三人抬三角形木板的六种解法

陈朋

【摘要】三人抬一三角形均匀木板是一个有趣的问题，本文给出六种求法供参考，分别运用了力矩平衡法、平行力合成法、功能原理、力矩的矢量定义法.

【关键词】力矩平衡;平行力;功能原理

1 问题呈现

三人抬一三角形均匀木板，每人抬一顶点. 三角板处于水平方向，三人的用力方向均为竖直向上，求三人的用力大小FA、FB、FC.

2 解决方法

解法1 如图1，以BC为转轴，FB与FC没有转动效果，根据力矩平衡有FA·AD=G·OE，因为O为三角板重心，所以AO∶OF=2∶1.

因为Rt△OEF∽Rt△ADF，

所以OEAD=OFAF=13.

可得FA=13G，

同理FB=Fc=13G.

解法2 如图2，D为AC中点，连接BD并延长. 从A、C分别作垂线交BD于E、F，易证Rt△AED≌Rt△CFD，所以AE=CF.

以BF为转轴，因为重心O在BF上，

所以FB、G均不产生转动效果，根据力矩平衡有：FA·AE=FC·CF，

可得FA=FC，

同理FB=Fc=FA=13G.

解法3 如图3，FB与FC均竖直向上，可将它们合成为一个合力[1]，此合力也竖直向上，并且作用点在BC之间的某点D，记该合力为FD.

连接AD，因为FA与FD均竖直向上，也可将它们合成，设合力作用点在AD之间的某点E，记该合力为FE.

三角板此时受到的力为重力G和FE，由二力平衡可知，重力G和FE作用点在同一点，也就是重心处，

所以E为重心，D为BC中点，由此可得FB=FC.

同理FA=FB，FA=FC，

所以FB=Fc=FA=13G.

解法4 如图4，设三角板处在xOy平面. 不失一般性，可以将三角板的两个顶点A、B放在y轴上，则三个顶点的坐标分别为0，y1，0，0，y2，0，x3，y3，0.

根据平行力合成公式，可得合力F的作用点D的x坐标为

xD=FAx1+FBx2+FCx3FA+FB+FC=FCx3G，

此合力F与重力G二力平衡，作用点相同，所以D为重心，由重心坐标公式可得

xD=13x1+x2+x3=13x3，

因此可得FC=13G，

同理FA=FB=13G.

解法5 不妨设三角板在xOy平面，三个顶点A、B、C的坐标分别（x1，y1，0），（x2，y2，0），（x3，y3，0）.

由重心坐标公式可知重心D的z坐标为 zD=13（z1+z2+z3）=0.

设想三角板在FA作用下缓慢移动一个很小的距离△z，

则FA在此过程中对三角板所做的功为W=FA·△z.

经历此过程，三角板的重心升高，重力势能增大了

△E=G·13（△z+0+0）=13G·△z.

根据功能关系应有W=△E，

即FA·△z=13G·△z，

所以FA=13G，

同理FB=Fc=13G.

解法6 如图5，O是三角板重心，利用力矩定义M=r×F. 分别以A、B、C、O为支点，可以列出

AB×FB+AC×FC+AO×G=0①

BA×FA+BC×FC+BO×G=0②

CA×FA+CB×FB+CO×G=0③

OA×FA+OB×FB+OC×FC=0④

④也可写成AO×FA+BO×FB+CO×FC=0⑤

由①②③可得AO+BO+CO×G=（AB+AC）×FA+BA+BC×FB+CA+CB×FC=3AO×FA+BO×FB+CO×FC⑥

将⑤代入⑥可得AO+BO+CO×G=0，即AO+BO+CO=0⑦

将⑦代入⑤，AO×FA+BO×FB+（-AO-BO）×FC=0

即AO×FA-FC+BO×FB-FC=0⑧

因为AO与BO不在一条直线上，AO×FA-FC与BO×FB-FC也不在一条直线上，这两个矢量是独立的.

所以AO×FA-FC=BO×FB-FC=0.

又因为AO与FA-FC垂直，BO與FB-FC垂直，AO≠0，BO≠0.

所以FA-FC=0，FB-FC=0.

由此可得FA=FB=FC=13G.

参考文献：

[1] 张大同，赵伟.高中物理精英读本（上）[M].上海：中西书局，2014：46-47.