设计几何学在家具设计中的研究与运用

■王南轶，傅 雷，陈旭辉，熊兴福 Wang Nanyi & Fu Lei & Chen Xuhui & Xiong Xingfu

(南昌大学建筑与设计学院，江西南昌 330031）

设计行业发展至今，不少设计师仍只注重感性与直觉主导的设计方式，忽略设计中严谨、逻辑的秩序美，在中国设计教育体系尤为明显。本文通过研究探讨设计几何学相关原理，将之付诸于家具产品形态设计实践中。让家具产品形态在设计几何学相关规律的规范约束下，在具备审美艺术的同时，还拥有严谨又适度的比例和尺寸。让家具产品的局部与局部，局部与整体之间相互联系，相互呼应。既摆脱单调的式样，又避开了复杂无序，找到一条让设计生产活动更为理性、秩序的道路[1]。

1 设计几何学相关原理综述

设计几何学隶属于设计学，是将几何学相关规律与技巧运用到设计中，对形态进行空间分割，分割出比例与尺度，让设计品在视觉上呈现出和谐与规律感，区别于存粹数学意义的几何学[2]。是感性与理性、科学与艺术的深度融合。

1.1 斐波那契数列与黄金分割比例

斐波那契数列（Fibonacci Sequence）是意大利数学家列昂纳多 · 斐波那契（Leonardo Fibonacci）研究兔子繁殖问题时提出的：假设一只刚出生的兔子需要一个月才能到达成熟期并可以开始繁殖，一个成熟的兔子一个月只能生出一只幼年兔子，每生出一只幼年兔子又必须一个月后才能成熟并繁殖。那假设所有的兔子都长生不死，那么n个月后，一共有多少只兔子？

从第一个月开始到第n个月的兔子数量如表1所示。

表1 每月兔子的数量

通过图表得出，前两个月的兔子数为1，从第3个月起，每个月兔子的数量等于前两个月兔子数量之和，即：

利用特征方程（线性代数解法）求得线性递推数列的特征方程为[3],

(C1，C2为任意常数）

故斐波那契数列通项公式为：

而在斐波拉契数列中，随着数字越大，相邻两个数字的比例无限接近于黄金比例，即0.618（表2）。

表2 斐波那契数列相邻两项之比

斐波那契数列表现出与黄金分割比例相似的特点，两者基本相符[4]。因此斐波那契数列又被称之为黄金分割数列，两者相辅相成，不可分离。斐波那契数列是基本原理，黄金分割法是重要方法，将之付诸于家具设计实践中，具有重大的指导意义。

1.2 柯布西耶模度理论

现代主义设计大师勒·柯布西耶（Le Corbusier）从人体尺寸出发，为了更好地使设计符合于人体尺寸，提出了模度理论（又称模数理论）。柯布西耶将模度人身高定为183cm，其源于英国侦探小说里的人物（巡警、侦探）大多都是身高6英尺≈183cm。柯布西耶从人体尺寸出发，选定四个控制点，分别为自然下垂的手尖、肚挤眼、人的身高、抬高的手尖，离地面的高度分别为86、113、183、226，单位为cm。这一套数值蕴含着两层关系：一是举高的手尖高度226cm为肚脐眼高度113cm的两倍；二是黄金比例关系，即：183×0.618≈113,226×0.618≈140，140×0.618≈86。其中以身高183cm与上升手尖高226cm为两个参考点，依次乘以0.618，形成两套级数。这两套级数类似于斐波那契的数列即：183cm、113cm、70cm、43cm、27cm、16cm、10cm、6cm、4cm以及226cm、140cm、86cm、53cm、33cm、20cm、13cm，前者被称之为红尺，后者被称之为蓝尺（图1）。

■图1 柯布西耶模度人

如图2所示，人体中许多部位都能对应模度数列中某个数值，如红尺的27cm、43cm、70cm、113cm、183cm，蓝尺的86cm、140cm、226cm等八个刻度分别赋予了低坐高、平坐高、座椅扶手高、肚挤高、身高、自然下垂手高、胸高、举高手高等人体尺度意义[5]。柯布西耶一直将模度视为极为重要的设计工具并加以实践，在后来著名的马赛公寓、圣迪埃工厂、朗香大教堂等著名的建筑设计中，模度都发挥了重要的作用[6]。

