一类带白噪声和Lévy跳跃的营养-浮游植物模型的分析

谭 杨， 郭子君， 杨 林， 王海扬

(1. 铜仁职业技术学院， 贵州 铜仁 554300；2. 华南农业大学 理学院应用数学研究所， 广东 广州 510275)

0 引 言

浮游生物生长在湖泊、 河流及海洋中， 其中的浮游植物是指在水中以浮游方式生活的微小植物， 通常浮游植物就是指浮游藻类. 浮游植物直接或间接地是鱼类等水生动物的食物来源， 在人类的水产经济活动中起着重要的作用[1]. 随着世界经济的发展， 人类活动产生的大量废弃物流入水体， 导致水体的富营养化， 这样的结果导致了藻华现象的出现， 即浮游植物在短时间内爆发式的增长. 浮游植物自身巨大的耗氧量和有机物以及天气的变化都可能导致大量藻类死亡， 从而导致水质迅速恶化到变黑甚至发臭， 影响了鱼类资源的自然循环， 也会造成巨大的经济损失[2-3].

近些年来， 利用数学模型的方法研究浮游生物群落的发展规律成为生物数学的一个重要课题， 已经建立了一些浮游生物系统的数学模型[4-6]. 例如， 文献[4] 研究了几类营养-浮游植物模型， 分析了产毒浮游植物(Toxin-Producing Phytoplankton, TPP)释放的有毒化学物质季节性反复出现的水华现象的动力学性质； 文献[5] 研究了一类具有非线性互抑制项和反馈控制的非自治化感作用浮游植物模型， 得到了系统持续存在及灭绝的一些充分条件； 在文献[6]中， 作者提出了一类具有年龄结构和非局部效应的水柱中浮游植物成熟、 生长和空间分布的反应扩散模型， 其结果表明浮游植物的死亡率和成熟时间都会影响模型的动力学特性. 本文研究的模型是基于文献[4]中的一个确定性模型(1).

(1)

该模型假设该项浮游植物本身不产生毒素， 而环境中的毒素(其他浮游植物产生)对系统中的浮游植物有影响. 其中，x(t)和y(t)分别为营养物质和浮游植物在t时刻的数量或密度.其他常数的意义如下：a为外部营养物质流入的速率；b为营养物质的吸收速率；β为接触率；c(c

在现实环境中， 种群的发展不可避免地会受到随机因素的干扰， 环境随机性影响着种群发展的波动(如持续存在或灭绝). 因此， 许多研究者在确定性模型中引入随机白噪声来描述随机噪声的影响[7-10]. 文献[7]研究了随机干扰下的具有间接影响的浮游生物群落捕食模型的长期动态， 证明了在给定任何非负的正初始条件下， 模型的解是非负有界的， 并利用经典随机动力系统理论， 证明了文中的随机系统具有唯一的随机吸引子； 文献[8]利用随机模型研究了产毒浮游植物对种群持续性的影响， 证明了在随机模型中， 无论是输入营养物浓度较大或较小， 产毒浮游植物都可以终止有害藻华的发生； 在文献[9]中， 作者研究了一类基于模型(1)的随机营养-浮游植物模型， 得到了依平均的灭绝和持续存在的充分条件， 并研究了遍历平稳分布及周期解的存在性； 文献[10] 也基于确定性模型(1)提出了具有白噪声及电报噪声的随机模型， 得到了灭绝性及遍历平稳分布的充分条件. 本文的研究不同于文献[9-10]， 考虑了模型(1)的接触率β受到的白噪声干扰：β→β+σB(t)， 其中，σ为白噪声的干扰强度，B(t)为标准布朗运动， 模型为

(2)

众所周知， 模型(2)的解是连续的， 但该模型无法解释遇到突然或其他严重扰动时的现象， 如热冲击、 压力冲击和催化剂等因素的突然加入[11]. 为了描述这类环境噪声， 目前使用的比较多的方法就是用带跳跃的随机微分方程来研究种群模型的动力学行为[12]. 一般来说， 跳跃时间总是随机的， 跳跃的等待时间与Lévy跳跃相似， Lévy过程本质上是具有平稳和独立增量的随机过程. 目前， 这类的研究也较多， 例如： 文献[13]研究了一类具有Lévy跳跃的Beddington-DeAngelis型功能反应的捕食-被捕食模型， 得到了灭绝、 依平均不持久及弱持续存在的充分条件， 并证明了Lévy跳跃的变化能够影响系统的渐近性质； 在文献[14]中， 作者分析了具有Allee效应的随机种群模型的渐近行为， 并给出了该扰动模型渐近行为的判定条件； 文献[15]研究了一类具有Lévy跳跃和白噪声干扰的饱和发病率和双重传染病的随机SIS流行病模型， 得到了两种传染病平均灭绝和持续的充分条件； 文献[16]研究了一类基于白噪声及Lévy跳跃的随机SIRS模型， 得到了基本灭绝及持久的充分条件， 并证明了大的噪声强度能够抑制疾病爆发的结果. 本文将Lévy跳跃引入随机模型(2)， 假设接触率系数β又受到Lévy跳跃的扰动， 得到模型

(3)

下面给出本文的一个必要假设：

本文证明了对于任意给定的整初始值， 模型(3) 存在唯一的全局正解； 给出了两个浮游植物灭绝的充分条件； 研究了浮游植物依平均持续存在的充分条件； 给出了所得结果的数值模拟.

