无迹卡尔曼滤波在无传感器控制系统中的适应性分析

陈静 CHEN Jing；李鑫 LI Xin

（南京理工大学紫金学院，南京 210023）

1 绪论

为了克服使用机械式传感器给传动系统带来的可靠性低等缺陷，许多学者开展了无机械式传感器交流传动系统的研究[1-3]。无机械式传感器交流传动系统是指利用电动机绕组的有关电信号，通过适当方法估计出转子的速度和位置，取代机械式传感器，实现交流传动系统的闭环控制。目前，适用于永磁同步电动机（Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM）的转子速度和位置估算方法主要有：①利用定子端电压和电流直接计算转子速度和位置[4-5]；②观测器基础上的估算方法[6-9]；③模型参考自适应方法[10-11]；④高频注入法[12-13]。基于观测器的估算方法应用更为广泛，其中对扩展卡尔曼滤波器（Extended Kalman Filter，EKF）的研究最多，这种方法首先建立以定子电流和转子磁链为状态变量、以转速为参数的电机状态方程，按EKF的递推公式估计转速。由于该方法存在计算量大、动态跟踪能力差等缺点，在该方法的基础上又发展了无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF），通过含有均值和协方差的点集来近似概率分布，选择合适的权值估计均值和协方差，实现更为简单，且估计精度更高。文献[14-17]均采用UKF对永磁同步电机无传感器控制系统进行估计，均证明UKF在转子状态估计时具有准确性高、跟踪速度快等优点，但上述文献都是基于某一确定的系统状态，在系统状态变化情况下对UKF的适应性分析较少，针对UKF对系统启动能力的影响也未见分析。

因此，本文对基于UKF的无传感器控制系统进行了适应性仿真分析，首先分析了UKF出现计算值错误的原因并给出了修正方法，在永磁同步电机参数变化情况下对UKF的算法性能进行了分析，在电机处于不同初始角位置情况下对基于UKF的控制系统调速性能和启动能力进行了仿真分析，并针对仿真过程中出现的问题提出了相关的修正方法。

2 基于UKF的无传感器控制系统

本文以隐极PMSM为例进行研究，对凸极PMSM同样适用，只在对应的电机方程上略有不同。在隐极PMSM的坐标系下对电机的状态进行计算，PMSM电机方程为：

由上式并考虑到PMSM的机械时间常数远大于电磁时间常数，每个估计周期末的速度可视为常数，即转子电磁角速度。可得：

其中uα、uβ为αβ轴电压；iα、iβ为αβ轴电流；p为微分算子；ψf为转子在定子上的耦合磁链；ωr为转子电磁角速度；Rs为定子相电阻；Ls为定子电感；θr为转子电磁角位置。选取状态变量

以x为状态变量，u为已知确定的输入矢量，y为系统输出变量，将上述矢量带入非线性模型（3）中：

式中，x（t）为状态变量，初始状态矢量x（0）为高斯随机矢量，协方差矩阵为P（0）；u（t）为已知确定的输入矢量，y（t）为系统输出变量。σ（t）和μ（t）为零均值高斯白噪声，它们的协方差分别为Q（t）和R（t），σ（t）是包括系统扰动、参数误差和模型不一致性的系统噪声，μ（t）为测量噪声。

对比式（1）、（2）与式（3）可得：

将上述参数带入无迹卡尔曼滤波的模型中，根据文献[18]的UKF迭代方法，完成转子电磁角速度ωr和θr电磁角位置的估计。

3 基于UKF的无传感器控制系统仿真与适应性研究

3.1 基于UKF的无传感器控制系统仿真

通过以上分析，本文在MATLAB/Simulink中针对隐极PMSM建立了基于UKF的无传感器控制系统仿真模型。UKF的实现通过S函数编写实现，其中S函数通过Sfunction模块与Simulink模块连接。图1为本文仿真所采用的系统结构图，并以此为依据对系统进行了仿真。在UKF计算中需要输入电机的αβ轴系电压uα、uβ以进行计算，本文采用id、iq电流调节器的输出再经clarke反变化得到来代替真实的电机侧电压uα、uβ，以此完成αβ轴系电压重构。

图1 基于UKF的PMSM无传感器控制系统结构框图

本文所选取矩阵为：

仿真设定系统初始速度为150rad/s，带5N·m负载启动，0.5s时转速变为300rad/s，仿真得到转子的转速和位置估计结果如图2所示。由图2可见，转速与转子位置在初始情况和调速后基本上能做到快速跟踪，但是由于离散过程中的采样时间的存在及算法本身的影响，估计值与实际值相比有一个延时。而且在转速变化之后，UKF的估计精度略有下降。但总体上来说，UKF能保证在整个中估算值准确跟踪真实值，说明UKF具有良好的动静态特性。

