WOD样本下VaR核估计的强相合性及Bahadur表示

王巍，朱勇，吴青青，吴燚

(池州学院大数据与人工智能学院，安徽 池州 247000)

0 引言

vp=inf{u:F(u)≥p},

其衡量了某段持有期资产价值损失的单边临界值.

VaR的早期估计主要是基于回报分布的参数估计，例如高斯分布或t分布，参数化模型在解释上具有优势，但实践中分布往往是未知的，导致计算VaR时常因模型设定错误而出错.近年来，一些学者提出了VaR的非参数估计量，非参数估计量不再受分布约束且能够自动求解收益的厚尾分布，也弱化了回报过程的动态性假定. Dowd[1]研究了基于样本分位数的VaR非参数估计，通过模拟发现，样本量越大，VaR估计精度越高. Berkowitz-Brien[2]和Inui-Kijima -Kitano[3]研究发现当投资组合具有厚尾分布特征时，基于样本分位数的VaR非参数估计具有较大的正偏差. Chen-Tang[4]提出了基于核分位数估计的VaR非参数估计，对相依条件下的金融回报率序列进行了分析. 此外，一些学者对α-混合、NA、NOD等序列样本的VaR非参数估计进行了研究[5-12].

WOD随机变量序列的概念是由Wang-Wang-Gao[14]2013年提出的. WOD是一类更具有普遍性、更弱的相依结构.

定义1[14]称{Xn,n≥1}为上宽象限相依随机变量序列(WUOD)，若存在有限的实数序列{gU(n),n≥1},使得对每个n≥1，xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n都有

(1)

称{Xn,n≥1}为下宽象限相依随机变量序列(WLOD)，若存在有限的实数序列{gL(n),n≥1}，使得对每个n≥1，xi∈(-∞,+∞),1≤i≤n都有

(2)

若{Xn,n≥1}既是WUOD随机变量序列，又是WLOD随机变量序列，则称{Xn,n≥1}为WOD随机变量序列，其控制系数记为g(n)=max{gU(n),gL(n)}.显然，由gU(n)≥1与gL(n)≥1可知g(n)≥1,n≥1.

之后，一些学者研究了WOD序列，取得了一些有意义的结论[15-17]. 通过调整控制系数g(n)可知，WOD结构包含了其他相依结构. 当gU(n)=gL(n)=M，M是一个正数，式(1)和(2)同时成立，则称随机变量为END的；当gU(n)=gL(n)=1，式(1)和(2)同时成立，则称随机变量为NOD的. Joag-Proschan[18]指出NA随机变量是NOD的. Hu[19]引入了NSD的概念并指出NSD包含NOD. 可见，WOD结构包含了独立随机变量序列、NA、NSD、NOD及END序列. 因此，研究WOD样本下的VaR核估计量具有重要意义.本研究利用WOD序列的性质及其指数不等式研究了VaR核估计量的性质，同时给出了VaR核估计的收敛速率和Bahadur表示，推广和改进了Chen-Tang[4]、Wei-Yang-Yu[5]以及Yang等[20]相关文献的研究结果.

1 主要结果及证明

为了获得本文中的主要结果，需要首先给出几个引理.

引理1[14]设序列{Xn,n≥1}是WLOD(WUOD)变量，如果{fn(·),n≥1}均为非降函数，则随机变量{fn(Xn),n≥1}也是WUOD(WLOD)变量；如果{fn(·),n≥1}均为非增函数，则随机变量{fn(Xn),n≥1}也是WUOD(WLOD)变量.

引理2[20]设{Xn,n≥1}是WOD随机变量，控制系数g(n)=max{gU(n),gL(n)}，EXi=0，对于每个i≥1,|Xi|≤b，b为正数，对于任意0

其中，K=b2/2(1-C).

引理3[21]设F(X)为右连续的分布函数，则其反函数F-1(t)是非降且左连续的，当且仅当x≥F-1(t)时，F(x)≥t.

下面将给出本文中的主要结果及其证明.

