带有非局部条件的Sobolev型积微分方程解的存在性

黄欣怡, 凡震彬

(扬州大学数学科学学院, 江苏 扬州 225002)

Sobolev型半线性积微分泛函方程是具体的偏积分微分方程的一种抽象形式, 在流体通过裂隙岩石的流动和剪切运动等方面有着广泛的应用． Brill[1]和Showalter[2]等研究了Banach空间中半线性Sobolev型方程解的存在性; Balachandran等[3-4]利用紧半群和Schauder不动点定理得到了Banach空间中Sobolev型非线性积微分方程解的存在性和可控性; Li等[5]利用非紧测度和不动点方法, 得到了可分Banach空间中具有非局部条件的Sobolev型分数阶积微分方程温和解的存在性; Ponce[6]研究了Sobolev型分数阶扩散波动方程的从属原理; Vijayakumar等[7]利用多值不动点定理, 通过求解算子得到了一组具有无穷时滞的中立型积微分包含近似可控的条件．另一方面, 具有非局部条件的微分方程在应用中自然出现, 而非局部初值条件概念的引入使描述自然现象时比经典初值问题更自然、更精确．Fan等[8]在紧半群情形时,利用非紧测度和Darbo-Sadovskii不动点定理得到了当非局部函数g仅为连续条件时, 脉冲方程解的存在性;李建利等[9]研究了一类带有非局部条件的广义Bagley-Torvik型分数阶微分包含解的存在性; Pinaud 等[10]建立了一个一般的非局部条件的包含问题,得到了非线性方程近似可控的结果．本文在非局部函数g非紧的情况下研究了一类Sobolev型半线性积微分方程温和解的存在性, 利用拓扑变换技巧和逼近思想,分别克服了相关算子的可交换性以及解算子在零点处的紧性困难,获得了方程温和解的存在性结果．

1 预备知识

本文研究Banach空间中带有非局部条件的Sobolev型非线性积微分方程

(1)

假设X,Y为Banach空间, 算子K:D(K)⊂X→Y和算子Ξ:D(Ξ)⊂X→Y为闭线性算子, 且D(Ξ)⊂D(K),Ξ是双射,Ξ-1:Y→D(Ξ)连续．对任意的t∈[0,a]和λ∈ρ(KΞ-1),R(λ,KΞ-1)是紧算子．由闭图像定理知算子KΞ-1:Y→Y为有界算子, 故KΞ-1生成一致连续半群{Q(t)}t≥0．

引理1[11]假设A是一致连续半群{T(t)}t≥0的无穷小生成元．若对任意的λ∈ρ(A),R(λ,A)是紧算子, 则{T(t)}t≥0为紧半群．

由引理1可知, {Q(t)}t≥0是紧半群, 且存在正数M, 使得maxt∈I‖Q(t)‖≤M．

对任意的x∈C(I;X), 令y(t)=Ξx(t), 则方程(1)可等价于

(2)

定义1[11]若存在连续函数y:I→Y满足方程

则称y是方程(2)的温和解．

令r是非负常数, 设Br={y∈Y:‖y‖≤r},ωr={y∈C(I;Y):y(t)∈Br,t∈[0,a]}, 对函数ρ和非局部项g有以下假设:

(H1)ρ:I×X×X→Y是Carathéodory函数, 即对几乎处处的t∈I,ρ(t,·,·)连续; 对任意的(y,z)∈X×X,ρ(·,y,z):I→D(Ξ)可测, 且存在常数C1>0,φ∈L1(I;Y), 以及非负递增函数Ψ1: (0,+∞)→(0,+∞), 使得‖ρ(t,y,z)‖≤(φ(t)+C1)Ψ1(‖y+z‖)．

引理3假设条件(H1)～(H3)成立, 则算子S2是紧算子．

引理4[12](Schauder不动点定理) 设D⊂X是非空有界闭凸集,F:D→D是连续的紧映射, 则F在D中至少有一个不动点．

2 主要结果

定理1假设条件(H1)～(H3)成立, 且满足不等式

(3)

则方程(1)在[0,a]上至少有一个温和解．

因为非局部项g没有紧性, 且在无穷维空间中半群Q(t)在t=0处非紧, 为了解决解算子在t=0处的紧性问题, 对n≥1, 考虑方程(2)的逼近问题:

(4)

定理2假设条件(H1)～(H3)成立, 且满足不等式(3), 则对每个n≥1, 方程(4)在[0,a]上至少有一个温和解．

证明 对固定的n≥1, 定义算子Sn:C(I;Y)→C(I;Y),

显然,Sn的不动点就是逼近方程(4)的温和解, 接下来用Schauder不动点定理证明Sn有不动点．

接下来证明存在r>0, 使得Snωr⊆ωr．对任意的y∈ωr,‖Sny‖≤MC2Ψ2(‖Ξ-1‖r)+M(‖φ‖L1+aC1)Ψ1[(ν*+1)‖Ξ-1‖r]．因不等式(3)成立, 故存在充分大的r, 使‖Sny‖≤r, 故Snωr⊆ωr．

最后证明Sn是一个紧算子．对任意的y∈ωr,t∈[0,a], 令Sny=Sn1y+Sn2y, 其中

(Sn1y)(t)=Q(t)Q(n-1)h(Ξ-1y),

对任意的t∈[0,a],n≥1,Q(t)Q(n-1)=Q(t+n-1)是紧算子,{Q(t)Q(n-1)h(Ξ-1y):y∈ωr}在Y中相对紧．又对任意的y∈ωr, 0≤t1

‖Sn1y(t2)-Sn1y(t1)‖≤‖Q(t2+n-1)-Q(t1+n-1)‖C2Ψ2(r‖Ξ-1‖)→0,

故Sn1ωr在区间[0,a]上等度连续．由Arzel-Asocil定理可知,Sn1是紧算子．类似引理3的证明, 可得Sn2也是紧算子, 故Sn是紧算子．因此, 根据Schauder不动点定理,Sn在C(I;Y)中至少有一个不动点, 即逼近方程(4)在[0,a]上至少有一个温和解．证毕．

定义逼近方程解集Ω={yn∈ωr:Snyn=yn,n≥1}．

定理1的证明1) 证明逼近方程解集Ω在C(I;Y)中相对紧．对任意的yn∈ωr,t∈[0,a],令Snyn=Sn1yn+Sn2yn,n≥1, 其中

(Sn1yn)(t)=Q(t)Q(n-1)h(Ξ-1yn),

对t∈(0,a], 由Q(t)的紧性及{Q(n-1)h(Ξ-1yn):yn∈ωr}的有界性, 得{(Sn1yn)(t):n≥1}在Y中相对紧．类似引理3的证明, 对t∈(0,a],{(Sn2yn)(t):n≥1}在Y中相对紧, 故Ω(t)在Y中相对紧．

则方程(1)在[0,a]上至少有一个温和解．

推论2假设条件(H1)和(H3)成立,h是连续的紧算子, 且对任意的y∈C(I;X), 存在常数C2>0, 以及非负递增函数Ψ2: (0,+∞)→(0,+∞), 使得‖h(y)‖≤C2Ψ2(‖y‖)和不等式(3)成立, 则方程(1)在[0,a]上至少有一个温和解．