图2 基于UKF的PMSM无传感器系统仿真波形

3.2 UKF估算错误的原因与修正方法

由于UKF的状态估计特性关键取决于Q、R和P的初始值的设置，而通常情况下Q和R是未知的，只能在保证稳态跟踪和滤波不发散的前提下去试凑。在试凑的过程中会发现有时UKF估计的转速方向与实际转速方向相反，而同时估计转角与实际转角之间始终相差π，而且两者的变化方向一致。而从θ=∫ωdt上分析，在这种情况下估计转速为负值而估计转角向正方向增长，这是矛盾的。出现这种情况的主要原因需要从电机模型来分析。

根据隐极PMSM的αβ轴系电压方程式（1）可知，在某种状态下，（ω，θ）和（-ω，θ+π）都是模型方程的解，而电机的实际状态是它们当中的一种，所以当估算状态为（-ω，θ+π）时就会出现转速方向的错误估计。

修正这种状态时可以通过转角的变化方向和转速方向相矛盾的特性来解决这一问题。考虑到在滤波器内部修正容易引起系统的不稳定，因此可以选择在卡尔曼滤波模型外对转速方向和转角进行修正。

具体修正方法为判断ω（k+1）·[θ（k+1）-θ（k）]的符号，当出现负值时，就进行转速转角的修正：

以上的修正过程并非在系统运行一开始就进行，而是需要当UKF滤波趋于稳定时再进行判断修正，判定UKF滤波趋于稳定的条件为矩阵P的P（4，4）足够小，本文中设置P（4，4）＜0.01时使能修正环节。图3分别为转子速度和转子磁极位置（为了便于比较，转子磁极位置没有转换为以2*π为周期的波形）的错误估算情况及通过修正环节后的波形。

图3 UKF估算错误及修正的转子转速、位置波形

3.3 UKF在电机参数变化时的鲁棒性分析

永磁同步电机在长时间工作后会出现参数变化的情况，因此有必要考察UKF对于电机参数变化的鲁棒性。由于UKF已经将电机参数不准确作为了系统噪声考虑在内，当电机参数发生变化时，理论上可以通过适当加大系统噪声协方差矩阵Q（1，1）、Q（2，2）来达到满意的调速效果。

下面就PMSM的三种参数变化情况进行仿真研究，它们分别是定子相电阻Rs→2Rs、转子在定子上的耦合磁链ψf→0.9ψf和ψf→1.1ψf。仿真结果如图4所示。

由图4（a）可以看出，Rs变化后，通过改变系统噪声协方差矩阵的值，转子转速和位置的估算结果都比较接近实测值。在一定范围内改变定子相电阻Rs的值（0.1Rs～3Rs）都能够得到比较好的估算结果（仿真结果与（a）类似，由于篇幅原因不再另外放图），由此可见Rs对估算结果影响较小。

而从图4（b）和（c）中可以看出，ψf的变化对收敛状态影响较大，右图转子位置的估算值比较接近实测值，而转子速度估算的稳定值与实测值之间存在较大的误差。在实际仿真时，继续增大或减小ψf的值，估算值与实测值之间的误差还会继续增大。虽然可以通过调节系统噪声对应的Q矩阵，加大其对角线项的值以代表较大的系统噪声，增加估算的准确性，但其只在参数变化不大的情况下估算效果较好，参数变化较大时估算误差较大。

图4 UKF在PMSM参数变化时的鲁棒性

根据上述分析可知，在参数变化较小的情况下，UKF的估计效果较好；在参数变化较大时UKF引起的估算误差增大，而且在仿真计算之前，还需要根据实际变化情况手动调整对应的系统噪声协方差矩阵Q的值，通过不断试凑Q的值，观测估算值与实测值之间的逼近程度来决定最后选取的矩阵值，在实际应用中较为麻烦，实施起来受限制较大。

3.4 基于UKF的PMSM无传感器系统启动能力分析

以上仿真分析均为基于转子磁极初始角位置为0°的情况下进行的，即两相旋转坐标系的d轴与定子三相绕组的A相对齐重合，但是实际应用中多数情况下都是在有转子初始位置角偏差的情况下启动，因此需要分析不同转子初始角情况下空载启动的转子速度与位置的估算准确度。在UKF模型中，系统噪声来源于数学模型中参数的不准确性或运行中参数的变化以及系统扰动噪声，因此可以将转子的初始位置角偏差看作系统噪声。在UKF估算过程中，通过适当增大系统扰动噪声的协方差矩阵Q，理论上可以使UKF在转子初始角位置偏差处于一定范围内的情况下仍能收敛于正确的系统状态值，从而实现系统的自启动。因此仿真分析隐极PMSM在转子初始角位置偏差为30°、45°和60°的情况下空载启动的转子速度和转子磁极位置的实测值与估算值，仿真结果如图5至图7所示。

