基于LSE改进EM算法的屏蔽数据下并联系统贮存可靠性分析

余珊珊,张永进,张燕军,展佳慧

(1.安徽工业大学 数理科学与工程学院,安徽 马鞍山 243002;2.扬州大学 机械工程学院,江苏 扬州 225127)

对于长期处于贮存状态的产品,需要保证在结束贮存、投入使用时具备很高的可靠性[1]。为保持其高可靠性,在产品贮存期间通常要对其进行周期检测试验,从而需要分析系统的失效信息数据。此处的失效信息数据来源于系统中失效的具体元件。以串联系统和并联系统为例,在串联系统中,组成系统的元件中如果有1个失效,就会导致系统失效,因此最早发生失效的元件即为该系统的失效原因[2]。但是,对于实际贮存产品,由于缺乏检测设备以及检测对产品造成破坏等原因,导致贮存试验中系统失效的元件不能被准确识别,而只能将其归咎于某些元件所组成的集合,系统真正的失效原因被屏蔽掉了。在并联系统中,组成系统的所有元件失效才会导致系统失效,因此在系统的未失效数据中可能含有部分元件失效数据,此时该部分元件失效数据就被屏蔽掉了。由于系统中部分失效元件未知,称这种系统寿命试验数据为屏蔽数据[3,4]。因产品贮存寿命检测试验中常包含屏蔽数据,所以考虑含屏蔽失效信息下的贮存可靠性具有重要的理论与实际意义。

已有的有关产品贮存可靠性评定与预测研究[5]主要分为不包含及包含屏蔽数据2种情形。若不考虑屏蔽数据,早期Merren[6]分析了贮存3～6 a的大量电子元器件的成败型检测数据,获得了贮存失效率,认为贮存寿命并非完全服从常数型参数的指数分布。由于贮存失效数据需要通过测试手段获得,Martinez[7]基于指数寿命分布,评估了周期检测失效数据。针对周期检修记录的贮存失效数据,Zhang等[8]给出了参数估计的极大似然(Maximum likelihood,ML)方法,对周期检修下的贮存可靠性进行评估与预测,并在Poisson失效过程的假设下,给出了在周期检测点处贮存可靠性点估计“倒挂”数据的修正方法[9]。为此,Zhao等[10,11]修正检修时刻的点估计值,给出了产品贮存可靠性的最小二乘估计(Least square estimate,LSE),但未考虑实际情况下的周期检测情形。由于定期检修是提高贮存产品使用可靠性的主要措施,闫霞[12]、张永进等[13-15]、杨军等[16,17]考虑此情形并讨论了贮存可靠性相关问题,但未考虑失效信息被屏蔽的情形。目前,考虑贮存检测失效数据具有屏蔽情形的文献较少,最早Friedman等[3]给出了屏蔽数据相关概念,Usher等[18]应用ML方法估计了含屏蔽数据信息的系统可靠性问题。针对完全样本数据,Sarhan等[19]给出了含屏蔽信息的并联系统可靠性ML估计;对于截尾样本数据,基于逆Weibull寿命分布,Cai等[20,21]研究了元件屏蔽数据情况下并联系统的可靠性。然而,文献[3,18-21]未涉及产品在贮存状态下的可靠性问题,为此,Zhao等[22]给出了含屏蔽数据的串联系统贮存可靠性,基于LSE,对含有初始失效元件的贮存可靠性进行了分析,但未涉及并联贮存系统情形。

鉴于贮存屏蔽数据存在的合理性,以及大量存在的并联结构系统问题,本文将建立含元件级屏蔽数据的并联系统贮存可靠性模型。考虑各元件都具有不同的初始失效情况,在指数寿命分布下进行周期检测试验。考虑成败型周期检测数据,其中在未失效的系统数据中含屏蔽元件级失效数据。拟使用改进的期望最大化(Expectation maximization,EM)算法在未失效系统数据中挖掘被屏蔽的元件失效数据,用来更新周期检测的实时数据,并用LSE对各元件的初始可靠度和失效率进行参数估计。最后通过仿真数据验证模型的有效性以及改进的EM算法的可行性。

