将数学建模思想融入数学课程教学的方法探究

赵樱泽，李向军*，严江华

(1.长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023；2.湖北省天门中学，湖北 天门 431700)

作为科学与技术的基础和工具，数学在人们的日常生活中扮演着重要角色，而数学建模作为实现现实问题与数学知识之间自由转化的万能纽带在国际社会中的重要性日益凸显。在澳大利亚，数学建模被列为国家数学课程中学生需要掌握其基本概念和方法的重要内容[1]；同样重视数学建模教学并将其作为学生成长发展必备能力之一的国家还有瑞典和德国[2]。在我国，随着课程改革的不断深入，《普通高中数学课程标准(2017版)》[3]提出六大数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，数学建模作为数学核心素养之一逐渐进入教育研究者以及广大师生的视野，教学的重心开始转向学生和学科知识本质上转移[4]。传统的以教师为中心、知识为中心的教学观念得到改善，逐渐向以培养创新型人才为目的，以数学素质教育为教学目标，以培养学生的数学应用能力为主的教学模式[5]。本文从数学模型的角度，探寻严谨缜密的数学知识与灵活多变的现实问题之间的联系，挖掘实际问题背后的数学本质，思考数学建模教学与学生实际融合的途径，培养学生学以致用的能力，使其成长为新时代所需的创新型人才。

1 数学建模及数学建模思想

20世纪著名数学教育家弗赖登塔尔提出了“数学化”、“现实化”和“再创造”等观点，认为数学来源于现实世界，应服务于生活[6]。数学建模过程实际就是将数学理论应用于现实生活中，并服务于现实生活的过程，它以一个课堂外的问题为开端，通过抽象和简化，把该问题转译为一个没有语境的纯粹数学问题并建模求解，将解决方案还原为真实情况并应用到实际问题中，最终依据方案的可行性检测结果再对模型做出调整，直到得出合适的解决方案为止。

将数学建模思想融入数学教学与弗赖登塔尔的教育思想不谋而合，其核心在于培养学生建模思维和创新意识[7]。数学建模思想作为数学学科的重要思想，是指学生借助抽象思维，完成实际问题到数学语言的转化，得到相应的数学解答，最终解决实际问题的一种思想方法[8]。数学建模思想的形成不是一蹴而就的，而是需要教师在数学课程中将生活与数学充分联系和结合，引导学生发现生活中的问题并将其转化为能够解决的数学问题，让数学模型贯穿于学习的始终，提升学生的数学应用能力。

2 数学建模思想的课程教学全过程融入

数学中的函数模型与现实生活以及其他学科都有十分密切的联系，运用函数来建构数学模型并解决实际问题时，其涉及到的变化过程就成为了解决问题的关键[9]。通过分析明确运动变化的基本特征、类型，来选择适当的函数模型将实际问题划归为数学问题，最终求解模型的过程用到的就是数学建模的思想方法。教师对数学建模思想融入数学课堂教学方法的探究，一方面能够促进知识型教师向研究型教师的转变，使教师统筹兼顾学科知识和教学活动，聚焦学生的学习和发展；另一方面对培养学生数学抽象能力和数据应用能力，帮助学生养成良好的独立思考的好习惯，促进学生全面发展等方面也能产生较大的帮助和成效[10]。本文以人教A版高中数学教材必修一(2019版)中的“茶水最佳引用时机问题”为例，探索如何将数学建模思想融入数学课程的教学中。

1)建模准备中提炼关键因素。问题的简化与重述。本文将教材中的实际问题进行了简化和重述：茶水的口感和水温有关，某种茶叶用85的水温泡制，60时则可以达到最佳引用口感。那么在25的室温下，刚泡入茶叶的茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用温度？

探究最佳茶水温度的问题是实际生活中的问题，本质上来讲是探究茶水的最佳饮用时机问题。教学过程中教师可以利用秒表、温度计等工具收集茶水温度随时间变化的数据，为了保证数据的严谨性和准确性，本文以教材中给出的数据为依据：某研究人员每隔1测量一次茶水温度，水温随时间变化的情况如表1所示。

表1 水温随时间变化表

准备阶段的教学活动。建构主义学生观认为，教师在教学中应当注重学生的原有经验，将学生的现有知识作为学习新内容的增长点，引导学生主动参与课堂探究和小组讨论，并针对学生难以理解的课程内容进行解析[11]。特别是学生第一次接触到数学建模这个新概念，对于所谓的从实际问题中抽象提炼出数学观点的具体方法更是毫无头绪。因此，教师应将教学重点放在关注学生已有知识与新情境的联系上，消除学生心中的畏难情绪，并寻找合适的切入点导入数学建模思想，让学生亲身经历运用数学知识解决问题的全过程[12]。同时，鼓励学生用数学的眼光看待实际问题，引导其借助函数图像工具来探究水温和时间两个变量之间的内在联系，进而达到将具体问题抽象概括为数学问题，提升学生数学抽象核心素养的目的。