■图2 模度人体尺寸图

2 设计几何学国内外研究现状

2.1 国外设计几何学相关研究

随着欧美等发达国家率先开始工业革命，实现工业化。建立在物质生产方式基础之上的设计观念也随之发生深刻变革。轰轰烈烈的现代主义改革运动，为设计实践带来了理性主义、抽象主义、几何形态等特征。欧洲各国率先一步开始系统性探讨几何学在设计中的运用，形成了比较成熟且完善的理论体系，并在设计实践中得到了进一步的验证。

在《走向新建筑》一书中，柯布西耶展现出在设计中运用数学与几何结构的浓厚兴趣。1942年，柯布西耶出版了《模数化：人体比例的和谐度量可以运用于建筑和机械》，将斐波那契数列以及黄金分割比例模数化。形成了一套具有较为普适性原则的设计方法论，即模度理论。金伯利·伊拉姆（Kimberly Elam）在其著作《设计几何学》中，系统地分析归纳自然界中的几何学规律以及古今经典设计案例，进一步强调设计几何学并不是通过几何学来量化美学，而是要揭示构成生活的根本要素之间的视觉关系，借此洞察设计过程的内涵[7]。

2.2 国内设计几何学相关研究

国内对设计几何学也有着一定的研究与应用。古代中国工匠对比例之美的探讨可以用“规矩方圆之道”一言概之。相比于西方国家偏爱的黄金比例，中国古人更青睐：1和：2的比例。这个比例可以追溯到《周髀算经》和《营造法式》中的圆中方、方中圆。《周髀算经》中指出：数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。万物周事而圆方用焉，大匠造制而规矩设焉。这成为了中国古代建筑造型设计以及建筑群布局的指导思想，在如今很多遗留下来的中国古建筑中，都能测量出其整体造型与局部构件采用了：1以及：2的比例关系。这些既定的比例也深刻体现出中华民族的文化内涵，即“天圆地方”的宇宙观和“天地之和”的文化观[8]。

然而，近现代以来中华民族的积贫积弱，导致了设计行业进程缓慢，甚至与历史断层止步不前，长期处于被忽视的状态，直至改革开放，设计学科才开始艰难前行。2018年，清华大学建筑学博士王南在其著作《规矩方圆、天地之和——中国古代都城、建筑群与单体建筑之构图比》中，分析研究了近500例中国古代单体建筑设计和城市规划的比例关系，得出了中国古建筑造型设计上大都采用比例的结论[9]。这个比例被赋予中国式黄金比例称号，并揭示了中华文化深层次的文化内涵，为后来的设计师对我国传统设计文化既一脉相承又与时俱进打下坚实基础。

3 生活中的设计几何学

无论是自然世界还是人造世界，处处蕴含着几何学规律。它连接着人类生活与数学法则，将看似混沌的世界变得更有逻辑与秩序。

3.1 生态自然界中的设计几何学

如图3所示海底深处有一种珍珠鹦鹉螺，其规律与斐波那契螺旋线极其相似。所谓斐波那契螺旋线，就是在一个黄金比例的矩形内（宽与长之比为0.618），可以再分割出来一个正方形和一个黄金矩形，无限循环……以每一个正方形边长为半径，在正方形内作一个四分之一圆弧，可以发现黄金矩形内的每个正方形的圆弧可以圆滑地串联成一个螺旋线，这就是斐波那契螺旋线。珍珠鹦鹉螺的生长模式基本符合这一特征。此外海洋里同样存在一种鱼名叫蓝天使鱼，被称之为黄金比例的杰作（图4）。其整个鱼身的外接矩形就是一个黄金矩形，黄金矩形的黄金分割线将鱼头和鱼身分为两半，蓝天使鱼的鱼嘴和鱼鳃正好处于竖向黄金矩形的黄金分割线上。

■图3 珍珠鹦鹉螺与斐波那契螺旋线

■图4 蓝天使鱼的黄金比例

植物花卉中的设计几何学规律更为明显（图5）。松塔作为化痰止咳的药材，其表面生长多层鳞片，密集的鳞片呈螺旋式发散状。经过分析后，看似无序的鳞片其实隐含着规律，鳞片生长状态是呈顺时针和逆时针两种不同方位发散，其中逆时针为8根螺旋线，而顺时针为13根螺旋线。向日葵作为人类最熟悉的植物之一，也呈与松塔相似的规律（图5）。向日葵籽的排列分别向两个不同方形发散，其中逆时针方向为21根螺旋线，顺时针方向为34根螺旋线。这些螺旋线数量都完全吻合了斐波那契数列。树木的生长模式与兔子实验相似。每一根成熟的树枝可以生长出一根新树枝，每根新树枝需要等一段时间到达成熟后才能新生树枝，由此形成与兔子实验相同的规律，即：1，1，2，3，5，8，13，2…