1 模型假设与屏蔽数据

1.1 基本假设

为保持产品的高使用可靠性,通常在产品贮存期间进行周期检测并维护[7],则周期检测下贮存试验条件如下:

(1)试验环境为,贮存试验的外界应力恒定,产品系统或元件能在同一环境条件下处于等待使用状态;

(2)贮存初始状态为,产品系统或元件在出厂或贮存开始时并非处于完美状态,即贮存初始可靠度满足0≤R0≤1;

(3)贮存样本个数为,在条件(1)的试验环境中存放N个同型产品,构成该产品的元件1,2,…,m分别为N10,N20,…,Nm0个;

(4)抽样方式为无放回抽样方式,对贮存产品及其构成元件进行检测试验;

(5)抽检样本量为,在各检测时刻,产品系统及元件检测数远小于对应总贮存样本数;

(6)贮存寿命为假定服从常用的指数分布。

1.2 并联系统的贮存可靠性模型

设t′为产品系统的贮存寿命,其中t′为1个随机变量且在试验中很难观察到其具体值,通常已知的是1个偏大、偏小或在某段贮存时间点之间的值。记A为“产品在贮存开始时刻是合格的”这一随机事件,则根据上述基本假设以及条件概率理论,产品在贮存时刻t的可靠度为[13]

R(t)=P(t′>t)=P(A)P(t′|A)=R0Rs(t)

(1)

式中:Rs(t)为条件贮存可靠性,表示某产品处于完美状态下,在贮存时刻t的瞬时可靠度,反映的是在一定贮存环境条件下,贮存对产品系统带来的可靠度影响。

根据条件假设(6),记该产品系统中元件i的条件贮存失效率为λi,则根据式(1)知,其元件的可靠度为

Ri(t)=R0iexp(-λit)

(2)

因为每个产品由m个独立且不完全相同的元件并联构成,从而当且仅当所有元件失效时才导致该产品失效,则式(1)中贮存寿命t′应为max(t′1,…,t′i,…,t′m)。记t′i表示第i个元件的贮存寿命时间,R0i表示第i个元件的初始可靠度,λi是第i个元件的贮存失效率(i=1,2,…,m),根据式(1)、(2),该产品系统在时刻t的贮存可靠性为

R(t)=p{max(t′1,…,t′i,…,t′m)>t}=

1-p{max(t′1,…,t′i,…,t′m)≤t}=

1-p{t′1≤t,…,t′i≤t,…,t′m≤t}=

(3)

对于同时贮存的产品系统,若记该产品的失效率为λ,则根据式(1),产品系统在贮存时刻t的可靠度应为

R(t)=R0exp(-λt)

(4)

由式(3)、(4)得

(5)

(6)

式(6)表明,系统在并联结构形式下,初始可靠度R0可根据元件初始可靠度确定。

1.3 屏蔽失效数据

由于部分元件失效并未导致系统失效,从而检测成功的产品系统中可能隐藏着部分失效元件,需要在未失效的产品系统数据中挖掘屏蔽的元件失效数据。对于贮存产品的周期检验结果,假定周期检测记录数据为成败型数据。根据假设条件(3)、(5),在周期检测时刻tj,从贮存的N件产品系统中抽样nj(nj=N)件,检测出产品失效数为fj,未失效数为sj,j=1,2,…,v。同一时刻,从Ni0(nij==Ni0)个贮存元件i中抽样nij个,检测出该型号的元件失效数为fij,未失效数为sij,i=1,2,…,m。具体地,产品系统与元件检测记录数据如表1所示,其中,nj=fj+sj,nij=fij+sij,i=1,2,…,m,j=1,2,…,v。