在实际教学活动中，教师可以借助Matlab软件绘制出图1所示的水温随时间变化的散点图。

图1 水温随时间变化散点图

教师可以引导学生分析散点图的走势和特点，使学生明确解决问题的关键在于得到水温随时间变化图像的解析式。这就要求学生熟知几类基本初等函数的性质和图像，教师可以通过提问以及组织学生小组讨论的形式，引导学生回忆学过的函数知识，帮助学生复习不同类型初等函数的特点和性质，并探究几类初等函数图像与上述散点图走势的异同，尝试构建温度和时间这两个变量的函数关系式。

2)建模过程中联系数学知识内涵。建立模型是整个数学建模过程的重中之重，也是数学建模思想的核心体现，教师应充分重视该过程中对学生的引导以及探究活动的设置。

分析图像，提出合理猜想。学生通过观察上述图像中的散点分布情况，发现散点走势呈缓慢递减的特点且趋向于某个定值。教师可以设置几个问题帮助学生建立该函数图像与初等函数图像之间的联系，如：该图像的特点是什么？是否和之前学过的哪些函数图像类似？是否有现成的函数模型可以套用？如果没有，能否尝试用某种函数模型来近似的代替？这些问题的设置是循序渐进的，能够有效地帮助学生建构起回忆已知函数内容的线索，层层深入地引导学生思考和建立模型。

其中，用近似图像来代替的思想就是常用的建模思想之一：拟合思想。学生在自主比较与该散点图走势最接近的函数图像的过程中，更容易理解什么是数据拟合，即选择一种函数图像近似地刻画原函数曲线。

学生经过一番激烈讨论后得到各式各样的猜想，呼声最高的观点莫过于认为图1中的曲线类似于指数函数y=ax(0

结合实际，变换调整模型。课堂教学中引导学生复习的过程极大地调动了学生学习的主动性和积极性，有助于学生回想起指数函数的性质和结论：首先，指数函数图像恒过定点(0，1)；其次，所有指数函数的定义域都为(-∞，+∞)，值域都是(0，+∞)；会随a的改变而发生变化。当01时，函数图像呈上升趋势。

对比分析指数函数的特征，学生发现直接用指数函数代替现有曲线的做法是存在缺陷的，因为图1中的散点中并没有(0，1)，值域也不是(0，+∞)，这与学生的原有认知发生了冲突。元认知理论认为数学建模是一个不断的检验、修正、反馈、再完善的过程[13]，故此时教师的教学重点应放在帮助学生克服认知障碍，思考现状成因上，并引导学生仔细观察题目中是否还有条件没有使用。学生重新梳理思路后发现题目中的室温为的条件还没有用到，显然茶水的温度是不会低于室温的，因此原数据图像的值域不是(0，+∞)也就可以理解了。教师引导学生逐步分析推导的过程为学生进一步思考如何将室温因素融入模型提供了思路，同时有效地锻炼了学生的逻辑推理能力。

逐步优化，求解数学模型。学生以小组合作的形式进行探究，选择指数函数为原型进行建模。考虑到茶水温度降到室温就不能再降的事实，函数值域可设置为(25，85]。同样，指数函数图像上的定点(0，1)也是无法取到的，因此该模型曲线又可以看作是左右平移指数函数图像得到的，归纳总结上述变化，学生可以得到含有两个待定系数的函数模型为：

f(x)=ax+b+25

于是问题就被简化为求解待定系数a和b的问题。按照学生以往的经验，会任意选取两个点直接代入函数关系式求解参数。比如将(0，85)和(1，79.19)代入表达式，保留两位小数后得到如下的结果：

a=0.9，b=-38.86，

f(x)=0.9x-38.86+25

然而，这样的做法得到的函数模型并不能够保证所有点均在函数图像上或者基本分布于曲线两侧，并且代入不同的点也会得到不同的函数模型，计算上存在较大的误差。教师可以循序渐进地设置问题启发学生思考如何优化模型，如：这样的做法有没有用到所有已知点？如果没有，能否尝试将所有数据都利用起来？从而引导学生从函数的变化特征入手尝试建立拟合效果更好的函数模型，帮助学生养成通过数据思考问题的习惯，培养提升学生对数据检索、筛选、加工和运算的能力，发展学生数据分析的核心素养。

学生思考后发现上述做法的局限性在于没有合理利用所给数据，通过变形将模型化为如下形式：

f(x)=ab·ax+25，

将模型中系数ab替换为k该函数的本质并为发生改变，于是有如下表达式：

f(x)=kax+25(k∈R,0

为了让所有数据均能够在模型中发挥作用，学生容易想到运用平均值来代替特殊值的方法。教师可以启发学生尝试运用水温温差比值的平均值来代替衰减比例：即从第2 min的温度数据开始，计算每分(y-25)的值与上一分(y-25)值的比例，结果如下表所示：

