两点弦方程在抛物线中的应用

傅立明

[摘  要] 文章以2021年全国乙卷理科第21题为例，运用两点弦方程，快速写出直线方程，便于发现同构式，化解抛物线问题的难点，帮助学生进一步理解抛物线与方程的关系，培养学生的数学学科核心素养.

[关键词] 抛物线;两点弦方程;同构

抛物线是新高考考查的重点，也是难点，它考查综合能力，涵盖知识面广，常与向量、三角、函数等知识结合，通常计算量非常大. 笔者认为，要很好地解决抛物线问题，必须先对抛物线相关性质进行充分挖掘和分析，只有选择好性质和计算源头才能轻松运算. 文章从2021年全国乙卷理科第21题的解析出发，谈一下两点弦方程在抛物线中的作用.

[⇩] 试题呈现

（2021年全国乙卷理科第21题）已知抛物线C：x2=2py（p>0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4.

（1）求p;

（2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值.

分析：（1）略;

（2）利用导数求出直线PA，PB的方程，进一步求得直线AB的方程，然后联立直线AB的方程与抛物线的方程，求出AB以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式，结合二次函数的基本性质求得△PAB面积的最大值.

这种方法需要进行大量的运算与变形，计算量较大且烦琐.而通过设点P的坐标，利用切点弦方程写出直线AB的方程，再设点A，B的坐标，根据两点弦方程快速地找到点A，B的坐标与点P的坐标的关系，可以大大提高解题速度，能起到事半功倍的效果.

[⇩] 抛物线的两点弦方程

抛物线的两点弦方程是在切点弦方程和切线方程基础上总结归纳而来的，其发现过程体现了新高考中最常见的同构思想. 在此以抛物线y2=2px（p>0）为例推导其两点弦方程（抛物线x2=2py（p>0）通过类比即可推导）.

探究1：抛物线y2=2px的切线方程.

当y>0时，设y=f（x）=，y=;f′（x）=，f′（x）==;切线方程为y-y=（x-x），即yy-y=p（x-x）. 因为y=2px，所以切线方程为yy=p（x+x）. 同理，当y<0时，切线方程为yy=p（x+x）. 同理，抛物线x2=2py（p>0）的切线方程为xx=p（y+y）. 为了方便记忆，可以简单地记为“代一留一”.

探究2：抛物线y2=2px（p>0）的切点弦方程.

求切线方程，必须要知道切点的坐标，如果过抛物线外一点P作切线，我们能得到切点弦方程.

设P（m，n），切点M（x，y），N（x，y），直线PM的方程为yy=p（x+x），将P（m，n）代入方程得yn=p（m+x）①;直线PN的直线方程为yy=p（x+x），将P（m，n）代入方程得yn=p（m+x）②.

我们发现①②两个式子同构，由此得到M（x，y），N（x，y）是方程ny=p（m+x）的两解，所以直线MN的方程为ny=p（x+m），称为切点弦方程.同理，抛物线x2=2py（p>0）的切点弦方程为nx=p（y+m）. 为了方便记忆，可以简单地记为“代一留一”.

探究3：抛物线y2=2px（p>0）的两点弦方程.

切点弦是特殊的弦，交点必须是切点，那么抛物线上任意两点所在直线的方程是什么？再来研究一下探究2中的切点.

设P（m，n），切点M（x，y），N（x，y），由探究1和探究2可知，直线PN的方程为yy=p（x+x）①，直线PM的方程为yy=p（x+x）②，直线MN的方程为ny=p（x+m）. 联立①②，得直线PN与直线PM的交点坐标P

，

. 此时，直线MN的方程为y=p

+x

，即2px-（y+y）y+yy=0.