图5 初始转子位置为30°情况下的启动性能

图7 初始转子位置为60°情况下的启动能力

由仿真图可以看出UKF在以上各种初始角位置偏差情况下最终都能收敛于正确的状态值，然而伴随着初始角位置偏差的增大，相应的系统噪声加大，其协方差矩阵Q的数值也要跟着增大，虽然UKF仍然能够收敛于正确的状态值，但是系统的动态性能变差，动态过程中估算值与实测值之间的偏差变大，系统达到稳定的时间相应变长。

在各种初始角位置偏差中，±π/2（电角度）的偏差对于无传感器控制系统启动的影响最大。在这种情况下，三相定子电流通过坐标变化到两相旋转坐标系后，系统所需的正确反馈值（id，iq）被错误的转子位置偏差影响而变化为（-iq，id）。这时反馈值iq将跟随-id的给定值；反馈值id将跟随转速偏差经PI调节器的输出值[14]。如果在这种情况下进行电机启动，那么启动电磁转矩将接近为0，即使是空载时启动，由于空载转矩的作用，电机的启动过程也将变得很长，甚至无法启动，更不要说带载启动了。图8即为转子初始角位置偏差为+π/2情况下的空载启动仿真图，通过增大Q矩阵的值，在一定情况下PMSM无传感器控制系统可以启动，但是启动时间显著增长。

图6 初始转子位置为45°情况下的启动能力

解决这种问题有很多种方法，其中一种行之有效的方法是给id施加一个“瞬态脉冲电流”。由于反馈值iq将跟随-id的给定值，而通常情况下指令值为，所以启动转矩接近0，现在我们将变为：

其中IN为电机额定电流，τa为电机电气时间常数。

图8初始位置为90°情况下的空载启动波形

在这种id的瞬态脉冲电流的作用下，电机在启动时刻将获得一个正向的启动电磁转矩，在经过很短的时间后，电机将从静止状态启动起来，而UKF也将从最初的位置偏差而收敛于正确的状态值，此时由UKF估算的转子位置去进行坐标变换，反馈值（id，iq）将跟随正确的给定值，而这时所设置的指数衰减函数也将衰减到接近0的值，从而恢复=0的控制方法。这种方法作用于前面几种初始位置偏差时同样可以显著提高系统的动态性能，同时由于设置的为指数衰减函数，因此其对于没有初始角位置偏差时启动的负作用影响很小。设置了的瞬态脉冲电流后的电机启动情况如图9和图10所示，其中图9为转子初始位置角偏差为+π/2情况下带5N·m负载启动，图10为转子初始位置角偏差为0°情况下带5N·m负载启动。

图9 初始位置为90°（施加瞬态电流脉冲）的带载启动波形

图10 初始位置为0°（施加瞬态电流脉冲）的带载启动波形

3.5 初始转子位置检测

前面所述基于UKF的无传感器控制系统在PMSM具有一定转子磁极初始位置偏差时仍然具有自启动能力，但是这是付出了动态性能变差的代价并且还要恰当的调节Q矩阵后才能得到的情况，当初始位置偏差（电角度）过大或Q矩阵调节不合适时，UKF很有可能会出现错误的估计值，电机也很可能出现反转、振荡的情况，从而导致电机启动失败。机械式位置传感器能探知电机静止时转子磁极位置，使电机和逆变器配合工作于自控同步状态，因而电机启动不会失步。无传感器技术无法在电机静止时从电机的电气特性知道转子的初始位置。只有电机启动到一定的转速后，电机才能正常运行于无传感器状态下。因此，启动问题是永磁同步电机实现无传感器运行的一大问题。初始位置的检测是电机启动中的首要问题。

在实际应用中，可以通过向定子绕组输入特定脉冲电压以产生固定位置的定子电势磁场，从而强迫转子永磁磁极与定子磁场对齐，实现整步。如图11所示，系统启动前首先进行开环运行，控制V1、V6和V2导通，V4、V3和V5关断，按图中逆变器与电机连接方式可得这种情况下的合成磁动势F作用下转子与定子A相绕组在空间的关系如图12所示。在这种情况下，合成磁动势F迫使转子磁场N极与d轴重合，即对齐在定子A相（α轴）上。因此无传感器控制系统正式启动前通过开环控制逆变器三桥臂的通断状态就可以将转子位置锁定在0°位置（转子与定子A相重合），经过初始定位后即可以转入UKF滤波估算的闭环控制。

图11 三相电压型逆变器模型

图12 电机启动前的转子定向

4 总结

本文首先构建了基于UKF的永磁同步电机无传感器控制系统，在仿真过程中发现UKF可能收敛于错误值，分析了UKF出现错误收敛值的原因并给出了修正方法，分析了基于UKF的永磁同步电机参数变化情况下的鲁棒性，并仿真分析了处于不同初始角位置情况下的系统调速性能，针对启动能力差的情况，提出了相应的解决方案。