■图5 植物生长模式

以上例子只是冰山中的一角，自然界中的斐波那契数列是自然力量作用导致的最为普遍和典型的秩序模式[10]。富有创造性的设计师们发现了这些规律，并把相关规律能动地运用在设计生产活动中。

3.2 人造世界中的设计几何学

如图6所示，在古希腊建筑帕克农神庙中，古希腊建筑师们加入了黄金分割比例，整个神庙内置在一个黄金矩形里面，黄金矩形的黄金分割线与其中一根支撑神庙的柱式几乎重合。神庙底座到柱式顶部和柱式顶部到庙顶的高度正好被竖向黄金矩形的黄金分割线分隔开。庙顶下面的小柱式间的距离也正好被外接黄金矩形内最小的竖向黄金矩形所概括。帕特农神庙的设计中，大到整个外形，小到各种装饰细节，无不遵循着黄金分割比例。

苹果公司作为工业设计界的标杆级企业，设计并研发出众多史诗级产品。苹果公司在2001年发布的iPod第一代，一经发布就引发轰动（图7）。iPod整个造型就是一个黄金矩形，黄金矩形的黄金分割线正好将iPod分割为两个区域，上方为屏幕区域，下面为按键区域。iPod的环形按键由三个大小不同同心圆组成，黄金分割线分割出来的正方形对角线交叉点与同心圆的圆心吻合，按键与按键间的间隙正好处于两条交叉线上。

■图6 帕特农神庙

■图7 Ipod播放器

苹果公司除了在产品的软硬件生态上的出彩，在平面设计上同样传达着理性简约的理念（图8）。一个被咬了一口的苹果标志，看似漫不经心，实则隐藏秩序。苹果logo叶子、缺口、果身的曲线都是不同大小的圆相切而组成的复合曲线，这些圆的直径从小到大排列起来就是斐波那契数列。icloud标识也是同理，整个外框倒角以及云朵的外形曲线也是由斐波那契数列规律的直径圆拼接相切组成，视觉上既相互独立又相互联系。

■图8 苹果LOGO与iCloud标识

4 基于设计几何学原理在家具设计中的改良与创新

产品作为人类智慧的产物是由若干个相互联系的要素构成的集合体，包括功能、结构、人因、形态、色彩及环境要素等[11]。家具作为家居环境中最重要的组成部分，不仅承担着基本的物质使用功能，还承担着一定精神功能[12]。科学合理的家具设计给人带来美感，增添生活乐趣，同时可以形成便利舒适、安全、高效的工作生活环境[13]（图9）。

■图9 科学合理的家具设计

通过以斐波那契数列为基本原理，以黄金分割法为重要方法，借鉴古今中外经典设计案例，对现有的家具产品进行改良与创新，结合现代主义大师柯布西耶的模度理论，让家具产品在满足物质功能与审美艺术的基础之上，追求更为严谨的比例与满足人机工程学的尺寸，让家具产品造型具有深刻的内在秩序与逻辑（图10）。

■图10 基于设计几何学原理的家具设计

4.1 书、衣两用架设计

在日常居住空间中，书架与衣架是必不可少的重要组成部分。市面上的书架与衣架种类繁多，样式设计上已经相当成熟，不过还没有一款能将书架和衣架合二为一的产品。造型设计上，传统书架与衣架往往都采用刻板的几何形式，视觉上缺少律动感和谐感，给人杂糅的感觉（图11）。

■图11 传统书架与衣架设计

如图12所示，该设计将书架与衣架合二为一，既扩充了其物质功能，避免了单一的功能，又让该产品视觉更丰富，形式更多元。该两用架完全遵循黄金比例，整个两用架的外形就是一个黄金矩形，黄金矩形内的黄金分割线将该两用架分割为了书架区与衣架区两大功能区，上面的书架区呈黄金矩形。与此同时，被黄金分割线分割出来的正方形区域也被一个与斐波那契螺旋线相吻合的四分之一圆弧木架分割成了衣架区和书架区，衣架区用来悬挂当季衣物，书架区用来收纳书籍以及摆放装饰品。

