum Tuwa等[13]利用 Melnikov 方法分析了分数阶简支非线性黏弹性板在参数和外部激励作用下的混沌振动，提出了由同宿分叉引起的Smale马蹄混沌现象的判据。Anague Tabejieu等[14]利用Melnikov方法分析了具有分数阶黏弹性特性的阶次对梁振幅的影响，得出了由异斜分叉引起的Smale马蹄形混沌发生的必要条件。Liu等[15]利用Melnikov方法分析了具有分数阶物理特性的压电振动能量采集器(VEH)系统的混沌行为，得出了均方准则用于检测该随机系统混沌运动的必要条件。Chang等[16]利用Melnikov方法分析了具有分数阶导数的非线性车辆悬架系统的混沌行为，发现分数阶微分项的系数和阶数，刚度系数和系统的阻尼系数均会影响必要条件，并分别对这些参数的影响进行分析。

通过以上文献可以看出，现有研究多偏重于整数阶或单独的分数阶系统研究，关于分数阶和分段系统耦合作用下系统产生混沌必要条件的研究还很少。在含有分数阶的分段光滑系统中，由于分数阶和分段光滑系统非线性的双重影响使产生混沌现象的必要条件更加复杂。

本文基于Melnikov方法研究了分数阶分段Duffing振子产生Smale马蹄混沌现象的必要条件。本文的结构如下：在第1章中，基于Melnikov方法建立了系统同宿轨的Melnikov函数，并获得了混沌的必要条件。在第2章中，通过数值仿真的方法对混沌必要条件进行了验证，通过绘制系统的时间历史，相图和庞卡莱截面图等验证了解析结果的正确性。在第3章中，分析了分数阶参数、分段参数等对混沌必要条件的影响。最后，对具体结论进行了总结和分析。

1 分数阶分段Duffing系统的变换

研究如下分数阶分段Duffing振子

(1)

(2)

关于分数阶的定义有多种不同的形式，Caputo定义是最常用的形式之一。本章采用Caputo定义形式计算分数阶导数如下

(3)

设式(1)存在周期解，即方程的一阶稳态解。采用平均法进行研究，假设式(1)满足

x(t)=acosφ

(4)

式中，φ=ωt+θ。

当0

(5)

利用等价系数替换公式中的分数阶项，一阶近似等价整数阶系统可得到如下表达式

(6)

式中:系统等价的阻尼系数为C1=c+cp;系统等价的刚度系数为K=k-kp。

2 等效整数阶分段Duffing振子的混沌必要条件

令εC=C1，εF=F1，将式(6)转换为状态方程的形式

(7)

当ε=0时，可得到式(7)的未扰系统。由于式(7)为分段系统，因此其未扰系统也为分段形式

(8)

由式(8)可以得到未扰系统的Hamilton方程，系统的Hamilton方程也为分段形式

(9)

(1)α1≤0且α2≤0时，系统只有一个鞍点(0，0)；

第一种情况系统不存在同宿轨，第二种和第三种情况系统仅存在一条同宿轨，第四种情况系统存在两条同宿轨，本文仅考虑第四种情况。

(10)

同样，当M13时，未扰系统的同宿轨道为

(11)

依据Melnikov方法，得到非光滑系统同宿轨的Melnikov函数表达式为

(12)

(13)

将式(13)分为M1、M2两个部分分别进行计算，首先对第一部分M1进行计算

(14)

由于式(14)包含四部分内容，因此把它们分别定义为M11、M12、M13和M14，分别进行积分，其中M11的详细积分过程如下

(15)

同理，可以得到M12、M13和M14的积分值，分别如下

(16)

(17)

(18)

综上，将M11、M12、M13和M14四部分内容相加，即得到M1的结果

M1=

(19)

同样的方法可得到M2的结果如下

(20)

将式(19)和式(20)的积分结果代入式(13)，经整理得到

M(t0)=

(21)

(22)

当M(t0)=0时，式(22)可变形得到

(23)

根据三角函数的基本性质，式(23)可近似为以下形式

(24)

式(24)即为系统产生Smale马蹄变换意义下混沌的必要条件，经整理得到系统产生混沌的必要参数条件为

≤F

(25)

3 混沌必要条件的数值验证

为了验证解析得到的混沌必要条件，本节采用数值仿真方法进行验证。选取系统的基本参数为：k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

