抗差Helmert估计在BDS/GPS组合定位权比分配中的应用

许 政 万胜来 郭 强 王 闯 冯思宇

1 中航机载系统共性技术有限公司, 江苏省扬州市沙湾中路9号, 225000

随着全球导航卫星系统(global navigation satellite system，GNSS)的快速发展，多系统组合定位成为必然趋势。相比于其他卫星导航系统，BDS与GPS有更好的兼容性[1-3]，且双系统组合可显著增加可见卫星数量，改善卫星的几何分布，从而提高定位精度及可靠性。

但由于实际解算中观测值来自于2个不同的系统，其观测噪声与随机误差各不相同，传统等权模型将双系统观测值笼统地归为一类，反而会降低组合定位的精度[4]。因此，获取能表征观测值随机噪声水平的方差-协方差阵[5]，构建精确的随机模型，进而准确地给出两类观测值的权比，实现组合定位精度的提升，是近年来国内外学者广泛关注的热点问题[6-9]。

为解决这一问题，本文提出一种利用抗差Helmert方差分量估计定权的BDS/GPS组合定位算法。首先，构建Helmert方差分量估计组合定位模型；然后，引入基于IGGⅢ方案的等价权函数，改进权函数调节因子，解决由粗差导致的方差分量估计模型失真的问题；最后，通过BDS/GPS双系统实测数据对所提算法的有效性和优越性进行仿真验证。

1 抗差Helmert方差分量估计算法设计

1.1 Helmert方差分量估计

假定BDS和GPS观测阵LB和LG相互独立，由参数平差模型构成的误差方程为：

(1)

根据最小二乘法代价函数最小理论，误差方程为：

(2)

根据二次型期望公式推导出严密Helmert方差分量估计为：

(3)

式中，

(4)

1.2 基于IGGⅢ方案的抗差估计权函数设计

Helmert方差分量估计不具备抗差性，当系统观测值中存在粗差时，粗差产生的影响可能会转移到随机模型中，造成模型失真。引入抗差估计权函数，生成等价权矩阵对可疑数据进行降权处理，削减粗差的影响，提升系统的抗干扰能力和可靠性。

按照抗差估计理论，建立目标函数：

(5)

式中，i表示观测类型，j表示某类观测值数量，ρ(·)为连续凸函数，(Pj)i为权函数，(Vj)i为残差函数。

基于等价权原理，可得抗差估计：

(6)

通过选取合适的权函数，确定等价权矩阵，可实现抗差估计，因此权函数的选取至关重要。本文选用基于IGGⅢ方案的抗差估计权函数：

(7)

式中，常数k1一般取值为1.5～2.0，常数k2一般取值为3.0～8.5，σ为ν的中误差，σ=median(|νj|)/0.674 5。

(8)

(9)

1.3 抗差Helmert方差分量估计算法流程

1) 将BDS与GPS两系统之间的初始权比设为PB=PG=1，同一系统内部根据高度角模型进行定权：

Pij=sin(Ej)

式中，Pij为权值，Ej为第j颗卫星的高度角。

2) 按式(1)进行预平差计算，获取BDS与GPS系统的观测值残差信息VB和VG；

4) 按式(4)重新调整两系统间的权阵；

5) 根据抗差估计理论，按式(9)计算自适应抗差因子，降低含粗差观测值的权重；

2 实验验证

使用接收机实际采集到的BDS/GPS组合系统观测数据与导航电文，对本文所提抗差组合定位算法(robust Helmert算法，简称RH算法)的性能进行仿真验证。接收机的真实空间直角坐标为[-2 364 332.717 2 m,4 870 286.103 8 m,-3 360 810.227 0 m]，采样周期为30 s，采样时间为24 h，共计2 880个历元，抗差估计权函数参数设为k1=1.5、k2=3.0。