由此，我们发现虽然M，N是两个切点，但是直线MN的方程与P的坐标没有关系，因此，我们可以认为只要知道弦的两个端点的坐标就可以将弦所在直线的方程写出来. 推导过程如下：

设M（x，y），N（x，y），将点M的坐标代入抛物线方程得y=2px，即2px-y=0，即2px-y-yy+yy=0，即2px-y（y+y）+yy=0①. 同理，将点N的坐标代入抛物线方程，得2px-y（y+y）+yy=0②.

由①②兩个式子同构，得直线MN的方程为2px-（y+y）y+yy=0，称为抛物线的两点弦方程. 同理，抛物线x2=2py（p>0）的两点弦方程为2py-（x+x）x+xx=0.

[⇩] 两点弦方程的应用

例1 2021年全国乙卷理科第21题（见“试题呈现”）.

解：（1）F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为+3=4，所以p=2.

（2）抛物线x2=4y，设A（x，y），B（x，y），P（x0，y0）. 由抛物线的两点弦方程得l：4y-（x+x）x+xx=0，由抛物线的切线方程得xx=2（y1+y0）①，xx=2（y2+y0）②. 由①②两个式子同构可得l：xx=2（y+y），即l：2y-xx+2y=0. 所以

x

+x

=2x，

x

x

=4y，所以AB=·=·=·;又d=，所以S=·AB·d=·x

-4y·=（-y-12y-15）. 而y∈[-5，-3]，当y=-5时，S达到最大，最大值为20.

评注：利用切点弦方程和两点弦方程以及三角形的面积公式，结合二次函数的基本性质求得△PAB面积的最大值，起到了事半功倍的效果.

例2 （八省联考）已知抛物线y2=2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆（x-2）2+y2=1的两条切线，求直线BC的方程.

解：设B（x，y），C（x，y），由两点弦方程得l：2x-（2+y）y+2y=0，l：2x-（2+y）y+2y=0.因为直线AB与圆相切，所以=1，得3y+12y+8=0;同理，3y+12y+8=0. 故y，y是方程3y2+12y+8=0的两个根，所以y+y=-4，yy=. 又由两点弦方程得l：2x-（y+y）y+yy=0，所以直线BC的方程为3x+6y+4=0.

评注：本题通过两点弦方程可以直接将直线AB、直线AC、直线BC的方程写出来，然后根据题设条件找出这三条直线方程满足的关系式，准确而迅速地完成本题的求解.

例3 （湖北八校联考）抛物线y2=2x，定点C（4，2），D（-4，0），M是抛物线上一动点，设直线CM，DM与抛物线的另一个交点分别为E，F. 求证：当M点在抛物线上变动时（只要E，F存在且不重合），直线EF恒过一个定点，并求出这个定点的坐标.

解：设M（x，y），F（x，y），E（x，y）. 由两点弦方程得l：2x-（y+y）y+yy=0①，l：2x-（y+y）y+yy=0②，l：2x-（y+y）y+yy=0. 将点C的坐标代入方程②，得8-2（y+y）+yy=0③;将点D的坐标代入方程①，得-8+yy=0，即y=. 将y=代入式子③，得8-4（y+y）+yy=0，所以直线EF恒过定点（4，4）.

评注：本题的一般解法是，设直线DM的方程为x=ty-4，直线CM的方程为x=t（y-2）+4，M

，y

，F（x，y），E（x，y）. 联立直线的方程与抛物线的方程，得E

，

，k=，直线EF的方程為y=x+，定点为（4，4）. 这样做计算量较大，而利用两点弦方程可以直接写出直线方程，这样便于发现同构式，能快速找到变量之间的关系，可以将考生从复杂的代数运算中解放出来.

[⇩] 结束语

两点弦方程能避免烦琐的计算，笔者也是从高考题中发现可以用两点弦方程来处理抛物线问题的，如果掌握了它可以很快地找到解决问题的根源. 当然，抛物线的结论有很多，所以教师在教学中应予关注，对抛物线的性质进行分类、归纳与剖析， 培养学生思维能力， 提高学习效率.