因为需要，数学“活”出精彩

包仁琴

【摘  要】没有需要，就没有真正的数学活动。在数学活动中做到：基于已知，是活动能力的需要;善于呈现，是思维媒介的需要;精于评价，是数学社交的需要，有了这些，数学活动才能“活”出精彩，这种精彩怎样延续下去，才能实现真实有效的数学学习。

【关键词】基于已知;善于呈现;精于评价;需要; 活动能力;思维媒介;数学社交

【案例背景】

《课程标准》指出：义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要，学生的学习活动是一个生动活泼的、主动和富有个性的过程。

我们在听课中看到各种活动单：学习单、研究单，探究单，一节课上，还会有探究活动一、探究活动二……但经历下来总有遗憾：活动之后大部分学生开始旁听，变成教师和几个学生的精彩。数学活动怎样“活”出精彩？这种精彩怎样延续下去才能让学生在一节课中全程参与，让数学学习真正地发生？

【案例描述】

一、初次执教《圆锥的体积》

课前准备：圆柱、圆锥容器和水等等，在复习了圆柱的体积公式、圆锥的特征及各部分名称后，揭示课题并出示研究单：⒈估计一下等底等高的圆锥的体积是圆柱的几分之几？⒉你准备如何验证自己的估计结果，在小组里说说思路。⒊动手操作，验证自己的想法。

小组活动后我分别找两个学生上台，从不同角度展示实验：

实验1：在圆锥里注满水，再倒入圆柱里。

我问：圆锥的体积正好是与它等底等高的圆柱体积的几分之几？你的估计对吗？

生：3次正好倒满，是三分之一，我估计对了！

实验2：在圆柱里注满水，再倒入圆锥里。

我问：圆柱的体积正好是与它等底等高的圆锥体积的几倍？

生：能倒3次，说明圆柱的体积正好是与它等底等高的圆锥体积的3倍。

我又问：根据上面的实验，想一想，可以怎样求圆锥的体积？

学生回答，我随机板书：圆锥的体积=底面积×高×1/3，字母公式：V=1/3Sh。

最后小结：这节课我们学了什么？你有哪些收获？

这节课下来，我索然无味，疲惫不愖：1.学生除了 做实验时表现出较高的兴趣，其他时候没精打采，除了回答我的问题外，没有提问交流等主动行为，我努力地引导学生深入重点，可学生却成了旁观者;⒉学生的态度是，早就知道了，只是再证明一下而已，实验只是好玩，并没有深入探究思考的境界;⒊水泼得到处都是，导致做实验浪费了大量时间。

二、再次执教《圆锥的体积》

这学期，又到了上这节课的时候，为了避免重蹈覆辙，我对初次执教进行了回顾，又分析了学生当前情况。同样复习并板书相关知识后，围绕“探究圆锥的体积计算方法”，我开展了三个板块的数学活动：

活动一：猜想式谈话。

首先我跟学生进行了一番以“猜想”为形式的谈话：⒈到现在我们已经认识了哪些立体图形的体积，接下来你想研究哪个立体图形的体积？（学生：圆锥）⒉根据经验，要研究圆锥的体积，你想到了哪个图形？（学生：圆柱）⒊（出示图：一个圆锥和几个与之有各种联系的圆柱：或等底、或等高、或等底等高、或不等底不等高）你觉得研究这个圆锥的体积，哪个圆柱更合适呢？（学生：选择等底等高的那个）⒋（出示图：等底等高的圆柱和圆锥）猜一猜，这个圆锥与圆柱的体积会有什么关系呢？（生：二分之一、三分之一）

这个谈话过程很轻松，学生表现得很活躍，都抢着表达自己的想法，根据学生的猜想，我在黑板上板书：二分之一和三分之一。接着，我问：同学们的猜想对不对？下面我们需要做什么呢？（学生：我们要做实验验证一下）

