渐变光子晶体透镜的设计及其聚焦特性研究

孙晓红

（郑州大学 信息工程学院，河南省激光与光电信息技术重点实验室，河南 郑州 450001）

渐变光子晶体（GPC）是一种结构参数渐变的新型光子晶体（PC）材料，它的出现为PC控制和操纵电磁波的传播开辟了一条新途径，极大地丰富和拓展了PC的应用领域[1-2]，如光束的超弯曲、超越衍射极限的聚焦与成像、黑洞效应等。在众多应用中，GPC透镜具有亚波长聚焦、超大透射带宽和极小像差等优点，是以PC为基础的集成光子器件不可缺少的关键元件。GPC因为结构需要渐变调制，这极大地增加了其制作过程的复杂性和难度，也使得很多已有的PC制作方法不再适用，目前报道最多的方法是利用空间光调制器和干涉光刻技术来实现GPC结构的制作[3-7]。

本课题组长期致力于周期、准周期PC的单棱镜全息光刻制作研究[8-10]，近几年开始投入GPC双周期结构及透镜的设计和制作研究。利用双参数棱镜和双锥干涉系统设计和研制了多种双周期GPC结构[11-12]；基于有效介质理论设计了GPC球形和平板Luneburg透镜，研究了透镜的聚焦特性[13-14]；采用聚合物液晶材料设计了聚合物介质柱尺寸渐变的GPC透镜结构，并实现了透镜的电驱动焦距调谐[15]。本文在前期研究工作基础上设计了新型棱镜及GPC透镜，并对透镜的特殊聚焦特性进行研究。

先设计双参数棱镜，然后基于棱镜结构构建多光束双锥干涉系统，从而设计GPC双周期晶格结构，建立GPC结构与棱镜之间的对应关系。根据GPC结构的渐变光强分布，选择曝光阈值设计GPC透镜，研究透镜的聚焦特性。

1 双参数六角棱镜及GPC透镜

图1为双参数无顶六棱镜结构及折射光束干涉示意图。该装置具有上下两个不同大小的平行底面和两组侧面，侧面1、3、5和2、4、6与底面夹角分别为φ1和φ2。当一束平行于z轴的扩束光垂直于棱镜上底面入射时，被棱镜折射分为中心光束和6个侧面光束。侧面光束在x-y平面对称分布，相邻光束夹角为60°。遮挡中心光束后，侧面6束光将按照图1（b）构成在棱镜下底面出射形成干涉场。两组侧面相对应的光束与z轴夹角分别为干涉场光强分布表示为

其中，Ep=Apexp(ikp·r)，Em=Amexp(ikm·r),p=1,3,5；m=2,4,6，r为位置矢量，两组光束波矢分别为

图1（a）双参数无顶六棱镜结构及（b）折射光束干涉示意图

将θ1=30°(φ1=70°)，θ2=32°(φ2=72.8°)，λ=355 nm，n=1.5代入方程（1）～（3）可得棱镜下底面外光场分布如图2所示。从图2（a）可看出明显的双周期渐变晶格结构，大周期l和小周期d分别如图2（a）所示，两种周期的结构均为六角晶格。沿着y（x=0）方向的光强分布如图2（b）所示，从图中明显地看到结构中心到边缘光强的渐变分布。如果在棱镜下底面放置光敏材料，曝光后即可得到GPC超晶格结构。

内锥角θ1固定，通过调整外锥角θ2的大小来改变GPC结构的大小和周期。增大θ2，内外锥差值θ2-θ1相应增大，GPC结构的大小、周期均有明显减小的趋势，详细研究结果参见本课题组发表在《光学学报》上的文章[11]。

图2（a）双周期GPC结构及（b）一维渐变光强分布

基于图2（a）的渐变光强分布，选择折射率为1.45的有机光敏材料，可以制作介质柱尺寸渐变的GPC透镜结构，如图3（a）所示，背景为空气（n=1）。波长为0.632μm的光场从透镜左侧入射，如图3（a）所示，得到如图3（b）所示的聚焦效果。为了更清楚地看到透镜的焦斑尺寸及焦深，给出了沿透镜x和y方向的光场分布如图3（d）和3（c）所示。从图中可以看出，透镜焦斑尺寸为0.92μm，焦深DOF=11.20μm，焦深尺寸为入射波长的17倍，符合长焦深聚焦的特点。