计算各比值的平均值，得：

由于水温的初始值为85 °C，故将点(0，85)代入函数关系式，有k=60，就得到一个函数模型：

f(x)=60×0.9227x+25(x≥0)

这样一来，求解茶水水温最佳饮用时机的问题就迎刃而解了。

表2 水温温差比值表

3)方案转化中联系真实背景。在建立相应数学模型，得到数学解答之后，教师应引导学生重新回归实际问题，鼓励学生将数学解答转化为现实的解决方案。

探究茶水最佳饮用时机的问题是每位同学都可能会遇到的实际问题，通过这个实例的学习，学生将亲身感受到数学模型从无到有逐步建立的过程，体会到模型改进以及求解过程的美妙之处，意识到数学知识与实际生活之间的紧密联系。在该阶段的教学过程中，教师应注重引导学生敢于寻求真理，将所求解的数学结果与实际生活联系起来，敢于质疑自己的猜想和结论，使学生领悟到所求解的数学模型可能会与实际问题结果存在一定偏差。

数学建模不仅是解决问题的过程，更是教师引导学生思考问题的一种思维方式，在面对实际问题时，应培养学生灵活处理问题并将其转化为数学问题的综合能力，深入分析实际问题所处环境并将必要的外界因素作为解题条件，经过一系列的数学运算后得到数学解答，最终联系真实背景将数学解答重新转换为实际方案应用于生活实践中，使学生在解题思路和方法上清晰透彻，思维上形成闭环。

4)建模检验中反思数学实质。该过程是检验数学模型能否应用于实际的关键环节，教师应充分注重在这一环节中培养学生认真的学习态度和科学的研究精神，帮助学生在头脑中建构一套清晰完整的数学建模过程，使学生切身体会到数学方法在生活中的广泛应用。

学生可以通过比对所建立模型的曲线与实际数据的吻合程度来直观地判断模型的可行性和准确性。图2为模型拟合效果对比图，其中实线代表所建立模型的函数图像，散点为实际数据。

图2 模型拟合效果图

通过观察模型的拟合效果，学生发现散点基本位于函数图像上，即所求得的模型图像与原始数据基本吻合。由此可见，模型的拟合效果较好，能够较为准确地反映茶水温度随时间变化的规律，故所求解的模型是可行的。同时，从图2中也可以看出若要茶水温度达到最佳饮用温度，大约需要7 min时间。

至此，茶水的最佳饮用时机问题经过逐步的分析求解已经得到了解答。为了帮助学生进一步探究问题本质，教师可以引导学生继续思考要经过多长时间水温才可以降到室温，并尝试从图像的角度求证水温不能低于室温这个事实。顺着这样的思路，可以运用计算机软件绘制出模型函数图像，通过分析图像是否接近于某个定值来考虑水温下降到室温所需的时间。图3为模型函数曲线的走势图：

图3模型函数图像走势

观察图3发现，水温随时间的变化的曲线呈逐渐递减的特点。在较为理想的情况下，大约于第31 min时水温将低于并逐渐接近室温，且随着时间的推移，水温不可能低于室温。教师引导学生沿着该问题继续探索和深挖的过程有助于开阔学生思路，丰富问题结论，同时有助于加深学生对函数模型的理解，帮助其养成热爱思考和探究的好习惯。

总而言之，将实际问题转化为数学问题并求解的过程是复杂的，一方面，教师应引导学生关注影响事物发展的主要因素并提出合理的猜想建立数学模型；另一方面，教师也要引导学生检验反思模型的可行性，并勇于正视模型的不足之处，尝试提出改进方案，使数学模型能够更好地帮助我们解决生活中的实际问题。上述教学过程中应用的数学建模步骤如图4所示[14]。

图4 数学建模基本步骤流程图

3 小结

数学模型的思想贯穿于中学乃至大学的数学学习中，熟练掌握并运用这种方法对开发学生智力，培养学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力有较大的帮助。伴随着互联网时代下现代文明的推进和数学教育的变革，数学建模教学以一种新的教学形式走进广大数学课堂，与其相关的各类课程及竞赛活动的设置都表明数学建模已成为数学教育发展的重要方向之一[15]。在当今的数学课程教学中，早已不是老师将知识全盘托出、学生机械学习的形式。教师要适应时代的发展转变教育观念，创设能够启发学生学习、掌握和应用数学知识的情境，设置能够启发学生主动探究和讨论的问题，在数学课程教学中融入数学建模思想，培养学生的创造能力和联想能力，发展其数学抽象和逻辑推理核心素养，达到培养创新型人才的目的，真正做到数学中处处有生活，生活中处处是数学。