基于商空间粒度的序关系及其转换研究

李海霞

(莆田学院 新工科产业学院，福建 莆田 351100)

0 引言

日常生活中人们时刻进行着观察、对比、决策.要进行对比，首先要对事物按某种尺度进行量化，在量化的基础上排泛序[1]、求解问题.对于比较复杂的问题，在更小的细节上划分的序(微观序)下解决，会陷入细节，难以求解，或者说求解的复杂度比较高，这时，需要进行转换，将微观序转化为更粗粒度上的序(宏观序)，在该序上解决问题，可以降低求解问题的复杂度，提高求解效率.

文章基于商空间粒度理论，讨论了元素上的序(微观序)到集合上的序(宏观序)的转换、集合上的序(微观序)到集合幂集上的序(宏观序)的转换以及信息表上序的转换，给出了微观序到宏观序转换的步骤，并举例说明微观序到宏观序的转换在人们生活中的应用.

1 相关概念

1.1 商空间粒度理论

粒度(Granularity)[2-6]就是取不同大小的对象，是描述模糊和不确定性对象的工具.也就是说，将原来“粗粒度”的大对象分割成若干个“细粒度”的小对象，或者把原来若干个“细粒度”的小对象合并成一个粗粒度的大对象，进行研究.我国学者张钹院士曾经指出：“人类智能的一个公认的特点：人们能从极不相同的粒度空间上观察和分析同一问题.人们不仅能在不同粒度世界上进行问题的求解，而且能够很快地从一个粒度世界跳转到另一个粒度世界，往返自如，毫无困难.这种处理不同粒度世界的能力，正是人类问题求解的强有力的表现”[7].

在求解实际问题的过程中，根据求解问题的不同，需要不同粒度世界的描述.有时候解决同一问题时，同时需要若干不同粒度的世界.商空间理论[6-7]用三元组(X,f,T)描述一个问题，其中X表示问题的论域；f是论域的属性，是对对象X的特征的刻划；T是论域的结构，指论域X中各元素的相互关系(如距离、半序、拓扑等).分析或求解问题(X,f,T)，是指对论域X及其有关的结构、属性进行分析、研究.比如，当X很复杂时，可以对X的大小粒度进行简化，产生一个新的较大粒度的论域[X],那 么 把 原 问题(X,f,T)变成新的层次上的问题([X],[f],[T]).即从较粗粒度[X]去考察问题.

1.2 商空间族的性质

商空间族[7]即所有可能的商空间构成的集合.

定义1给定一论域X,设R是X上一切等价关系的全体.定义R1,R2∈R,若x,y∈X,xR1y⇒xR2y，则称R1比R2细，记为R2

定义2给定X上的两个拓扑T1,T2，设Ti的全体开集构成的集合族Oi,i=1,2.若O2是O1的子族，则称T1比T2细,记为T2

定义3设(X1,T1),(X2,T2)∈(X,T),若X1

定理1在(X,T)上定义如上的“<”关系，则(X,T)构成一个完备半序格.

从不同粒度来考察问题，所有可能选取的商空间和结构就是(X,T)中的元素，文章主要讨论对于给定的问题，如何从(X,T)中选取更“粗”的元素进行求解——将论域中的子集当作新的元素进行研究，用数学术语来讲，就是对X进行划分，得到商集[X]，然后对[X]进行研究.

1.3 微观序和宏观序

没有什么东西是绝对微观的或绝对宏观的.采用微观的观点还是宏观的观点主要取决于观察者的目的、理解和所处的环境等.不同的观察者对相同的事物有不同的尺度[8]，因此对于相同的事件，不同的观察者会存在不同的观点和不同的解决方法，即所谓的“横看成岭侧成峰”.

泛系相对性[9-11]是指系统的相对性和关系的相对性，是形成宏观序和微观序的基础，宏观和微观不是绝对的，是相对的.根据泛系相对性，宏观序是一般的序，而微观序是从更小的细节上划分的序.从粒度的观点来看，宏观序是在比微观序更粗的粒度空间研究序.