图3 基于图2（a）的渐变光强分布设计的GPC透镜的（a）平面结构；（b）聚焦特性；（c）焦点尺寸；（d）焦深

2 双参数八角棱镜及GPC透镜

图4是双参数无顶八棱镜及4+4光束双锥干涉示意图。该装置同样具有上下两个不同大小的平行底面和两组侧面，侧面1、3、5、7和2、4、6、8与底面夹角分别为φ1和φ2。当一束平行于z轴的扩束光垂直于棱镜上底面入射时，被棱镜折射分为中心光束和8个侧面光束。侧面光束在x-y平面对称分布，相邻光束夹角为45°。遮挡中心光束后，侧面8束光将按照图4（b）构成在棱镜下底面出射形成干涉场。干涉光强表达式及各参量含义与六棱镜相同，不同之处是波矢的表达式及p、m的取值，p=1,3,5,7；m=2,4,6,8，波矢如下：

图4（a）双参数无顶八棱镜结构及（b）折射光束干涉

将θ1=4°，θ2=40°，λ=355 nm，n=1.5代入方程（1）、（4）和（5）可得棱镜下底面外光场分布，如图5所示。从图5（a）中可以看出明显的双周期渐变晶格结构，大周期l和小周期d分别如图5（a）所示，两种周期结构均为正方晶格结构。沿着y轴（x=0）方向的光强分布如图5（b）所示，从图中明显地看到结构中心到边缘光强的渐变分布。如果在棱镜下底面放置光敏材料，曝光后即可得到GPC超晶格结构。

保持外锥角不变，调整内锥角，可以得到不同的GPC晶格结构，如图6所示。图6（a）为θ1=10°时的晶格结构，与图5（a）相比大晶格周期变小，大小晶格均为正方晶格结构。图6（b）为θ1=37°时的GPC结构，大周期仍旧是正方晶格，小晶格结构变为八重旋转对称结构。

图6 外锥角θ2=40°内锥角变化时的GPC晶格结构。（a）θ1=10°；（b）θ1=37°

基于图5（a）的渐变光强分布，选择折射率为1.52的有机光敏材料，可以制作介质柱尺寸渐变的GPC透镜结构，如图7（a）所示，背景为空气（折射率为1）。波长为0.632μm的光场如图7（a）所示从透镜左侧入射，得到如图7（b）所示的聚焦效果。为了更清楚地看到透镜的焦斑尺寸及焦深，给出沿透镜x和y方向的光场分布，如图7（c）和7（d）所示。从图中可以看出，透镜焦斑尺寸为0.80μm，焦深DOF=10.39μm，焦深尺寸为入射波长的16倍，符合长焦深聚焦特点。另外，这样设计的透镜还能实现亚衍射极限的聚焦。

图7 基于图5（a）的渐变光强分布设计的GPC透镜的（a）平面结构；（b）聚焦特性；（c）焦深；（d）焦点尺寸

图5（a）双周期GPC结构及（b）一维光强渐变分布

另外，基于图4的棱镜结构，通过选择不同的曝光阈值可以得到不同的透镜结构，如图8所示。波长为0.632μm的光场如图8（a）所示从透镜左侧入射，得到如图8（b）所示的聚焦效果。为了更清楚地看到透镜的焦斑尺寸及焦深，给出了沿透镜x和y方向的光场分布图如8（c）和8（d）所示。从图中可以看出，透镜焦斑尺寸为0.56μm，焦深DOF=4.64μm，此种结构透镜可以实现亚波长聚焦特性。也就是说用双参数棱镜多光束干涉系统，通过选择不同的曝光阈值可以实现长焦深和亚波长聚焦。

图8 基于图4棱镜选择不同曝光阈值设计的GPC透镜的（a）平面结构；（b）聚焦特性；（c）焦深；（d）焦点尺寸

3 结论

针对GPC结构复杂、制作困难的问题，本文提出了利用双参数棱镜双锥干涉制作GPC结构的简单易行的方法。文中设计了六角和八角两种双参数棱镜，基于两种棱镜构建了多光束双锥干涉理论模型，设计了六角晶格、正方晶格以及八重旋转对称晶格的GPC双周期光子结构，并根据GPC结构的渐变光强分布设计了介质柱尺寸渐变的透镜结构，实现了长焦深和亚波长聚焦特性。该透镜具有微型化、大焦深、亚波长聚焦等特点，为远场无标记超分辨成像提供了新思路，为透镜在集成光子芯片的应用提供了新的可能性。