表1 检测时记录的成败型数据表

在贮存检测时刻tj,系统含有元件个数为m的条件下,造成系统失效的元件集可表示为1个非空集合Fj⊆{1,2,…,m}。由于检测的系统是并联结构形式,所有元件失效才会导致系统失效,即有Fj={1,2,…,m}。反之,可定义系统未失效时所对应的元件集为Sj,则有Sj⊆{1,2,…,m}。而在并联系统中,只要有1个元件未失效系统就不会失效。若系统中各元件均未失效,此时没有失效数据被屏蔽,即Sj={1,2,…,m};若未失效的产品系统中,至少有1个元件失效,此时系统的失效数据存在一定的隐蔽性,称该产品系统的失效数据信息被屏蔽,此时成功元件集应为集合{1,2,…,m}的非空真子集,即Sj⊂{1,2,…,m}。

2 参数估计

2.1 不考虑屏蔽数据的LSE

在使用贮存可靠性模型进行可靠性分析前,首先需要确定模型的参数。对于并联系统下的贮存可靠性模型式(3),共有2i个参数R0i,λi需要进行估计,i=1,2,…,m。若不考虑系统屏蔽失效数据,根据成败型数据,在指数寿命分布下,使用LSE确定贮存可靠性函数中的参数。应用贮存元件的检测数据,根据式(2)可得到各元件在时刻tj的可靠度函数Ri(tj)为

Ri(tj)=R0iexp(-λitj)

(7)

取对数有ln(Ri(tj))=ln(R0i)-λitj,若令Yij=ln(Ri(tj)),ai=ln(R0i),bi=-λi,i=1,2,…,m,j=1,2,…,v,则有一元线性回归方程Yij=ai+bitj。结合式(7)有

于是贮存元件可靠性参数的LSE可表示为

(8)

(9)

另一方面,基于产品系统的贮存检测数据,根据式(4)知,产品系统的可靠性参数的LSE为

(10)

(11)

显然,通过式(8)～(11),可对产品系统及元件的可靠性做出评估和预测,并对产品的贮存检测周期给出理论依据。

2.2 考虑屏蔽数据的改进EM算法

EM算法的一般思想是首先给出待估参数的初始值,如α0,然后计算缺失数据的期望。利用ML方法,计算出α1,从而获得完整的数据。以α1为新的初始值,重复这个过程,一直达到稳定值[10]。

(12)

系统在对应检测时刻的贮存可靠度ML估计为

(13)

结合式(3),易通过ML方法得出各元件初始可靠度R0i和失效率参数λi[13,14]。

EM算法的适用前提是易获得ML估计,但当系统屏蔽失效数据存在时,要考虑各元件参数的ML函数,此时ML函数会变成1个具有高维度的多变量函数,一般不存在参数的分析解,因此直接使用EM算法很复杂。

由于元件参数的LSE具有近似的解析形式,基于LSE可对EM算法改进如下:

(1)E步,给出元件参数的初始值α0,找出系统屏蔽未失效数据的期望。

(2)M-LS步,使用计算出的系统屏蔽未失效数据期望和系统检测数据,假设其数据完整,更新数据后,利用LSE,计算出元件参数α1。

将α1作为新的初始值,进行k次迭代,直至相邻2次参数之差的绝对值小于指定阈值,即

|α(k)-α(k-1)|<ε

ε→0时,达到收敛。

考虑并联系统,当系统中元件失效数据被屏蔽且检测数据是成败型数据时,使用改进的EM算法对贮存可靠性参数进行估计。

(14)

由于系统未失效时,至少有1个元件未失效,则有

i=1,2,…,mj=1,2,…,v

对于屏蔽数据(nj,fj),使用式(14)计算每个元件的期望未失效数

(2)M-LS步,将表1中的元件成败型数据更新为

(15)

利用式(15)的计算结果估计元件成败型数据,再应用式(7)～(9)、(12),得到各元件的初始可靠度和失效率估计为

(16)

(17)

(18)

(19)

