基于Bray-Curtis相异度的冲突度量方法

陈洪锋, 王 欣,2,*

(1.黑龙江大学 电子工程学院, 哈尔滨 150080; 2.黑龙江省信息融合估计与检测重点实验室, 哈尔滨 150080)

0 引 言

信息融合技术是近二十年来持续研究的热点[1-2]，D-S证据理论是信息融合技术的重要方法之一， 它最早是由Dempster提出，后由其学生Shafer优化，从而形成了一门新的理论。目前，D-S证据理论被广泛应用于目标识别[3- 4]、故障诊断[5]、多属性决策分析[6-7]以及风险评估[8]等领域。

虽然D-S证据理论因其能够表达不确定性信息而被广泛应用，但存在诸多问题。例如，当D-S证据理论处理高冲突证据时，可能会得到与直观相悖的结论[9]。此外，许多学者还发现D-S证据理论存在的另一个问题是传统冲突系数k无法准确度量证据间的冲突程度[10]。

对于此问题，学者们提出了许多改进方法。2006年，Liu W R等[9]举例说明了传统的冲突系数k无法准确地度量证据间的冲突程度，将Pignistic概率距离与冲突系数k两者结合起来描述冲突的大小。宋亚飞等[10]提出应用余弦角度来度量证据间的冲突程度。Deng Z等[11]认为只用证据距离或角度来衡量证据间的冲突程度是不准确的，因此提出了一种将证据距离与角度相结合的冲突程度度量方法。Cai Q X等[12]将Pignistic probability transform 推广为Pignistic belief transform (PBT)，提出了一种基于PBT的冲突度量方法。毛艺帆等[13]提出证据重合度的概念来度量证据间的冲突程度。虽然这些方法在某种程度上都能对冲突程度进行度量，但也存在一些不足。例如文献[1]的余弦方法不满足三角不等式，且由于引入了相似度矩阵修正证据，增加了计算负担。

笔者基于Bray-Curtis相异度公式，提出了一种证据冲突度量的计算方法，与以往文献对比，所提方法具有如下创新点：①理论证明了所提方法满足非负性、规范性、对称性、一致性和三角不等式，这些性质保证了所提方法能够对证据的冲突程度进行有效度量；②所提方法无需矩阵运算，计算负担小，且多个典型实验仿真验证了所提方法的有效性。

1 基础知识

1.1 D-S证据理论

定义1 (识别框架) 在D-S证据理论中，一般用集合来表示命题，假定用Θ表示一个互斥又可穷举元素的集合：

Θ={s1,s2,…,sN}

(1)

称Θ为识别框架；sj(j=1,2,…,N)为一个假设或者单子集命题;N为命题的个数。由识别框架Θ的所有子集组成的一个集合称为Θ的幂集，记作2Θ，表示为

2Θ={φ,{s1},…,{sn},{s1∪s2},{s1∪s3},…,Θ}

(2)

幂集对应着某一决策问题的所有可能答案。

定义2 (基本概率赋值basic probability assignment, BPA) 设Θ为识别框架，如果一个函数m:2Θ→[0,1]满足：

(3)

称m为BPA函数，也称为质量函数。m(A)为对命题A的支持程度。如果m(A)>0，那么称A为Θ的一个焦元。

定义3 (Dempster合成规则) 假定识别框架Θ下的两个证据E1和E2，其相应的BPA为m1和m2，焦元分别为Ai和Bj。设k<1，则Dempster合成规则为

(4)

(5)

式中:k为冲突系数，反应了证据间的冲突程度。

1.2 Pignistic概率转换[14]

Pignistic概率转换最早由Smets提出，其目的是将复合命题转换为单子集命题，降低计算复杂度。

定义4 假设m为识别框架上Θ的BPA，则m(A)的Pignistic概率转换：

(6)

其中，φ为空集，|B|为集合B的势。

1.3 Bray-Curtis相异度[15]

Bray-Curtis相异度是生态学中的概念，由J. Roger Bray和John T. Curtis提出，它是度量不同样地物种组成差异的测度。计算公式为

(7)

其中，y为物种多度;k为物种数；i和j为相比较的两个样地的编号。

2 新的冲突度量方法

结合Pignistic概率转换方法与Bray- Curtis相异度公式，提出一种新的证据冲突度量方法。下面给出证据差异度的计算公式。

2.1 证据的相异度

定义5 设m1={a1,a2,…,an},m2={b1,b2,…,bn}为识别框架Θ下的两条证据，则差异度为

(8)

其中，BdBCD(m1,m2)为证据间的差异程度，BdBCD(m1,m2)越大，证据间的冲突越大，反之亦然。由于证据冲突度与证据相似度是对立关系，因此1-BdBCD(m1,m2)为两个证据的相似度度量。

2.2 证据相异度性质

基于式(8)计算的两个证据的相异度BdBCD(m1,m2)满足以下性质：

1) 非负性：BdBCD(m1,m2)≥0；

2) 规范性：BdBCD(m1,m2)≤1；

3) 对称性：BdBCD(m1,m2)=BdBCD(m2,m1)；

4) 一致性：BdBCD(m1,m2)=0, 当且仅当m1=m2；

5) 三角不等式：BdBCD(m1,m2)≤BdBCD(m1,m3)+BdBCD(m2,m3)；

证明假设在识别框架Θ下存在两条证据分别为m1={a1,a2,…,an}，m2={b1,b2,…,bn}。

由BPA的定义2可知ai≥0,bi≥0，所以，由BdBCD(m1,m2)的定义可以看出，性质1)～4)成立。证明性质5)：

假设在识别框架Θ下还存在证据m3={c1,c2,…,cn}。性质5)代入证据的差异度公式为

(9)

