估数、估测和估算的内涵及相互关系

吴 倩，孙兴华

(东北师范大学 教育学部，吉林 长春 130024)

估计是人类的一种最频繁的心理活动。(1)鲍建生：《估计——数学教育面临的新课题》，《教育研究》1997年第10期，第69-72页。估计不仅和日常生活有紧密的联系，也是数学的一项基本技能。发展和培养估计能力至少包含以下两方面的好处：一是提供给学生一种检验答案合理性的方法；二是估计能力的发展有利于提高其他数学能力，如心算、空间可视化、测量和数感。随着估计内容的学习价值受到重视，估计的相关研究也逐渐增多。对估计的研究主要集中在心理和数学教育两个领域。因为估计是一个相对笼统的概念，这些研究大多数会涉及估计的具体类型，以便得到更加有针对性的结果。在数学教育文献中，数量估计(numerosity estimation，简称估数)、测量估计(measurement estimation，简称估测)和计算估计(computational estimation，简称估算)一般被认为是常见的三种估计类型。但由于对其内涵及关系的探讨相对较少，因此教师教学时经常存在一定的困惑和问题，比如，估数和估算的过程中似乎都需要计算，两者的区别到底是什么？教学时怎样处理呢？为明晰这些问题，本文对估数、估测与估算的内涵及关系进行探析，进一步厘清这三个概念的使用，期望能有助于小学数学教师理解它们的本质，以便更好地发展小学生的估计意识与能力。

一、估数、估测和估算的内涵

估数、估测和估算是在某种需要下产生的，与我们所熟知的计数、测量和计算有着紧密的关联，下面对其内涵和概念进行辨析。

(一) 估数

在通常情况下，人们通过计数来获得物体数量，但在有些情况下人们无法将呈现在视野中的物体一一数出来，因此便采用估计的方式来获得物体的大概数量，这就是数量估计(2)蔡方之，黄淑丽，颜乃欣：《图形排列方式对数量估计的影响》，《台湾心理学会第43届年会会议论文集》2004年9月。。由此可见，估数和计数都是获得物体数量但心理操作过程不同的思维活动。数学家华罗庚曾说：“数是数出来的”，可知数的产生源于度量。估数其实是一种粗略的计数，仍然是获取物体数量，所以本质也是度量。计数在于得到一个精确的度量结果，而估数获得物体大概的数量即可。两者之间的差异既体现在度量的目的及结果，还在于度量的过程不同。就计数而言，计数又叫数数，数数的过程就是把要数的东西，与自然数列里从“一”开始的自然数，建立一一对应(3)程福生主编：《学生实用小百科》，海南出版社1995年版，第679页。。就估数来说，数量估计实际是在没有足够时间数出物体的数量，或要数的物体数量过大、亦或对非静止的物体根本无法做出计数的情况下做出的一种粗略估计(4)徐继红，司继伟，周新林，董奇：《数量估计的研究回顾》，《心理科学》2010年第3期，第646-648页。。这种情况下，人们想要做出较为合理的判断，就需要依赖一定的估计策略。

估数策略的研究中，分解—重组、基准比较和眼球效应(知觉)被认为是常用的策略，大多数估计者倾向于使用前两种。(5)Crites T. Skilled and Less Skilled Estimators’ Strategies for Estimating Discrete Quantities. The Elementary School Journal, 1992,92(5),pp.601-619.运用三种估计策略要经历的心理操作过程与计数不同：首先根据实际背景，选择合适的单位，这是首要且关键的一步。对估数来说，这里的单位指的是计数单位，即个、十、百等。其次在此单位下，选择合适的心理参照量以获得最终的估计值。而眼球效应对这一过程的整合程度最高，是数感形成的标志。由此可知，估数比计数有更复杂的心理操作程序，因此数量估计是一种高层次的认知加工过程(6)Liu W, Zhang Z J, Zhao Y J, et al. Effects of Awareness on Numerosity Adaptation. PloS One, 2013, 8(10)，p. e77556.。估数和计数还具有共性之处：第一，度量对象相同，都是实物数量或实际背景中物体的数量，可以进行视觉加工。第二，数的范畴相同，即都是自然数。

(二) 估测

布赖特(Bright,1976)将估测界定为“在不使用一般的测量工具的情况下，以某种方法推测出测量结果的一种心理加工过程”(7)Bright G W. Estimation as Part of Learning to Measure. National Council of Teachers of Mathematics Yearbook, 1976，38, pp.87-104.。由此可知，估测和测量最大的不同在于测量工具的使用，以及由它所带来的操作属性的不同，即测量具有真实可操作、可观察的特点，而估测是一种心理操作。