ε→0时,可以终止E步和M-LS步的迭代。

3 算例分析

3.1 不考虑屏蔽数据

为演示改进的EM算法估计模型参数的有效性,以2个元件构成的并联系统为例。贮存系统及元件的检测数据(n,f)如表2所示,根据贮存模型的条件假设,其中系统未失效数据中含有被屏蔽的元件失效数据。

表2 系统及元件的成败型数据表

根据式(3)并联系统下的贮存可靠性模型,分别对元件1、元件2的初始可靠度R01、R02及失效率λ1、λ2进行计算。

3.2 考虑屏蔽数据

图1 元件1与元件2的初始可靠度及失效率变化图

图2 参数差值变化图

从算法结果知,考虑屏蔽数据时的初始可靠度均低于不考虑屏蔽数据时的初始可靠度,考虑屏蔽数据时的失效率均高于不考虑屏蔽数据时的失效率。鉴于贮存屏蔽数据的存在性,考虑屏蔽数据与工程实际情况更相符。

表3 元件1、元件2的贮存可靠性模型的参数估计表

表3估计出的各元件初始可靠度和失效率再结合式(2),可得到元件1和元件2的贮存可靠性函数如图3所示。

图3 各元件的贮存可靠性变化趋势图

图3表示元件1、元件2在贮存情形下,不考虑屏蔽数据时,通过LSE得到的贮存可靠性变化曲线,以及考虑屏蔽数据时,通过改进的EM算法得到的贮存可靠性变化曲线图。由图3知,不管是元件1还是元件2,考虑屏蔽数据时,得到的贮存可靠性函数值均比不考虑屏蔽数据时低,主要原因是:不考虑屏蔽数据时,只需要通过检测到的元件数据来估计元件模型中的参数,没有考虑到系统对其元件的可靠性也会造成影响;而考虑屏蔽数据时,不仅要通过检测到的元件数据来进行估计,还要结合检测到的系统数据进行参数估计。

3.3 计算系统的初始可靠度及失效率

表4 系统的贮存可靠性模型的参数估计表

工程上,常用预测的可靠性相对误差来度量实际值和拟合值的匹配程度[24,25],具体地,设θE和θP分别表示估计的参数值和预测的参数值,则预测的参数值相对误差可以表示为

(20)

根据表4数据,取θ=R0和θ=λ,RE1和RE2分别为计算得出的系统初始可靠度相对误差和失效率相对误差,相关结果如表5所示。

表5 系统初始可靠度和失效率的相对误差表

表5中数据显示,考虑屏蔽数据时系统初始可靠度和失效率的相对误差均小于不考虑时的情形,从而表明考虑屏蔽数据得到的参数估计更加精确。表4估计出的系统初始可靠度和失效率再结合式(4),可得到系统的贮存可靠性函数如图4所示。

图4 系统的贮存可靠性函数图

图4表示系统及元件在贮存情形下,通过系统检测数据,得到的系统贮存可靠性变化曲线,以及在考虑屏蔽数据与不考虑屏蔽数据时,通过元件检测数据估计得到的系统贮存可靠性函数变化曲线图。由图4可清晰地看出,考虑屏蔽数据时的曲线变化图与通过系统检测数据得到的曲线变化图较吻合,更符合实际情形。

4 结束语

针对并联形式的贮存结构系统,基于指数寿命分布,本文工作主要有:

(1)建立了各元件都具有不同初始失效情况的系统贮存可靠性模型,得到了贮存可靠性失效率与初始可靠度的等效方程;

(2)针对并联系统中的屏蔽失效数据,提出了基于LSE的改进EM算法,估计了考虑系统屏蔽失效数据的元件及系统贮存可靠性模型中的参数;

(3)通过算例分析知,本文算法能有效挖掘系统未失效数据中的元件失效信息。虽然考虑屏蔽失效数据时,得到的元件及系统贮存可靠性函数值都略低于没有考虑屏蔽数据时的贮存可靠性函数值,但更符合实际贮存情形。