基于Kriging模型的液压柱塞泵可靠性灵敏度分析*

杜尊令 张义民

(沈阳化工大学装备可靠性研究所 辽宁沈阳 110142)

柱塞泵因具有高压、大流量、高效和高可靠性等优点，广泛用于航空航天、工程机械、机床等领域。在液压系统中柱塞泵将原动机的机械能转换为液压能，为能量转换装置，其能量转换效率很大程度上决定了整个液压系统的性能及可靠性[1-3]。柱塞泵在设计、制造及运行过程中其工程材料、结构尺寸和运行工况等均具有随机性[4-6]，致使柱塞泵总效率具有随机不确定性，确定性的效率分析模型难以准确反映柱塞泵在工程应用中的真实运行状态，且节能与环保是液压技术发展的永恒主题，因此开展柱塞泵总效率及可靠性的研究意义重大。

以上研究表明柱塞泵总效率是关于转速和压差的高度非线性模型，常用的拟合模型有多项式响应模型、人工神经网络模型[7]和Kriging 模型[13]。多项式模型对高维强非线性问题的拟合精度较差，人工神经网络模型所需要的实验样本较多，文中采用Kriging 模型拟合柱塞泵总效率。

以上模型多为确定性数值模型，没有考虑参数随机性的影响，无法真实反映柱塞泵的实际运行状态。受内因(设计因素)和外因(环境、负载)等不确定性因素影响，柱塞泵性能参数具有随机性，采用概率统计理论对柱塞泵进行可靠性研究更加符合工程实际[4-6]。液压元件和系统的可靠性研究兴起于 20 世纪 70 年代，国内外许多学者在不同层面上做了相关的研究工作，取得了许多成果[14-17]。但目前对轴向柱塞泵可靠性方面的研究较少，孙毅刚[18]以摩擦副应力-强度干涉模型为基础,建立了轴向柱塞泵缸体-配流盘、滑靴-斜盘这两对关键摩擦副的耐磨可靠性设计模型。YIN、YANG等[5,15]采用非概率的方法对水压柱塞泵的滑靴副、配流副进行了可靠性分析。ZHANG等[16-17]以比功(PV)和强度指标为度量，基于矩量法提出了液压柱塞泵的典型摩擦副的抗磨损和抗疲劳可靠性模型，并进行了可靠性灵敏度和可靠性稳健设计。上述对柱塞泵可靠性的研究主要集中在单个摩擦副磨损和疲劳可靠性分析，对整个柱塞泵总效率特性的可靠性分析很少涉及。

本文作者对柱塞泵影响效率特性的因素进行全面分析，研究了基于Kriging模型的柱塞泵总效率建模方法，揭示了压力和转速对柱塞泵总效率的影响规律；以建立的总效率Kriging模型为基础，把极限总效率作为可靠性失效判据，分别采用改进的一次二阶矩法和Monte-Carlo数值仿真法对柱塞泵总效率进行了可靠性和可靠性灵敏度分析。文中所提方法可推广至其他液压泵效率模型的建立及可靠性灵敏度分析。

1 柱塞泵总效率分析

液压轴向柱塞泵主要由泵轴、斜盘、滑靴、柱塞、缸体和配流盘等部件组成，构成了滑靴-斜盘副、柱塞-缸体副、缸体-配流盘副3对主要摩擦副(如图1所示)。泵轴在原动机(内燃机或电动机)的驱动下作旋转运动，带动缸体与柱塞滑靴组一起旋转，在斜盘的作用下，柱塞滑靴组在旋转运动的同时，沿缸体孔轴线作直线往复运动，实现密封腔容积变化；在配流盘吸油腰槽和排油腰槽的作用下，实现吸油和排油的过程。

图1 斜盘式轴向柱塞泵结构示意

轴向柱塞泵各摩擦副之间相对运动产生的摩擦损失将导致机械效率降低，为减少运动过程中各摩擦副之间的摩擦及功率损失，各摩擦副之间要形成适当的油膜，所形成的油膜间隙势必造成一定的泄漏损失，从而降低容积效率。如图2所示，柱塞泵总效率主要由容积效率和机械效率构成。容积效率损失主要是由泄漏损失产生，在柱塞泵中造成容积效率损失主要因素有滑靴-斜盘副、柱塞-缸体副、缸体-配流盘副和滑靴-柱塞球铰副4对摩擦副的的间隙泄漏损失，油液的压缩损失和油液物理特性(受温度影响油液黏度的变化)等；机械效率损失主要是由摩擦损失造成，除上述4对摩擦副的摩擦损失外，还有滑靴-回程盘、轴承和黏性搅拌摩擦等损失。

图2 液压柱塞泵总效率特性影响因素

柱塞泵总效率为机械效率与容积效率的乘积，容积效率、机械效率和总效率特性是液压系统设计和参数选择的重要依据，也是评价液压泵性能的重要技术指标。如图3所示为柱塞泵效率传送简图，主要损失来源于柱塞泵的泄漏和摩擦产生的热量损失。其容积效率为柱塞泵实际输出流量Qd与输出流量Qi之比，容积效率为