2 微观序到宏观序的转换

由于解决问题或决策的需要，经常需要将微观序转换成宏观序[12-13]，在更粗的粒度空间解决问题，以提高求解问题的效率，降低求解问题的复杂度.

如何将微观序转换成宏观序呢？

结合1.2中商空间族的性质，接下来讨论对于给定的问题(微观序下)，如何通过商化，从(X,T)中选取合适的元素并定义宏观序，以达到简化问题的目的.

2.1 元素上的序到集合上的序的转换

定义4集合A和B上定义序关系≤ ’: 满足集合B中的元素或者大于集合A中的元素，或者与集合A中的元素没有关系.将A、B上的这一关系记为g，则g= { , ≤’ }.

例1：设集合A= {a,b, 0, 1 }，集合A上的序关系ƒ = = { <0,a> , <0,b> , <0,1> , , }.如图1所示.

图1 集合A上的序关系f

众所周知A= 是个布尔代数[14].可以求出A的一对理想和滤子：

A的滤子：F= { 1,a}.

A的理想：I= {b,0 }.

根据定义4，在F和I之间存在序关系≤′，将集合上的这一序关系记为g，则

g= { {F,I} ,≤′} = { < {0,b},{1,a} > }.如图2所示.

图2 { F,I }上的序关系g

序关系ƒ 到序关系g的转化如图3所示.

图3 序关系ƒ到序关系g的转换

显然，序关系ƒ= 到序关系g= {,≤′}的转化，事实上也是元素上的序到集合上的序的转化.相对来说，ƒ是微观序，而g是宏观序.

从粒度的角度来看[4-5]，微观序ƒ和宏观序g是不同的粒度层次，宏观序g是更粗的粒度空间上的序.在更粗粒度空间上解决问题，能降低求解能提的复杂度.

2.2 集合上的序到集合幂集上的序的转换

定义5设A是一个集合，A的子集B⊆P(A)(P(A)是集合A的幂集合)，B= {B1,B2,B3, …}，对于任何X∈Bi如果存在集合Y, 并且满足Y∈Bj，X⊆Y，则Bi⊆Bj.

例2：设集合A= {{a,b,c,d},{a,c},{a,b}, {a}}，集合A上的序关系ƒ′=={<{a,c},{a,b,c,d}>,<{a,b},{a,b,c,d}>,<{a},{a,c}>,<{a},{a,b},>,<{a},{a,b,c,d}>}，如图4所示.

图4 集合A上的序关系ƒ′

构造满足定义5的集合B，B={{{a,b,c,d}},{{a,c},{a,b}},{{a}}}，则B上有包含关系⊆′，集合B和B上的包含关系⊆′形成序关系g′=，如图5所示.

图5 集合B上的序关系g′

序关系ƒ′到序关系g′的转换如图6所示.

图6 集合上的序到集合的幂集上的序的转换

容易得知，序关系ƒ′=到序关系g′= 的转换实际上是集合上的序到集合的幂集上的序的转换.相对来说，序关系 ƒ′=是微观序，而序关系g′=是宏观序.

同样地，从粒度的角度[4-5]来看，微观序ƒ′和宏观序g′是不同的粒度层次，宏观序g′是更粗粒度空间上的序.在更粗粒度空间上解决问题，能降低求解能提的复杂度.

2.3 信息表上序的转换

信息表是粗糙集理论中对知识进行表达和处理的基本工具.信息表与泛权场一一对应，故可以将信息表的研究转变为对泛权场的研究.

经典粗糙集理论中，论域U是元素的集合，未能显化事物和事物的区别，所以对事物的认识不是很清晰.为此，引入了元素语义，构成泛权场，泛权场显化了事物之间的区别，使得对事物的描述更全面，对事物的认识更清晰.