我问：你想怎样验证？

学生提出各种办法……

活动二：自主探究验证。

我拿出一袋学具（包括圆柱和圆锥容器，一袋盐），请同学上台比较一下这个圆柱和圆锥的底面积和高，确认：圆柱和圆锥底面积相等、高也相等。然后出示活动要求，让学生阅读，明确活动步骤：

小组活动

（1）做一做：在圆锥容器里装满盐，再倒入空的圆柱形容器里，看看几次正好倒满。

（2）说一说：通过实验，你能得到什么结论？

我问：你觉得在研究过程中要注意什么？

生：我要提醒大家装盐时让盐的高度和圆锥的上面要平齐，这样才能保证得到的结果准确。

开始研究，我巡视，并及时点评。结果，每个小组都小心地“刮”一下，让盐的高度和圆锥的上面要平齐，实验过程很安静，每个组都严谨细致。一组（四位）同学实验完抢着要上台交流（台上，我已经准备了一盆水和等底等高的两个大圆柱和圆锥容器）。

我提醒：下面请睁大你智慧的眼睛，仔细看，发现问题，要及时告诉他们哦！

四人配合得很好：生1拿容器，生2倒水，生3说：“这个圆锥容器的水倒入圆柱，正好是1/3”。立即有同学举手，“你这个圆柱里的水好像不是1/3。”

台上：确实，我们刚才做实验的时候漏了一些，所以有了误差，下面我们会细心的。

台下：你这个1/3，看着也不明显，我建议往里面撒点红墨水。

他拔出自己的红色自动笔芯，跑上台往水里用力挤了一些，水立即变红了，底下同学发出了惊呼声。有了同学们的建议，台上的学生做实验更加细心了，台下的一双双眼睛跟法官似地盯着他们的动作，专心极了。实验做完了，第四位同学总结道：通过实验，我们小组发现圆锥体积真的是圆柱体积的1/3。大家有什么疑问或补充吗？

台下：我要提醒你，你们刚才说圆锥的体积是圆柱体积的1/3，这句话是错的，要先强调它们是等底等高才行。

台上：嗯嗯，你说得对！谢谢你的提醒！我更新一下，等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的1/3。

在大家的掌声中，这场验证交流活动结束了。

我问：现在，你知道怎样计算圆锥的体积吗？学生说，我随即板书在黑板上：圆锥的体积=底面积×高×1/3，字母公式：V=1/3Sh。

活动三：回顾验证过程。

我问：“回忆一下，你们刚才是怎么研究出圆锥体积公式的呢？”随着同学们的回忆，我板书研究过程：提问—猜想—验证（比较、实验）—结论。

我接着问：“经历这个研究过程，你有什么体会或者收获呢？”

“我知道了等底等高的情况下圆锥的体积是圆柱的1/3，圆柱的体积是圆锥的3倍。”

“我们小组一开始以为圆锥的体积是圆柱的1/2，实验以后才发现是1/3。”

“我们小组得出的结论并不是1/3，我们刚才对比了一下，发现原来我们的圆锥和圆柱并不是等底等高！老师，你给错容器了！”

我哈哈大笑，底下同学立即明白，嚷嚷道：“老师，这是你给的陷阱吧？”

我说：“是啊！所以你现在想提醒大家什么呢？”

“我要提醒大家的是只有等底等高的圆锥才是圆柱体积的1/3！”

【案例反思】

跟初次执教比，再次执教时，学生无论是活动还是活动后的交流互动，都认真专注、积极大胆，我俨然成了旁观者、局外人。除了因为学生不同外，第一次课中各种活动不能满足学生的需要，而第二次课上的活动是以学生内在需要为出发点的，所以学生真的“活”动起来了。从需要出发设计数学活动，就是抓住了学生与生俱来的心理需求，学生因为需要而喜欢。