为验证本文算法的正确性和有效性，选用基于高度角模型的最小二乘least squares组合定位算法(LS算法)和经典Helmert方差分量估计组合定位算法进行对比实验。分别利用3种算法对实际采集到的BDS/GPS组合系统观测数据进行定位解算，通过表征输出定位结果聚合度的极差和均方根误差(RMS)指标来评价各算法的定位性能。

无粗差情况下的仿真结果如图1和表1所示，可以看出，Helmert算法和RH算法在观测历元内的误差曲线稳定，未出现大幅波动，而LS算法的误差曲线波动略大，甚至在个别时刻出现了较大跳跃。

图1 未添加粗差的定位误差序列Fig.1 Positioning error diagram without gross error injection

表1 未添加粗差的定位结果对比

从表1定位结果可以看出，由Helmert算法和RH算法得到的E、N、U方向上的定位极差和RMS结果均优于LS算法。

Helmert算法和RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值分别为3.86和3.41，双系统间重新定权后，性能优于仅通过高度角定权的LS算法。

为验证本文RH算法的组合定位性能，人为给GPS系统内一颗随机卫星的伪距观测值添加75 m的粗差，结果如图2和表2所示。可以看出，LS算法受粗差影响，定位误差波动较大，与表1相比定位性能急剧下降；Helmert算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为0.02，虽通过实时调整GPS系统权值尽可能降低了粗差带来的影响，但从E、N、U方向上部分历元的误差曲线出现阶跃可以看出，影响未被完全消除，定位性能有所下降；RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为4.45，与未添加粗差时的权比接近，误差曲线稳定，未出现大幅波动。表2中的定位性能指标数据与表1相似，可见具有抗差模型的RH算法不仅可合理地定权，同时能够较好地抑制粗差带来的影响。

图2 单系统添加粗差的定位误差序列Fig.2 Single system positioning error diagram with gross error injection

表2 单系统添加粗差的定位结果对比

为进一步验证RH算法的组合定位性能，在每一历元分别给GPS和BDS系统内一颗随机卫星的伪距观测值添加75 m的粗差，结果如图3和表3所示。可以看出，因双系统内增加了一颗含伪距粗差的卫星，LS算法在E、N、U方向上的极差和RMS受到影响，误差进一步累加，证明仅通过高度角定权的LS算法完全无法抵御粗差；Helmert算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为6.25，双系统均出现含粗差的卫星，导致算法无法通过实时调整权值降低粗差带来的影响，且从E、N、U方向上的误差曲线及定位性能指标数据可以看出，整体性能降幅较大，部分历元定位结果偏差甚至大于高度角定权的LS算法，可见粗差已经导致Helmert算法模型收敛失真；RH算法在2 880个历元内GPS与BDS系统间权比的均值为5.24，通过抗差模型消减含粗差卫星的权值，降低粗差的影响，使得系统间权比与前2次仿真结果接近且较为稳定。表3中定位性能指标数据与表2相比略有下降，从图3可以看出，E、N、U方向上的误差曲线在个别历元出现波动，对数据进行分析发现，添加粗差后部分正常卫星伪距观测值被“污染”，残差增幅达到抗差模型的临界状态，使得抗差效果有所降低。总体来说，RH算法能够较好地抑制粗差带来的影响，性能符合预期。

图3 双系统添加粗差的定位误差序列Fig.3 Dual system positioning error diagram with gross error injection

表3 双系统添加粗差的定位结果对比

3 结 语

本文针对组合定位中系统间权比分配的问题，提出一种抗差Helmert方差分量估计组合定位方法，引入并优化基于IGGⅢ方案的抗差估计模型，通过自适应抗差因子动态消减可疑观测，抵御粗差，改善经典Helmert算法估计模型收敛失真的问题。通过仿真对比实验证明，当BDS与GPS两系统的伪距观测值均存在粗差时，本文算法可有效抑制组合系统粗差观测值的影响，合理确定两类观测值的权比，提高组合定位的精度与可靠性。