根据第2章得到的混沌必要条件的解析结果，即式(25)，得到随分数阶阶次p变化的混沌必要条件的临界线，如图1所示，临界线上各点即为系统产生混沌必要条件的最小激励振幅Fmin。由图1可以看出，临界线将F-p平面分为两部分，分别为周期运动和非周期运动。当F-p平面上的点处于临界线下方及临界线上的区域时，系统处于周期运动状态；当F-p平面上的点处于临界线上方的区域时，系统可能产生马蹄意义上的混沌，即同宿轨发生了横截相交，系统处于非周期运动状态。为了验证上述结果，下面分别选取F-p平面上的点进行数值仿真，包括位于周期区域内临界线上的点①和点⑥、周期区域内位于临界线下方的点③和点⑤，以及非周期区域内位于临界线上方的点②和点④，逐一绘制这六个点的相图、时间历程图和庞卡莱图进行验证，分别如图2～图7所示。

图1 混沌临界曲线及验证点Fig.1 Chaotic critical curves and verification points

(1) 点①是临界线上的点，分数阶阶次p=0.6，激励振幅F=0.9，系统的相图、时间历程图和庞卡莱截面图分别如图2所示，此时系统做稳定的周期运动，由图2可知系统正处于单周期的运动状态。

(2) 点②位于非周期运动区域，分数阶阶次p=0.6，激励振幅F=1.15，系统的相图、时间历程图和庞卡莱截面图分别如图3所示，此时系统处于混沌运动状态。

(3) 点③位于周期运动区域，分数阶阶次p=1，激励振幅F=1.5，系统的相图、时间历程图和庞卡莱截面图分别如图4所示，此时系统也处于单周期运动状态。

(4) 点④位于非周期运动区域，分数阶阶次p=1，激励振幅F=1.7，系统的相图、时间历程图和庞卡莱截面图分别如图5所示，此时系统处于混沌运动状态。

(5) 点⑤位于周期运动区域，分数阶阶次p=1.2，激励振幅F=1.55，系统的相图、时间历程图和庞卡莱截面图分别如图6所示，此时系统正处于周期五运动状态。

(6) 点⑥也是临界线上的点，位于周期运动区域，分数阶阶次p=1.2，激励振幅F=1.848，系统的相图、时间历程图和庞卡莱截面图分别如图7所示，此时系统正处于周期二运动状态。

图8～图10分别为分数阶阶次p=0.6、1和1.2时的系统分岔图。由图8的系统分岔图可以看出，当分数阶阶次p=0.6时，系统产生混沌的激励振幅Fmin为1.130；由图9的系统分岔图可以看出，当分数阶阶次p=1时，系统产生混沌的激励振幅Fmin为1.685；由图8的系统分岔图可以看出，当分数阶阶次p=1.2时，系统产生混沌的激励振幅Fmin为1.855。而由Melnikov解析方法得到的混沌必要条件如图1临界线所示，对应于p=0.6、1和1.2混沌必要条件的激励振幅Fmin分别为0.900、1.620和1.848，可以看出由仿真得到的数值结果和由解析得到的结果存在一定误差，这是由于使用Melnikov函数只是近似结果，同时分数阶微分也是采用的近似等价结果，因此解析结果与数值计算存在一定的误差。由于误差在可接受范围内，因此把系统中的分数阶系统变换成等价的整数阶系统这种方法是可行的。

图8 p=0.6时系统分岔图(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=0.6,K=0.6,ω=0.8)Fig.8 System bifurcation diagram when p=0.6

图9 p=1时系统分岔图(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1,K=0.6,ω=0.8)Fig.9 System bifurcation diagram when p=1

图10 p=1.2时系统分岔图(k=1,c=0.2,α1=0.5,α2=0.1,p=1.2,K=0.6,ω=0.8)Fig.10 System bifurcation diagram when p=1.2

4 主要参数对混沌必要条件的影响

由式(25)可知，所选参数不同，系统产生混沌的必要条件也不同。为了更好地了解各项参数对分段非线性振子混沌必要条件的影响，下面采用数值仿真的方法进行分析。所选基本参数为k=0.6，c=0.2，α1=0.5，α2=0.1，p=1.2，K=1，ω=0.8。

4.1 线性刚度和线性阻尼系数对混沌必要条件的影响

本节分析系统线性刚度系数k和线性阻尼系数c对系统混沌必要条件的影响。图11和图12分别为线性刚度系数k和阻尼系数c变化时，由式(25)得到混沌必要条件的临界线。

图11 线性刚度系数k对混沌必要条件的影响Fig.11 Influence of linear stiffness coefficient k on necessary conditions of chaos

图12 阻尼系数c对混沌必要条件的影响Fig.12 Influence of damping coefficient c on necessary conditions of chaos