一、基于已知，活动能力的需要。

学生在这节课之前，已经有过联系长方体体积寻找圆柱体积公式的研究经验，也学习了圆锥的图形特征，受外部因素影响，对圆锥体积公式也早有耳闻，因此在初次执教的课堂中，学生觉得自己早就会了，没有研究的必要了，所以没有参与活动的动力。而再次执教课上，我采用四个猜想式谈话，逐层深入，这个环节，抓住了学生的能力点，已有的圆柱体积公式的研究经验成为重要优势，促使他们根据经验想到要研究圆锥的体积，要找一个与圆锥等底等高的圆柱来研究，并猜测圆锥和圆柱体积的关系，所以学生放得开，猜测也很大胆，不再受已有公式的干扰，不仅让研究的方向清晰明确，也增强了研究活动的实际意义。

猜想式谈话，一方面调动了学生已有的经验，激励他们将已有经验自觉迁移，让他们体验到学有所用的快乐;另一方面，猜想活动满足了学生的心理需要，让他们有着强烈的个人存在感，期待着将要发生的事情。

基于已知，就是基于学生所属的能力阶段，促进学生对未知进行个性化的规划，取得学习主动权，为下一步的数学活动做好知识上和心理上的充分准备。

二、善于呈现，思维媒介的需要。

一要呈现合适的研究材料。实际教学中，教师在学习材料的呈现上往往会出现“越多越好、越新鲜越好、学生表现得越开心越好”这类观点，而忽视了学生个体思维的真实需要。上文中的初次执教，小组活动时水泼洒导致学生忙着擦桌子而忘记了思考，严重阻碍了学生继续探究的进程;再次执教改成了细盐，学生操作起来方便易行，直接将目光放在了验证重点上。而当四位同学上台展示验證过程时，则将材料改成了一盆水和两个超大的等底等高的圆柱和圆锥容器。因为这时的材料符合全班同学的视觉需要，看得清楚，而正是因为视觉需要，促使那位同学主动上台往水里洒点红墨水，让1/3的印象更加深刻。二要呈现简易的活动要求。上文中再次执教课上，把新知猜想、活动策划放在谈话中进行，既很好地调动了学生的求知欲，又促使学生主动构建验证活动前的准备工作。在此基础上出示的活动简洁明了、目标明确，活动流程清晰、直击重点，完全契合学生此时验证和思考的需要，所以学生表现得非常专注，兴致盎然。

善于呈现，关注的是学生思维媒介的需要，让学生在抽象的数学知识里体验到直观的有思维深度的快乐，使学生的数学思维得到延续。

三、精于评价，数学社交的需要。

数学课堂就是一个小社交圈，学生需要被肯定，从而更好地展现自己。上文中老师的一句“你刮得真仔细！”让这位学生充满自信，也激励其他学生积极模仿。高尔基说：当你感到一切人都需要你的时候，这种感情就会使你有旺盛的精力。初次执教中，数学活动只是个体行为，学生没有被需要的自豪感，思维受到限制;再次执教中，数学活动是集体的合作行为：⒈四人上台展示实验过程，他们互相陪伴、互相评价、互相支持;⒉谈研究过程中的收获，很多学生都讲到了小组内共同收获与感受，说明学生需要同伴的参与，而组员的评价，能再次激起同伴的共鸣。评价自己、评价他人、评价集体，会促使自己更加用心倾听别人的发言，不仅能发现别人的精彩观点，还能提出不足或者错误，逐渐提高数学交流的能力。

精于评价，是学生在数学学习中的社交需要，是学生自我实现的基础，学生在积极的数学社交中，得到了来自伙伴的帮助和鼓励，才会充满信心，思维的火花热情碰撞，才会更加积极主动地参与一次又一次的数学活动。

马克思说：没有需要，就没有生产。我想说：没有需要，就没有真正的数学活动，在数学活动中做到基于已知，善于呈现，精于评价，数学活动才能“活”出精彩。

【参考文献】

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）北京师范大学出版社，2012年1月.