1 模型解的存在及其唯一性

为了研究模型(3)的动力学性质， 首先要考虑模型的解是否全局存在， 是否为正. 下面证明模型(3)的解是全局正解.

证明模型(3)的系数满足局部利普希茨条件， 则在区间[0,τe)上存在唯一的局部解(x(t),y(t))， 其中τe为爆炸时刻[14-15].若能证明τ∞=∞ a.s.， 则该局部解是全局存在的. 定义停时

P{τk≤T}≥ε，k≥k1.

(4)

对任意k， 当t≥τk时，

d(cx+by)=

[ca-ξ(cx+by)]dt，

其中,ξ=min{u，ε-m}， 因为b>c，ε>m， 则

dV(x,y)=LV(x,y)dt-bσydB(t)+cσxdB(t)-

(5)

其中，

LV(x,y)=

又cx(t)+by(t)≤K， 于是

(6)

由假设A可知1-bγ(v)y>0， 再由泰勒公式可得

-cln(1-bγ(v)y)-bcγ(v)y=

同理可得

-bln(1+cγ(v)x)+bcγ(v)x=

因此

(7)

对式(5)两边从0到ζk∧T积分可得

(8)

对式(8)两边取期望可得

EV(x(τk∧T),y(τk∧T))≤EV(x(0),y(0))+

K0E(τk∧T)≤EV(x(0)，y(0))+K0T.

(9)

对任意k≥k1， 令Ωk={τk≤T}， 则由式(4)可知P(Ωk)≥ε， 于是对所有的ω∈Ωk， 使得x(τk，ω)或y(τk，ω)等于k或1/k， 再由ε>0的任意性有

V(x(0)，y(0))+K0T≥

E[IΩk(ω)V(x(τk∧T)，y(τk∧T)]≥

其中，IΩk是Ωk的示性函数.令k→∞， 则有

∞>V(x(0)，y(0))+K0T=∞，

所以， 必然有τ∞=∞ a.s.， 证毕.

2 灭绝性

在研究生物数学模型的动力学性质时， 主要关心的是如何调节有害种群的发展动态， 使有害种群长期消失. 本节研究浮游植物灭绝的充分条件.

证明由It公式有

dlny(t)=

(10)

对式(10)两边从0到t积分并除以t可得

(11)

由泰勒公式有

因此,

(12)

其中

(13)

因此， 对式(13)两边求极限可得

(14)

则

于是

证毕.

注情形1说明只要随机干扰的强度足够大， 必定造成浮游植物种群将依指数趋于灭绝.

3 持久性

在生物系统模型的研究中， 持久性是最重要的性质之一. 本节研究浮游植物依平均持续存在的充分条件. 为此， 首先引用如下定义：

定义1[20]系统(3)被称为依平均持续存在， 若

定理3若假设A和如下条件

成立， 则系统(3)将依平均持续存在.

证明由式(11)可知

则由泰勒公式有

-ln(1+cγ(v)x)+cγ(v)x=

因此,

(15)

其中，

又因

则

(16)

式(16)结合式(15)可得

(17)

则有

(18)

式(18)两边取极限可得

(19)

证毕.

4 数值模拟

采用类似文献[19]的方法模拟上述得到的结果.

1) 令a=3，β=0.3，b=1，c=0.9，ε=2，u=1.2，m=0.1，μ=0.6，θ=0.01，σ=0.3，γ(v)=0.15，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8， 则

即定理2的情形1满足， 则浮游植物种群趋于灭绝 (见图 1).

图 1 浮游植物种群趋于灭绝的情形1

2) 令a=3，β=0.5，b=1，c=0.9，ε=2，u=1.2，m=0.1，μ=0.6，θ=0.01，σ=0.15，γ(v)=0.15，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8， 则

即定理2的情形2满足， 则浮游植物种群趋于灭绝 (见图 2).

3) 令a=2，β=0.5，b=1，c=0.9，ε=0.4，u=0.6，m=0.1，μ=6，θ=0.1，σ=0.1，γ(v)=0.05，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8. 则

图 2 浮游植物种群趋于灭绝的情形2

即定理3的条件满足， 则浮游植物种群依平均持续存在(见图 3).

图 3 浮游植物种群依平均持续存在

4) 令a=1，b=1，β=0.8，c=0.6，ε=0.4，u=0.1，m=0.2，μ=0.6，θ=0.02，σ=0.6，γ(v)=0.5，λ(Z)=1，x(0)=0.5，y(0)=1.8. 如图 4 所示， 确定模型中浮游植物持续存在而随机模型中是灭绝的.

图 4 浮游植物种群在确定性模型中持续存在而在随机模型中趋于灭绝的情形

5) 令前一种模拟4)中的白噪声强度为σ=0.3 而其他值不变， 如图 5 所示， 确定模型和随机模型中的浮游植物种群均持续存在.

图 5 确定模型和随机模型中的浮游植物种群均持续存在

5 结 论

本文研究了随机因素干扰下具有Lévy跳跃的营养物质-浮游植物模型， 使用了Lévy跳跃过程来模拟突然的环境扰动对营养物质与浮游植物的接触率的影响. 定理1保证了模型理论解的存在唯一性； 定理2表明， 在一些简单的假设下， 大强度的白噪声及Lévy噪声有可能造成浮游植物的灭绝. 另外， 定理3得出了营养物质与浮游植物种群依平均持续存在的充分条件.