定理1设00，f′(x)在vp邻域内有界，则存在正常数λ，使得当n充分大时，以概率1有

A=P(|vp,h-vp|>εn)

=P(vp,h>vp+εn)+P(vp,h

=P(p-F(vp+εn)>Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn))

+P(p-F(vp-εn)>Fn,h(vp-εn)-F(vp-εn)).

由F(x)在vp处连续且F′(vp)=f(vp)>0，将F(vp±εn)在vp处泰勒展开可以得到

A=P(Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn)<-f(vp+θ1εn)εn)

+P(Fn,h(vp-εn)-F(vp-εn)>f(vp-θ2εn)εn)

≤P(|Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn)|>c1εn)+P(|Fn,h(vp-εn)-F(vp-εn)|>c1εn)

其中，θ1,θ2∈(0,1)，c1=infx∈[vp-εn,vp+εn]f(x)>0，因此，当n充分大时，有

(3)

P(|Fn,h(vp+εn)-F(vp+εn)|>c1εn)

其中，K1=2/(1-C).

(4)

令λ=4K，由式(4)可得

由Borel-Cantelli引理可知，|vp,h-vp|≤εn以概率1成立，从而定理得证.

Fn(x)-F(x)-Fn(vp)+p≤Fn(mk+1,n)-F(mk+1,n)-Fn(vp)+p≤δk+1,n+Tεn

(5)

及

Fn(x)-F(x)-Fn(vp)+p≥Fn(mk,n)-F(mk,n)-Fn(vp)+p≥δk+1,n-Tεn

(6)

由式(5)和(6)可得

(7)

对于任意给定k，易知

(8)

(9)

其中，K1=2/(1-C2).

类似可得，当n充分大时，有

(10)

令C1=17K1，结合式(8)～(10)可得，当n充分大时，

定理3假定定理2条件成立，那么存在常数C2，使得当n充分大时，以概率1有

dk,n-Tεn≤Fn(x)-F(x)≤dk+1,n+Tεn

进一步可得

(11)

P(|dk,n|>εn)=P(|Fn(vp+kεn)-F(vp+kεn)|>εn)

其中，K2=2/(1-C3).

定理4的证明首先由定理1和定理2可得

(12)

再结合定理3和Taylor定理，可以得到

|Fn(vp)-p|≤|Fn(vp,h)-F(vp,h)|+|F(vp,h)-F(vp)|≤

(13)

另外，通过泰勒展开并结合式(12)、(13)可知，

其中，ωn为一介于vp,h和vp间的随机变量. 由以上等式可得

从而定理4得证.

注1Chen-Tang[4]以及Wei -Yang -Yu[5]在α混合样本下分别研究了VaR核估计和线性核分位数估计，笔者研究WOD样本的VaR核估计，研究结果推广了Chen-Tang以及Wei-Yang -Yu的相应内容.

注2与Yang等[20]比较，本文中在研究WOD样本下VaR核估计时，获得了与Yang等相似的收敛速率，而当核函数G(x)=I(x≥0)时，结果退化成Yang等[20]的形式，可见，此结果更具有一般性.

2 数值模拟分析

为了进一步验证本文中所得的理论结果，下面将运用R软件进行数值模拟.模拟将分别考虑独立样本和相依样本两种情况，将VaR核估计和样本分位数估计进行对比，比较二者同实际值的绝对偏差大小.概率水平p=0.05，样本量n依次为100，200和300，实验重复500次，核函数采用高斯核.独立样本产生于标准正态分布，相依样本根据Liu[22]的例4.1得到，其中Xi～χ2(3)，易知其为WOD样本.

模拟分析结果如表1所示，通过模拟分析可以看出,不论是独立样本还是相依样本， VaR核估计和样本分位数估计的平均偏差均随着样本增大而减小，前者在各样本量上的偏差均要显著小于后者.此外，对比独立样本和相依样本发现，VaR核估计的优势在相依样本上表现突出.

表1 VaR估计平均偏差