定义6泛权场[1]：在一个广义系统S=(A，B)中，如果满足B：A→W，则S就是一个泛权场，其中W为A的泛权集.

定义7子泛权场：设泛权场fU:U→W，fX:X→W，集合X⊆U，如果对∀x∈X，不存在y∈U-X，使得fX(x)=fU(y)，称fX是fU的子泛权场.

特别地，设∅ 也是fU的子泛权场.

定义8偏序“⊆”(“⊇”)上的宏观序“⊆*”(“⊇*”)：设fX、fY∈P(B)，∀fx∈fX和∀fy∈fY要么fx⊆fy(fx⊇fy)或fx,fy没有“⊆”关系，则有fX⊆*fY(fX⊇*fY).其中B为某泛权场所有子泛权场的集合；P(B)为B的幂集.

例3：假设有如图7所示的泛权场布尔代数：

图7 某泛权场布尔代数

根据定义8，对图7某泛权场布尔代数进行商化，如图8所示.

图8 某泛权场布尔代数的商化

商化后得到如图9所示的商化后的序.

图9 商化后的序

在此基础上，根据定义8，对图9中的序继续商化，如图10所示.

图10 对商化后的序的商化

构造出更粗粒度空间上的宏观序(线型序)，如图11所示.

图11 商化后的宏观序(线型序)

在这里，将原来的泛权场布尔代数通过求商、再求商，最终变成了线形序.大大降低了问题的复杂性.

定理2任何一个泛权场布尔代数，通过商化，最终可转变为线形序.

定理3商化之后的偏序或线形序中，最小元为原布尔代数的理想，最大元为原布尔代数的滤子.商化越厉害，对应的理想和滤子也越大.

2.4 从微观序到宏观序转换的方法

为了提高问题的求解效率，降低求解问题的复杂度或者决策的需要，经常需要结合商空间粒度理论将微观序转换为宏观序，在更粗的粒度空间分析、解决问题.具体转换步骤如下：

Step 1 分析研究当前微观序的元素和元素上的序关系(微观序);

Step 2 根据1.2商空间族的性质，在微观序的基础上构造更粗的粒度空间——将论域中的子集当作新的元素进行研究;

Step 3 定义出粗粒度空间上的序关系(宏观序).

Step 4 如有需要，再重复step1、step2、step3步，构造出更粗粒度空间上的序.

2.5 从微观序到宏观序转换的应用

微观序从更细节的地方观察和控制事物，而宏观序从整体上、全局上观察和控制事物.下面举一个日常生活中微观序到宏观序转换的简单例子.

例：升学考试过程：学生考试，获得分数；学校根据招生人数、学生分数高低以及排名，决定是否录取.

考试是量化学生学习好坏的一个工具，考得的分数是量化的结果.通常情况下，按照学生分数的高低排名(图12左)，这是学生及家长所关注的；对老师来说，更关注学生在各个分数段的分布情况(图12中)；而对升学来说，只关注哪些学生被录取(图12右).

图12左边的序关系是微观序，不适合做决策.对于学校来说，他们只需要确定一个升学的录取分，如果考生的成绩高于录取分，则录取，否则，不予录取.

图12 微观序到宏观序的转换

可以看出，对于决策者学校来说，从宏观序进行升学录取的效率更高.

3 结语

人们在微观序下，分析问题、解决问题的效率不高，经常需要从微观序转换到宏观序，从宏观上做决策.

文章结合商空间粒度理论，重点讨论了元素上的序到集合上的序的转换、集合上的序到集合幂集上的序的转换以及信息表上序的转换，给出了微观序到宏观序转换的步骤，并举例说明微观序到宏观序的转换在人们生活中的应用.

通过将微观序转换为宏观序，对复杂问题进行更粗的粒度划分, 将其转化成较为简单的问题, 从而有助于对复杂问题的分析与求解.