除上述区别外，估测和测量还有以下的相同点：(1)其本质都是度量。测量是把待测定的量同一个作为标准的同类量进行比较的过程(8)刘娟娟：《小学数学“测量”的内容本质分析和教学建议》，《南京晓庄学院学报》2019年第3期，第33-36页。。估测也是经历比较过程而得出结果，所以其本质相同。所以从度量角度去看估测的心理操作过程，是与估数有着相似的操作程序。首先是选择合适的单位。不过值得注意的是，对于估测来说，这里的单位指的是计量单位。根据不同的量，其计量单位并不统一，而是有各自的单位系统。例如长度的单位有毫米、厘米和米等。其次在选定的单位下，根据心理参照量与待测量进行比较，并获得最终的估计值。(2)两者的度量对象相同，都是有量纲的量。在小学数学中，度量的内容分布在不同领域，所涉及的量包括：长度、角度、面积、体积(容积)、时间、货币(价格)、质量，这些共同构成了估测的对象。

(三) 估算

雷斯和贝斯特恩(Reys & Bestgen,1981)将估算定义为心算、数的概念和算术技巧之间的相互作用，且是一个快速执行的心理过程(无需任何记录工具)，其结果是与正确计算的结果相当接近的答案(9)Reys R E, Bestgen B J. Teaching and Assessing Computational Estimation Skills. The Elementary School Journal, 1981, 82(2),pp. 117-127.。像估数与计数、估测与测量之间既有共性之处又存在差异，估算和精算也是这样的一对概念。两者均归属于运算的范畴，它们最大的差异来自于本质的不同：精算是对于数的运算，估算是对于数量的运算(10)史宁中：《基本概念与运算法则 小学数学教学中的核心问题》，高等教育出版社2013年版，第32页。。

此外，估算本身还具有以下特征：(1)估算问题需要有实际背景。估算是对数量的运算，而数量往往隐含着具体的背景，因此估算问题需要有实际背景。(2)估算的条件促使估算的发生。相比于精确计算，估算往往缺乏精确计算所需的知识、时间、手段或动机，并且有时我们必须在没有计算器、纸和笔的情况下，在心里完成快速计算或判断数值大小的过程。(3)估算是需要“算”的。估算有别于精算，也不同于近似计算和心算，但计算仍是其主要的组成部分。不同于近似计算，是因为尽管两者在计算结果上都是非准确的，但一般来说近似计算对近似值的选取有特定的法则，但估算相比来说更开放。而心算通常指对精确数量的运算，与估算涉及一些共同的心理加工活动，估算可以增加心算潜能，帮助心算更好进行。(4)估算的过程要符合推理的逻辑。很多估算问题是为了要得到上界或下界，而如何根据这一要求对题目中的数量估大或估小，以及对估算结果进行解释，要考虑三者之间的逻辑关系。

二、估数、估测与估算的关系

对三个数学概念的探讨发现，它们的内涵丰富，且存在共性之处，三者都是一种心理加工过程，我们把估数、估测与估算的关系整理如下表：

表1 估数、估测与估算的关系

从表1我们可以看出它们之间的区别与联系，具体来说：

(一) 从数学本质及所属范畴来看，三者之间是有区别的

估数和估测在本质上都是度量，而估算的本质在于运算。这一阐释在前面已有所提及，这里就不重复赘述。其次是所属范畴，对于估数和估测来说，它们是由于度量对象的不同而做区分的。而这一归属合理性的问题需要提及人们对数和量的认识。长期以来，人们对于数和量是区别对待的，数是数出来的，量是量出来的，直到第一次数学危机出现(11)胡作玄：《引起纷争的金苹果 哲人科学家——康托尔》，福建教育出版社1993年版，第62页。。随着数系的扩充以及对量认识的丰富，人们意识到，能数出来的是正整数，而能量出来的是一部分基本量。结合前面对估数和估测度量对象的论述，由于其度量对象的不同，将估数归为数的范畴，而将估测归为量的范畴。

对于估算来说，并不像估数和估测一样，其本质与所属范畴存在直接的关联，而是经历了再寻找的过程。因为虽然估算的本质是运算，但运算并非是解决估算问题的核心所在，因此需要找到运算的上位概念以明确其所属范畴。估算问题都具有实际背景，其实可以将其看作问题解决。问题解决的核心是提取数量关系，所以将数量关系作为其所属范畴，反映了估算问题的核心特点，而这一特点与估数、估测存在着质的不同。

值得一提的是，估数和估测虽都属于度量，但两者的度量单位有所不同，估数的单位为计数单位，而估测的单位是计量单位。这是由于度量的对象以及单位的形成过程是不同的。一类是计数单位，通过对数的抽象得到；另一类是计量单位，借助工具得到的，如刻画时间的“秒”，刻画距离的“米”等(12)娜仁格日乐，史宁中：《度量单位的本质及小学数学教学》，《数学教育学报》2018年第6期，第13-16页。。