图3 柱塞泵效率传输简图

(1)

式中：QL为泄漏流量；Vd为柱塞泵排量；ω为缸体转动角速度。

其机械效率为理论转矩与实际输入转矩之比

(2)

式中：MP为输入转矩；ML为损失转矩；pd为负载压力；pi为进油口压力；Δp为进出油口压力差。

其总效率为柱塞泵输出的液压功率与输入的机械功率之比

(3)

2 Kriging模型

上述柱塞泵总效率模型多是基于不同转速、不同压力、不同温度、不同排量下的试验样本数据进行拟合的数值模型，为了获得全面的柱塞泵效率特性，需要足够多工况点的样本试验数据，这必然耗费大量测试时间，劳动强度大，能源消耗多。拟合数值模型常用的方法有多项式模型、人工神经网络模型和Kriging模型。Kriging模型作为一种估计方差最小的无偏估计模型，具有全局近似和局部随机误差相结合的特点，它的有效性不依赖于随机误差的存在，对非线性程度较高和局部响应突变问题具有良好的拟合效果，因此文中采用Kriging模型对柱塞泵总效率模型进行函数近似。

Kriging模型可近似为响应值与自变量之间的关系，为一个多项式和一个随机分布函数之和，即

(4)

式中：F(x)=[F1(x),F2(x),…,Fm(x)]T为多项式函数；β=[β1,β2,…,βm]T为回归待定系数；z(x)为服从正态分布的随机过程，协方差为

Cov[z(xi),z(xj)]=σ2R(θ,xi,xj)

(5)

式中：σ为标准差；R(θ,xi,xj)为2个样本点之间的相关函数，为相关矩阵。

为了满足模拟过程的无偏性，根据Kriging理论，随机响应的估计值为

(6)

当样本值确定后，利用以上公式就可以确定函数的表达式，基于表达式就可以获知未知样本点的响应值。

3 可靠性灵敏度分析

由于不合理的设计制造，恶劣工况下应用，磨损腐蚀等导致的性能退化，柱塞泵均会表现出总效率的降低。因此，可以采用总效率作为柱塞泵的失效判据。根据应力-强度干涉模型，其可靠性极限状态方程为

g(X)=η-ηlim

(7)

式中：X为基本随机变量；ηlim为柱塞泵总效率极限值，由JB/T 7043—2006《液压轴向柱塞泵》[19]，公称排量为25 mL/r≤V≤250 mL/r时，ηlim≥87%。g(X)具有以下状态

(8)

其可靠度定义为

(9)

文中采用改进一次二阶矩法(AFOSM)[20]，通过将非线性功能函数线性展开近似求得非线性功能函数的可靠度。AFOSM将功能函数线性化的点取在设计验算点，相对于均值一次二阶矩中的均值点，提高了计算的准确度和精确性。基本随机变量X相对应的设计验算点为X*，g(X)在X*处泰勒展开取一次相近似为

(10)

其可靠性指标为

(11)

可靠度RAFOSM为

RAFOSM=Φ(βAFOSM)

(12)

式中：Φ(·)为标准正态分布函数。

由于设计验算点X*事先无法确定，采用迭代法得到可靠指标和设计验算点的值

(13)

设计验算点的计算公式为

(14)

可靠度对随机变量均值和方差的灵敏度为

(15)

(16)

式中：

式中：符号⊗代表Kronecker积。

将设计参数代入可靠性分析结果和式(15)和式(16)就可获得液压柱塞泵的可靠性对基本随机参数均值和方差的敏感度。

用Kriging模型对柱塞泵总效率进行可靠性灵敏度分析步骤如图4所示。

图4 柱塞泵总效率可靠性灵敏度分析流程

4 数值算例

4.1 基于Kriging模型的柱塞泵总效率仿真

仿真所用试验样本数据[7]见表1，选用排量为39.57 mL/r的柱塞泵作为建模对象，选取转速500、1 500、2 500、3 000 r/min分别作为柱塞泵效率的输入样本数据，选取1 000、2 000 r/min作为验证样本。由式(3)可知，柱塞泵总效率与输出流量、压差、输入转矩和转速相关，压差和转速为已知量，因此需要分别获取输出流量、输入转矩与压差、转速的对应关系，文中分别采用Kriging模型建立映射关系。

表1 不同工况下的试验数据

建立后的模型采用转速分别为1 000和2 000 r/min的试验样本数据进行验证。图5给出了Kriging模型仿真与试验的流量对比曲线，两者最大相对误差为1.37×10-4，因此Kriging方法建立的流量模型具有较高的精确性。从图5也可以看出，随着转速的增加，柱塞泵输出流量逐渐增加；随着压差的增加，输出流量逐渐降低。

图5 仿真与试验的流量对比

图6给出了总效率仿真与试验对比曲线，2种方法的总效率最大相对误差为1.58×10-3，表明采用Kriging模型建立的流量和转矩模型具有较高的精度，精确的效率模型有助于在特定工况下优化柱塞泵效率。