■图12 书衣两用架设计

该两用架在尺寸上沿用柯布西耶的模度理论。根据《中国居民营养与慢性病状况报告（2020年）》，中国18-44岁男性和女性的平均身高分别为169.7厘米和158厘米[14]。这里以男性平均身高170cm为取法对象，得出红尺为：170、105、64.9、40.1、24.8，单位为cm;蓝尺为：210、129.8、80.2、49.6、30.7，单位为cm。考虑到书架尺寸要在双手能触碰到的范围内，将红尺的170cm定为人的身高，蓝尺的210cm定为书架的高度。依次类推，人体胸膛高度与书架的黄金分割线高度为蓝尺的129.8cm，同时，两用架的宽度也为129.8cm（图13）。

■图13 书衣两用架尺寸图

4.2 摇摇椅设计

在人们日常工作和生活中，总想添置一些诙谐有趣，使人放松身心的产品，以此在一定程度上来缓解生活和工作中的压力，摇摇椅就是为此而生。由于这种放松方式使人感觉到愉悦，同时还能放松呼吸和锻炼平衡力，成为了最受老年人欢迎的家具产品之一，是舒适生活方式的象征。与此同时，传统的生活方式也带来了传统的样式设计，目前市面上的摇摇椅大多以传统木材料为主，装饰偏杂糅，在样式设计上给人杂乱无序的感觉，不符合现代年轻人的简约纯粹审美观，也与现代流行的极简主义室内风格不搭（图14）。于是，需要一款使用现代材料的、与现代流行的室内风格相匹配、造型设计上简约又有秩序的摇摇椅。

■图14 传统摇摇椅设计

此款摇摇椅的正面与侧面都内接在一个黄金矩形内（图15）。黄金矩形的黄金分割线位于摇摇椅的坐垫底部，将坐垫以下的区域完美地分割成了黄金矩形，摇摇椅的靠背也镶嵌在一个黄金矩形内部。摇摇椅从侧视图看，靠背的最顶部到坐垫的最前部，再到金属管的最底部，最后到靠背与坐垫的衔接处形成了一条斐波那契螺旋线，让该椅子视觉上更具逻辑感、韵律感以及节奏感。除此之外，整个椅子的所有倒角弧线都是经过严谨的推敲形成的，从正视图看，靠背上方和下方的倒角是由两个不同大小的圆构成的，将这两个不同大小的圆命名为A1和A2；从侧视图看椅子的金属管结构上、中、下的三处倒角也是由三个大小不同的圆构成，从小到大依次命名为A3、A4、A5。这些从小到大的圆形成了一个规律，从第三个圆开始，每个圆的直径由前两个圆直径相加，与斐波那契数列规律一致，即

■图15 摇摇椅设计

摇摇椅在尺寸设计方面同样取170cm为男性平均值身高，采用柯布西耶模度理论制定尺寸。得出红尺为：170cm、105cm、64.9cm、40.1cm、24.8cm;蓝尺为：210cm、129.8cm、80.2cm、49.6cm、30.7cm。其中膝盖高度为红尺40.1cm，人体平坐高度选用40.1cm；座位扶手高度选用红尺64.9cm，同时座椅正面与侧面宽度也为64.9cm；人体胸膛高度与整个座椅高度一致，取红尺105cm（图16）。

■图16 摇摇椅尺寸图

5 结语

设计几何学用于以逻辑构成为主的家具设计中至关重要，使家具产品拥有了美学关系指导下的循环、和谐、统一的形式美[15]。让家具产品在满足物质功能与审美艺术的基础之上，追求更为严谨的比例与满足人机工程学的尺寸，在造型上具有深刻的内在秩序与逻辑。设计以感性为主导，就会缺乏缜密的分析与理性的总结，会造成虚无缥缈的局面[16-17]。感性认知是建立在理性思维的基础上的，首先要把握准确的理性分析，感性才能得心应手。本文通过论述设计几何学相关规律，把严谨的数学、几何学规律能动地运用在家具设计中。让设计生产活动中，感性与理性共存，感性中渗透着严谨与秩序，理性中夹杂着自由与想象。