(二) 从数学基本技能的视角来看，三者之间是相关联的

有研究表明，估算同估数、估测相比，并不是一种独立的单一数学技能。研究者做了一个相关的五种能力测试，包括数能力、数量推理、计算估计、测量估计、数量估计。结果表明：估测和估数能够从一般数学能力中完全抽离出来，形成独特的数学技能，但估算则不然，它是一般数学能力的一个组成部分(13)Hogan T P, Brezinski K L. Quantitative Estimation: One, Two, or Three Abilities?Mathematical Thinking and Learning, 2003, 5(4),pp. 259-280.。对该结果的进一步解释则为：估测、估数和估算同样作为一种数学技能，但估算具有不独立性，它与其他两种技能存在交叉，而这种交叉体现心里操作层面，三者都需要计算的参与。

估数和估测有着相似的心理操作程序，即根据心理参照量与给定量进行比较，这一过程涉及的就是计算，以数量估计的一个实例进行具体阐释，例如，为了估计一场大型运动会的观众人数，我们可能先估计一小片区域的人数作为参照量，而后数出这样的区域数，二者的乘积即为观众总人数的估计值。估数和估算所涉及的计算范围有所不同，前者是在正整数的范畴里，后者则不仅限于正整数，还包括数系扩张后所产生的数，如小数、分数、百分数等。小学数学教科书中一般仅编排和整数、小数有关的估算，且大多数都将小数的估算转化成整数的估算，是考虑到估算的难度，而其他未涉及的数，是因为估算的复杂程度更高，小学生难以理解，因此教科书中没有出现。

三、估数、估测与估算的教学思考

估数、估测和估算这些内容的教学对于培养学生的量感，发展学生的度量意识非常重要。因此，在小数数学教学中应有意识地加以关注。下面将从以下三个视角提出教学思考，旨在为教师教学提供更广阔的视野以及更为核心的关注，以期为教学带来启发。

(一) 渗透本质思想以及注重交叉能力的培养

1. 注重发展学生的估计意识以及度量意识

首先，激发学生的估计意识，引导学生产生解决这类问题的真需求。如上街购物前，学生有没有对将要购买哪些物品、需要多少钱进行一个大致的估算。如果学生能这样考虑，有对价钱估算的意识，就表明学生在学估算，用估算。估算的习惯不是教出来的，而是在实践中逐渐发展起来的，并在不断的推断和运用中积累经验。其次，培养学生度量意识，注重标准单位量以及其他参照量的感知和体验，并形成较为稳固的记忆。以估测为例，如果学生能形成1平方米这个标准单位的表象，在估测室内面积时就会用此基准去比较，得到合理的估测数据。而对于像长度、面积和容积这样的视觉量，很容易使用心理和身体上标记的一些单位(如“一拃”约长8厘米)，可将其发展为参照量。此外有研究表明，个体的数量估计存在很大差异，高估数量和低估数量的比例均较高(14)Dakin S C， Tibber M S， Greenwood J A， et al. A Common Visual Metric for Approximate Number and Density. Proceedings of the National Academy of Sciences, 2011, 108(49).。选择合适的单位有利于提高估数的准确度，但它受视觉信息的影响也较大，如形状、亮度、密度、持续时间或频率。在估计数量时，估计者并不依赖于单一的视觉线索，而是依赖于多个视觉线索(15)Gebuis T, Reynvoet B. The Role of Visual Information in Numerosity Estimation. PloS one, 2012, 7(5).。因此不仅要注重单位选择，还要注意引导学生学会权衡刺激中存在的不同视觉线索来估计数量。

2. 注重学生计算能力和推理能力的培养

计算能力是估数、估测和估算都共同需要的基本技能，因此要注重计算能力的培养，逐步发展学生口算、笔算和估算一体的运算能力。计算能力的培养不仅要使得学生会按照算法去“算”，还要使其懂得算理，同时注意计算的练习。此外，由于估算的过程要符合推理的逻辑，因此也应该重视该部分能力的培养。推理及逻辑性不仅只体现在估算问题中，在数学及其他方面也分布广泛，因此不仅可以在估算问题中点拨学生，还可以在规律探索、交流表达等方面，有意识地强化。

