谈谈平行四边形的判定

郑泉水

【摘要】 本文通过对平行四边形判定方法的探索，帮大家进一步熟悉其基本判定方法的应用，开阔视野，提高逻辑思维能力.

【关键词】 平行四边形;判定;开阔视野

我们知道，初中数学各种版本的教材中，平行四边形的判定方法一般有五种，即：

（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形;

（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.

以此五种基本判定方法为基础，通过探索，我们得出下面的多种判定方法：

方法1 一组对边平行、一组对角相等的四边形是平行四边形.

如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠D.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 因为AD∥BC，

所以∠A+∠B=180°.

因为∠B=∠D，

所以∠A+∠D =180°.

所以AB∥DC.

所以四边形ABCD是平行四边形.

方法2 一组对边相等、一组对角是钝角且相等的四边形是平行四边形.

如图2，四边形ABCD中，AB=DC，∠A，∠C是钝角，且∠A=∠C.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 连接BD.

由正弦定理，得

sin∠1=AB×sin∠ABD，

sin∠2=DC×sin∠CBD.

因为AB=DC，∠A=∠C，

所以sin∠1=sin∠2.

因为∠A，∠C是钝角，

所以∠1，∠2是锐角.

所以∠1=∠2.

所以△ABD≌△CDB（AAS）.

所以AD=BC.

所以四边形ABCD是平行四边形.

注 上述证明过程中得出三角形全等的一个判定定理“有两边及一边的对边分别相等的两个钝角三角形全等.”

方法3 一条对角线平分另一条对角线、且两条对角线形成的钝角所对的一组对边相等的四边形是平行四边形.

如图3，四边形ABCD的对角线相交于O，∠AOD是钝角，且OA=OC，AD=BC.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 因为∠AOD=∠COB，

且∠AOD，∠COB是钝角，

OA=OC，AD=BC.

所以△AOD≌△COB

（有两边及一边的对角分别相等的两个钝角三角形全等）.

所以OD=OB.

所以四边形ABCD是平行四边形.

方法4 一条对角线平分另一条对角线、且有一组对边平行的四边形是平行四边形.

如图3，四边形ABCD的对角线相交于O， OA=OC，AD∥BC.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 因为AD∥BC，

所以∠OAD=∠OCB.

又OA=OC，

∠AOD=∠COB，

所以△AOD≌△COB（ASA）.

所以AD=BC.

所以四边形ABCD是平行四边形.

方法5 一组对角的平分线互相平行且相等的四边形是平行四边形.

如图4，四边形ABCD中，BE，DF分别是其一组对角的平分线，且BE∥DF，BE=DF.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 因为BE，DF分别是其一组对角的平分线，且BE∥DF，

所以可设∠ABE=∠EBC=∠DFC=α，

∠CDF=∠FDA=∠AEB=β.

因为BE∥DF，BE=DF，

所以四边形BFDE是平行四边形.

所以AD∥BC.

所以∠FDA =∠DFC，

即∠α=∠β.

所以∠A=∠C.

所以四边形ABCD是平行四边形

（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）.

方法6 一组对角的平分线互相平行且有一组对边平行的四边形是平行四边形.

如图4，四边形ABCD中，BE，DF分別是其一组对角的平分线，且BE∥DF，AD∥BC（或AB∥DC）.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 （1）当BE∥DF，AD∥BC时，四边形BFDE是平行四边形.其证法与方法5的证明相同，故从略.

（2）当BE∥DF，AB∥DC时，则有：

∠ABE=∠CDF

（如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等.）

即∠α=∠β.

所以∠A=∠C.

所以四边形ABCD是平行四边形

（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）.

方法7 两组对角的平分线互相平行的四边形是平行四边形.

如图5，四边形ABCD中，AE，CF，BH，DK分别是其两组对角的平分线，且AE∥CF，BH∥DK.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明 由角平分线BH与DK互相平行可知：

∠ABH=∠HBK=∠DKC=∠1，

∠CDK=∠KDH=∠BHA=∠2，

并将它们标示在图上.

利用三角形的内角和是180°，容易得出

∠BAH=∠DCK.

同理可知∠ABE =∠CDF.

故四边形ABCD是平行四边形.

方法8 一组对角的顶点到另一条对角线的距离相等，且有一组对边相等的四边形是平行四边形.

如图6，四边形ABCD中，AD=BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明留给读者自行完成.

方法9 一组对角的顶点到另一条对角线的距离相等，且有一组对边平行的四边形是平行四边形.

如图6，四边形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BD，CF⊥BD，且AE=CF.

求证：四边形ABCD是平行四边形.

证明留给读者自行完成.

受上面判定方法的启示，你还能找出其他判定方法吗？不妨试试看！