由绝对值不等式

(10)

由定义2的BPA的归一性引出式(9)成立，即性质5)成立。

证据相异度BdBCD(m1,m2)只能处理证据的焦元均为单子集的情形，而当证据中含有非单子集焦元的证据而言，需要运用式(6)，对原始证据进行Pignistic概率转换，通过转换可将BPA中的复合命题转换为单子集命题，然后再用BdBCD(m1,m2)计算即可得到两组证据间的冲突程度。下面通过实例仿真和与以往文献的比较，验证所提方法的有效性。

3 实例仿真

例1设识别框架为Θ={A,B,C,D,E}，两个传感器给出的证据如下

m1:m1(A)=0.2,m1(B)=0.2,m1(C)=0.2,m1(D)=0.2,m1(E)=0.2

m2:m2(A)=0.2,m2(B)=0.2,m2(C)=0.2,m2(D)=0.2,m2(E)=0.2

由例1可见，两组证据是完全相同的，但利用传统的式(4)计算的冲突系数k=0.8，这显然与直觉是相悖的。而根据本文所提方法计算可以得到BdBCD(m1,m2)=0，与直觉相一致，说明本文方法可有效度量相同证据间的冲突程度。

例2设识别框架为Θ={A,B,C}，3个传感器给出的证据如下

m1:m1(A)=0.99,m1(B)=0.01,m1(C)=0；

m2:m2(A)=0.8,m2(B)=0.1,m2(C)=0.1；

m3:m3(A)=0.6,m3(B)=0.2,m3(C)=0.2

利用证据差异度式(8)计算，得到证据间的相似程度为

1-BdBCD(m1,m2)=0.810 0, 1-BdBCD(m1,m3)=0.610 0, 1-BdBCD(m2,m3)=0.800 0。

相关系数方法[10]中的计算结果为

cor(m1,m2)=0.985 9，cor(m1,m3)=0.907 5,cor(m2,m3)=0.965 0。

从整体上看，本文提出的方法与文献[10]中的结果相一致，都认为3组证据存在一定的相似度。然而，从直觉上可以看出，三组证据虽然存在着一定的相似程度，但是不应达到0.985 9、0.907 5和0.965 0。相比于相关系数方法，可见本文所提方法对证据间的冲突度量更有效。同时，本例也验证了BdBCD(m1,m2)满足性质1)～5)。

例3设识别框架为Θ={A,B,C,…,T}，两个传感器给出的证据如下

m1:m1(BCD)=0.05,m1(G)=0.05,m1(Θ)=0.1,m1(At)=0.8；

m2:m2(ABCDE)=1

其中，At的变化规律为：{A},{AB},{ABC}, …,{A,B,C,…,T}。将本文方法与冲突系数k、difBetP[9]、相关系数cor[10]、difBf[12]、证据距离dBPA[16]、证据关联系数r[17]以及证据相关系数Conf[18]方法相对比，计算两组证据间的冲突程度，见图1。

由图1可见，冲突系数k保持不变，因此不能有效度量证据间的冲突程度。本文方法与其他方法的变化趋势相同，都可以得到结果：在At={ABCDE}时，证据间的冲突程度最小。

图1 不同冲突度量方法的计算结果随At的变化趋势Fig.1 Trend of results of different conflict measurement methods with varying At

例4设识别框架为Θ={A,B}，2个传感器给出的证据如下

m1:m1(A)=α,m1(B)=1-α;

m2:m2(A)=0.999 9,m2(B)=0.000 1

其中，α的取值范围为[0,1]，每次取值增加0.01。将本文方法与相关系数cor[10]、证据关联系数r[17]、以及BJS[19]方法相对比，计算两组证据间的冲突程度，见图2。

图2 不同冲突度量方法的计算结果随α的变化趋势Fig.2 Trend of results of different conflict measurement methods with varying α

由图2可见，在α=0时，所有方法度量两组证据间的冲突程度都为1；在α=1时，所有方法度量两组证据间的冲突程度都为0；随着α的取值不断变大，所有方法度量的证据间冲突程度逐渐降低。但是，相比于其他3种方法，可见本文方法得到的结果更加线性，说明所提方法更加有效。

例5设识别框架为Θ={A,B,C,…,J}，两个传感器给出的证据如下

m1:m1(BCD)=0.05,m1(G)=0.05,m1(Θ)=0.1,m1(At)=0.8；

m2:m2(J)=1

其中，At的变化规律见表1。

表1 集合At的变化Table 1 Variation of set At

根据本文方法，证据间的冲突程度随变量t的变化趋势见图3。由图3可见，通过本文方法计算：当t<10时，2组证据间的冲突程度是不变的，因为此时无论t值如何变化，证据m1中对命题J的支持度是不变的；而当t=10时，两组证据间的冲突程度变低了，因为此时证据m1中提升了对命题J的支持度。随着t值不断变大，冲突程度也逐渐变低，与直观相一致。

图3 冲突程度随t的变化趋势Fig.3 Change trend of conflict degree with varying t

4 结 论

针对D-S证据理论中，传统冲突系数k无法准确度量证据间冲突程度的问题，基于Bray-Curtis相异度公式，提出了一种新的证据冲突度量方法，该方法满足非负性、规范性、对称性、一致性和三角不等式等冲突度量性质，并具有计算负担小、度量精度高、线性度量等性质，通过理论证明和实验仿真，验证了该方法的有效性。