3. 注重发展学生的估计策略和估计语言

有研究者注意到优秀的估计者具有一套经过良好发展并能以不同方式加以运用的心理参照单位(16)Bright G W. Estimation as Part of Learning to Measure. National Council of Teachers of Mathematics Yearbook, 1976，38, pp.87-104.。例如在对某地的面积进行估计时，估计者可能采用度量的方法，即对能填进该地的单位方块数目进行估计；也可能使用面积公式进行计算估计，所以应注意发展学生的多种估计策略。此外，要注意引导学生在数学交流中使用估计的语言。以估算为例，要注重指导学生使用估算的语言进行交流，像大约、接近、多(少)一些、多(少)得多、几乎、在多少之间等，这些估算语言的掌握，有助于学生表达理解估算的概念。学生可以有不同的估算方法，估计结果可能值很大也可能很小，这是学生最初的估计状态，教师要鼓励学生用估算的语言多交流。大部分估算策略建立在使用接近原数比较好的数，估算的结果通常会落在一个精确答案附近的范围内，这些内容的理解需要学生在讨论的过程中去感知，去学会如何估算才能更合理。

(二) 梳理教科书中隐含的估数与估测内容

估算在教科书中呈现比较明显，估数与估测隐含在“数的认识和量的认识”内容中。估数和估测的内容，教科书一般表述为估计，但两者涉及的是不同的数学技能，将两者做区分不仅有利于教师了解学生在该技能上的掌握水平，还能够帮助教师建立整体视野以便更好地发展学生的估计能力。下表以北师大版教科书为例，对估数和估测的内容进行了梳理。

通过表2发现，北师大版小学数学教科书从一年级下册编写了估计内容，包括估数和估算。估数内容主要分布在一下、二下、四上和六下，也就是从一年级到六年均有涉及，但不是连续性的。随着年级的升高，估数内容的学习难度呈螺旋上升的趋势，因为估数不仅是要靠直觉估计，更重要的是选择合适的单位，这是难点，也涉及估计合理性的问题。即使是第一次接触估数，也要有意识地引导学生进行单位的选择，逐步积累估计的经验。进而让学生理解估数不能胡乱地去估，也不是任意猜数，要先找到估计的标准，然后根据标准再去估，这样得到的数才会更接近真实情境的数。在这个过程中，可以发展学生的估计意识和习惯，体验数与生活实际的联系。

表2 小学数学(北师版)教科书估数与估测内容分布

估测内容从二年级学习长度内容开始，各个年级连续分布，范围比较广泛，主要融入在图形与几何领域，较为明显地体现在一维到二维再到三维空间的转变上。估测是不使用测量工具，而使用心算和视觉进行测量与对比，是日常生活的实用技能，因此教科书上提供了丰富的估测学习资源，这些学习资源不仅仅是课堂学习用，更重要的是让学生参与这些测量活动，帮助其去注意测量的属性，了解如何使用估测中的参照标准，获得发展常用标准单位的体验。让学生做大量的估测活动，不仅能使学生积累估测的经验，还能发展学生的生活技能。

(三) 把估测、估数与估算内容融入学业评估

从1963年《全日制小学算术教学大纲(草案)》到新修订的《义务教育数学课程标准(2022年版)》，估算越来越受到重视。但在教育教学实践中，估计内容的学习存在较多问题，除上述探讨的学生估算意识未形成的因素外，另一个重要的原因是它们在纸笔测验中出现的较少，这容易造成一种它们不重要的错觉。而纸笔测验中这部分内容的缺失影响了教师的重视程度，理论上教师认同这部分内容对于发展学生数学能力很重要，而实际教学中关注程度却比较低。因而应有意识地把估测、估数与估算内容融入纸笔测验。估测、估数与估算融入纸笔测验在小学阶段有可以操作的空间，关键是要改变观念，即考试题的答案必须唯一且精准，当然，如果融入纸笔测验还要考虑一些题目如何设计。例如以下的样例题目可以融入纸笔测验：

估数任意给一个场景或物体的图片让学生估数,比如出示一个体育场馆的图片,让学生估一估能坐多少人?也可以问一本新华字典大约( )页?还可以选取新闻信息,估一估大约有多少个字?估测估测内容的问题可以更加多样,比如给出图片,估一个树叶的面积有多大?还可设计这样的问题:估出你的一拃、一步大约各是多少厘米?一庹大约比1米长多少厘米?估算课程标准也提供了经典的估算样例:“李阿姨去商店购物,带了100元,她买了两袋面,每袋30.4元;又买了一块牛肉,用了19.4元。她还想买一条鱼,大一些的每条25.2元,小一些的每条15.8元。请帮助李阿姨估算一下,她带的钱够不够买小鱼?能不能买大鱼?”

另外，从对学生的学业评估看，估测、估数与估算内容除了融入纸笔测验，还可以采用口头测试的方式，特别是考察低年级学生对估数和估测内容的理解，不仅让学生说出估计的结果，还可以让其表达估计的策略和方法。也可以设计估数、估测和估算的综合实践活动，让学生用数学日记的形式记录过程，这些对学生度量意识的培养和估算能力的提高都是有益的，能促进学生发展量感。