由图11可以看出，随着系统线性刚度系数逐渐增大，系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin也随之不断增大，临界线斜率也逐渐变大。同样，由图12可以看出，随着系统线性阻尼系数的增大，系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin值也随之不断增大。这是因为阻尼的增大会使系统消耗更多的能量，意味着系统同宿轨产生横截相交发生混沌所需要的Fmin就越大。因此，增大线性刚度系数和阻尼系数均可以减小系统非周期运动的区域，能够在一定程度起到抑制混沌的作用。

4.2 分数阶阶次和分数阶系数对混沌必要条件的影响

首先分析系统分数阶阶次p对系统混沌必要条件的影响。图13为分数阶阶次变化时，由式(25)获得的系统产生混沌必要条件的临界线曲线图。由图13可以明显看出，随着分数阶阶次p的增大，系统产生混沌必要条件的激励幅值Fmin先升高后降低，最大门槛值Fmin出现在p=1.2附近。

图13 分数阶系数kp对混沌必要条件的影响Fig.13 Influence of fractional coefficient kp on necessary conditions of chaos

由式(5)分数阶项引起的等效阻尼表达式可以看出，当分数阶阶次p由0逐渐增加到2时，等效阻尼先增大后减小，而同样由式(5)分数阶项引起的等效刚度表达式可以看出，分数阶阶次p由0逐渐增加到2时，等效刚度一直是逐渐减小。由4.1节可知，系统线性阻尼的增大会使系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin增大，而等效阻尼减小则会使系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin减小，因此当p由0逐渐增加到2时，由等效阻尼部分引起的混沌必要条件激励振幅Fmin先增大后减小；同样，由4.1节得知，等效刚度的减小会使系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin减小。又由图11和图12可知当系统线性阻尼和线性刚度较小时，线性阻尼对系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin的影响更大，因此，当分数阶阶次p由1增加到2时，系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin随之先增大后减小。

其次分析分数阶系数kp对系统产生混沌的必要条件的影响。保持基本参数不变，分数阶系数kp分别为0.2、0.4、0.6、0.8和1.0时，相应的混沌必要条件临界线如图13所示，它们分别采用不同类型的曲线表示。

从图13中曲线的变化情况可以看出，分数阶阶次p取较小值p

由图13可以看出，随着分数阶阶次p继续增大(pmin1时，由于分数阶等效刚度kp的变号，系统刚度K变为随着kp的增大而增大，而系统线性刚度K的增大会导致混沌必要条件的Fmin增大， 因此，在p>1时，随着kp的增大，系统混沌必要条件的激励振幅Fmin也随之增大。综上可知，在p较大时(pmin

4.3 分段非线性刚度系数对混沌必要条件的影响

分析分段非线性刚度系数比值s=α1/α2对系统发生混沌必要条件的影响。同样保持其他参数不变，选取α2=0.1，0.5和0.9时，得到随着s变化的混沌必要条件临界线如图14所示。由图可以看出同样的s下，α2越小，系统产生混沌的必要条件的激励振幅值Fmin越大，可见s一定时，选取较小的α2会抑制分数阶分段非线性系统的混沌现象。同样由图14还可以看出，当α2不变时，随着s增大，产生混沌必要条件的激励振幅Fmin先迅速减小，到s=1附近时激励振幅Fmin的降幅逐渐变缓，而后继续缓慢减小，s越大的地方，Fmin的变化越平缓。

图14 分段非线性刚度系数比值s对混沌必要条件的影响Fig.14 Influence of piecewise nonlinear stiffness coefficient ratio s on necessary conditions of chaos

由混沌必要条件式(25)可知，分段非线性系数α1和α2对混沌必要条件的影响是一致的，因此可以得到：随着α1或者α2的减小，系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin越大，而对于任意选定的α1或者α2，应尽可能选取较小的α2或者α1，这样会使系统产生混沌必要条件的激励振幅Fmin越大，系统非周期运动区域越小，越不易产生混沌。

5 结 论

本章对含有分数阶微分的分段Duffing系统的混沌阈值进行了研究。

(1) 基于Melnikov方法，得到了系统产生Smale意义下混沌的必要条件。建立了各参数之间的关系，通过混沌必要条件得到了系统产生混沌的周期运动区域和非周期运动区域。

(2) 通过数值模拟相图、时间历程图和庞卡莱截面图以及系统分岔图对混沌必要条件进行了验证，并详细分析了系统参数对混沌必要条件的影响，得出系统的刚度系数、阻尼系数、分数阶参数以及分段非线性参数均对系统产生混沌的必要条件有着重要影响，通过改变这些参数可以改变系统的周期运动和非周期运动区域，研究结果对类似系统的混沌抑制有一定意义。