图6 仿真与试验的总效率对比

从图6中可以看出，转速为1 000 r/min时总效率明显高于2 000 r/min。随着压差的增加，摩擦副的油膜厚度将会逐渐增厚，造成间隙泄漏损失增加，致使容积效率逐渐降低；而摩擦副油膜厚度的增加，为摩擦副运行提供了较好的润滑条件，摩擦转矩损失降低，从而机械效率逐渐提高。总效率为容积效率和机械效率的乘积，因效率值均小于1，所以总效率受两者较小值的影响较大。因此，随着压差的增加，总效率先主要受机械效率影响而逐渐增加，后主要受容积效率影响而逐渐降低，呈先升高后降低的抛物线形式。

基于Kriging模型分别建立的输出流量、输入转矩模型，给出了全面的柱塞泵总效率分布，如图7所示。可以看出随压差和转速的增加，总效率呈先增后降的趋势，极大值区域出现在低速中压区域。在高压低转速的工况下，总效率主要受容积效率影响，在低压高速工况下，主要受机械效率影响。因此该方法通过少量的试验样本即可获得全面的柱塞泵总效率，利于柱塞泵在选型过程中能量的高效利用。

图7 柱塞泵总效率分布

4.2 柱塞泵总效率可靠性灵敏度分析

选取X=[Δpnηlim]T作为极限状态方程的基本随机变量，假设各基本随机变量相互独立，其概率分布信息见表2。

表2 柱塞泵随机变量概率分布信息

Monte-Carlo法又称为随机数值模拟法，具有直观、精确、通用性强等特点，随着模拟次数的增加可以获得较高的精度，缺点是计算工作量较大，特别是在实际大型复杂机械结构系统中小概率事件发生时很难应用，常被作为标准验证其他方法的准确性。文中采用Monte-Carlo法对极限状态方程进行106次抽样，2种方法得到的结果如下:

βAFORM=2.403 698，RAFORM=0.991 885

βMCS=2.401 635，RMCS=0.991 839

可以看出采用AFOSM法可靠度计算结果与Monte-Carlo法十分接近，2种方法的最大相对误差为4.6×10-5，AFOSM法计算效率上明显优于Monte-Carlo法。

将表2中柱塞泵参数代入式(15)和式(16)得到基本随机变量均值和方差灵敏度，见图8和图9。可知2种方法获得的灵敏度大小和趋势基本一致，在此工况下，均值灵敏度和方差灵敏度均为负值，即随着均值和方差的增大，可靠度降低；绝对值最大的是极限总效率，其次是压差。

图8 柱塞泵无量纲均值灵敏度

图9 柱塞泵无量纲方差灵敏度

为了证实不同工况下灵敏度的变化情况，图10和图11分别给出了转速为1 500 r/min或压差为20 MPa工况下均值灵敏度随压差和转速的变化情况。图10中，随着压差的增加，摩擦副油膜厚度增加，润滑条件有所改善，摩擦转矩损失降低，但间隙泄漏损失增加。在低压时机械效率快速增长，总效率主要受机械效率影响而升高，可靠性对压差的灵敏度为正值(正相关)，其值随压差增加急剧降低，即随着压差均值的增加，可靠度将迅速提高；在中间压力区域，灵敏度趋近于0，即压差的均值对灵敏度影响相对较小，趋近于稳健；在高压时，总效率主要受容积效率的影响呈降低趋势，可靠性对压差的灵敏度为负值(负相关)，其值随压差增加迅速降低。随着压差的增加，转速的灵敏度一直为负值，但影响程度呈现由大变小再变大的抛物线形式，即低压时和高压时转速均值对可靠性影响较大，在1 500 r/min转速工况下，降低一定转速有利于提高可靠度。图11中，随着转速的增加，在压差为20 MPa工况下，转速的灵敏度由正值逐渐降低为负值，即转速对可靠性的影响由正相关逐渐变为负相关，在速度较低时升高转速，在速度较高时降低速度有利于提高可靠度；压差的灵敏度一直为负值，影响程度呈现由大变小后变大的抛物线形式，在压差为20 MPa工况下，降低压差有利于提高总效率可靠度。因此随机变量对柱塞泵总效率可靠性影响依赖于运行工况，不同工况下灵敏度具有较大差异。

图10 柱塞泵均值灵敏度随压差变化曲线

图11 柱塞泵均值灵敏度随转速变化曲线

5 结论

(1)首次采用Kriging模型拟合了液压柱塞泵输出流量和输出转矩与转速和压差之间的映射关系，建立的总效率模型具有较高的精度，模拟结果可以获取全面的柱塞泵效率特性。

(2)分别采用AFOSM法和Monte-Carlo法获得了不同工况下的可靠性灵敏度，结果表明，在压差为20 MPa、转速为1 500 r/min工况下，压差和转速均值对总效率可靠性的影响均为负值，且压差对可靠性的影响较大，即该工况下降低压差和转速有利于提高总效率可靠度；不同运行工况下柱塞泵总效率可靠性灵敏度差异较大，甚至正负值可能发生改变，因此在优化设计时要重视运行工况的影响。