一种常见多普勒效应的理论和实验研究

施 灿 楚吉敏 方立铭

（皖南医学院公共基础学院，安徽 芜湖 241002）

多普勒效应是指当波源与观测者存在相对运动时，观测者接收到的波的频率与波源发出的频率不同的现象.该现象最早由奥地利物理学家多普勒（J.C.Doppler，1803—1853）在1842年发现并研究.［1］多普勒效应在医疗诊断、交通监测、科学研究等领域有着十分广泛的应用.

现行的多数物理教材对波源和观测者在同一直线上运动的理想一维多普勒效应进行了讨论.而实际生活中多为波源和观测者在平面上相对运动的二维多普勒效应，观测者往往并不位于波源的速度方向上.如行人站在马路边，一辆鸣笛的汽车从身边匀速驶过，这时行人听到的音调变化如何？相当一部分学生对此现象认识不够清楚.本文对这一常见情形的多普勒效应进行了理论分析和实验研究.

1 问题研究

沪科教版《物理》（选择性必修第1册）第3章“多普勒效应”一节中，有这样一道例题.

一人站在火车轨道旁，一列正在鸣笛的火车高速驶来，然后又高速离去，则此人听到的鸣笛声的频率将

（A）变大. （B）变小.

（C）先变大后变小. （D）先变小后变大.

解析：高中阶段只对理想一维情形的多普勒效应进行了定性分析.下面从实际的二维多普勒效应角度来定量研究该问题.

如图1所示，假设波源A静止时的鸣笛声频率为f0，当A鸣笛并以速度vA匀速直行时，观测者B静止站于路边，且距A轨迹的垂直距离为d，B听到的鸣笛声频率为f.假设环境风速为0，声速为u，且vA＜u.此外，需要明确波源频率f0是指波源在单位时间内发出的完整波的个数，观测频率f是指观测者在单位时间内接受到的完整波个数.下面进行分类讨论.

图1 几何示意图

（1）当d=0时，观测者B位于波源A的速度方向上，此为教材中最常讨论的理想一维多普勒效应.当波源A靠近B时，产生的波面不再是一系列同心的球面，而是沿波源运动方向被压缩，如图2所示.因此，在观测者B看来，波长缩短为λ=λ0-vAT，故观测频率为

图2 波源运动时的波面示意图

同理，当A远离B时，

（2）当d≠0时，此为实际生活和应用中更常见的二维多普勒效应.此时，波源速度方向不在波源A与观测者B的连线上，只有沿径向（A、B连线方向）的速度分量才是有效的.

仅通过上式难以直观地了解f随x的变化规律，下面通过软件进行作图分析.

2 作图分析

通过开源软件GeoGebra绘制观测频率f随x变化的函数曲线，并做到全参数可调.作图时，先建立3个滑动条：f0=3000，d=2，vA=10，可进一步设置滑动条的变化范围以及步长；接着在代数区输入观测频率f的表达式，即可得到图3所示的函数曲线.

从图3中可明显地观察到，当波源A由远而近，再由近而远时，观测者B听到的声音频率都是持续降低的.当A离得较远时f变化得较为缓慢，在经过B附近时f迅速降低，之后再趋近一定值.其中，当波源A经过O点的瞬间，f=f0.

图3 观测频率f随x的变化图像

调节滑动条，可动态直观地看到不同物理参数对观测频率f的影响.其中，当d=0时，f的函数图像如图4所示.当A靠近B时，f＞f0；当A远离B时，f＜f0，且二者均为定值.此为波源A和观测者B在同一直线上运动的理想一维多普勒效应情形.

图4 当d=0时，观测频率f随x的变化图像

3 实验探究

由理论分析可知，鸣笛的汽车在匀速靠近路旁静止的行人时，人听到的声音音调并不是越来越高的.学生产生这一错误认知的原因可能是由于声强和音调在同时变化，且声强的变化对音调的变化起到了较强的“覆盖”作用，人耳难以辨别.下面通过实验进行较为精确的测量，实验中主要利用了Phyphox软件（中文版为“手机物理工坊”）.

3.1 实验器材

两台装有Phyphox的智能手机，电动车，卷尺，温度计.

3.2 实验设计

（1）选一个较为空旷、安静的场地，利用温度计测得环境温度为T.由于环境风速会影响实验结果，故尽量选择无风的时间进行实验.

（2）打开手机A中的Phyphox软件，通过“音频发生器”功能发出频率为f0的纯音，若手机的音量较小，可连接一蓝牙音箱进行实验；驾驶电动车，携手机A沿跑道以速度vA直线行驶.

（3）同时将手机B放在跑道中央附近，并利用卷尺测得B离跑道的水平距离为d，注意让手机A和B处在同一水平高度.将手机B的录音功能打开，录制音频（图5）.

图5 实验示意图

（4）播放手机B中的录音文件，利用手机A中Phyphox的“声音频谱”功能，对音频进行频谱分析.

（5）改变波源频率f0，多次进行实验.

3.3 实验结果

图6 利用Phyphox中“声音频谱”功能分析音频数据

将实验参数代入计算后可得，当A从远处靠近B后再远离时，前后总频移为

实际由Phyphox测得前后总频移为Δf=105.47 Hz，如图6（b）所示.计算可得二者相对偏差约为2.3%，有较高的实验精度.该实验重复进行了多组，波源频率f0分别设置为2000 Hz，3000 Hz和4000 Hz，相对偏差均低于3%，实验结果符合预期.

回顾科学史可以发现，多普勒效应最早的实验验证是由荷兰科学家Buys Ballot在1845年完成的，［3］由于当时的技术条件有限，他让一队小号手站在行进的火车上吹奏，再让一些训练有素的音乐家凭自己的耳朵来判断音调的变化，实验颇费周折.如今，随着科技的发展，我们可以很方便地利用生活中常用的智能手机对多普勒效应进行较为精确的实验验证.

4 结语

在实际应用中，二维情形的多普勒效应十分普遍.例如医学上的彩色多普勒血流成像（Color Doppler Flow Imaging），［4］常称为“彩超”，是利用超声波的多普勒效应来检查人体血液的流动方向、流速和流动状态.其中，超声束与血流方向的夹角会影响频移信号，［5］对成像结果有明显的影响.

本文对于生活中常见的二维情形的多普勒效应进行了定量研究，并通过易得的实验器材进行了较为精确的验证，加深了学生对多普勒效应的理解.实验以智能手机作为主要器材，相较于价格高昂的数字信息系统（Digital Information System），智能手机更为普及和方便，易于激发学生的学习兴趣和探究精神.