一类数列问题的解法探讨

2022-05-30 10:48刘书霞
中学教学参考·理科版 2022年5期
关键词:数列命题函数

刘书霞

[摘 要]数列作为一类特殊的函数,是历年高考的重要知识点之一,也是历年高考的重点和难点之一。文章通过一类数列创新问题的展示,呈现其创新角度、破解思维、解题策略等,为教师进行课堂教学与解题研究提供参考。

[关键词]数列;命题;函数

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058(2022)14-0019-03

数列作为一类特殊的函数表现形式,具有独特的性质,是知识交汇、问题创新的纽带,也是高考的重点和难点之一。高考数列题以数列为问题背景,融合其他相关知识来设计综合问题,充分体现了高考命题的指导思想,有效考查了相应的数学知识,考查了学生的抽象概括能力、逻辑推理能力,以及数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。

一、问题呈现

[例1]已知数列[xn]满足[x1=2],[xn+1=2xn-1] [(n∈N*)]。给出以下两个命题。

命题[p]:对任意[n∈N*],都有[1

命题[q]:存在[r∈](0,1),使得对任意[n∈N*],都有[xn≤rn-1+1],则()。

A. [p]真,[q]真 B. [p]真,[q]假

C. [p]假,[q]真 D. [p]假,[q]假

此题是涉及根式型递推数列关系的一道综合题,它巧妙地把函数、数列与常用逻辑问题合理融合。学生要结合数列的相关知识来分析与推理,才能判定对应命题的真假。此类问题对学生的应用能力、分析问题与解决问题的能力及逻辑推理能力要求比较高。

二、问题破解

(一)对于命题[p]的判断

方法1:(作差比较法+极限特征)

由题意可知[xn≥0],则[xn+1-xn=2xn-1-xn=-(xn-1)22xn-1+xn<0],

那么数列[xn]单调递减,所以[xn+1

而当[xn→1]时,[xn+1→1]且[xn+1>1],

对任意[n∈N*],都有[1

点评:作差法是中学数学中比较大小的常用方法,具有实用性和通法性。运用作差法,能够培养学生的发现与观察能力及类比意识。

方法2:(放缩法+同号性)

因为[xn+1=2xn-1≤x2n=xn],若以上不等式取等号,则有[xn=1],从而[xn-1=…=x1=1],与题设条件矛盾,所以[xn+1

又[xn+1-1=2xn-1-1=2(xn-1)2xn-1+1],可得[xn+1-1xn-1=22xn-1+1>0],

那么[xn+1-1]与[xn-1]的符号相同,

而[x1-1=1>0],则有[xn-1>0],即[xn>1]。

对任意[n∈N*],都有[1

点评:用放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容。放缩法灵活多变,技巧性要求特别高。放缩是一种能力,放缩要有度,如何恰到好处,是放缩法的精髓和关键所在。

方法3:(同号性+作差比较法)

由[xn+1=2xn-1],可得[x2n+1=2xn-1],即[x2n+1-1=2(xn-1)],

整理可得[(xn+1-1)(xn+1+1)=2(xn-1)],

那么[xn+1-1]与[xn-1]的符号相同。

而[x1-1=1>0],则有[xn-1>0],即[xn>1];

又[x2n+1-x2n=2xn-12-x2n=2xn-1-x2n=-(xn-1)2<0],

所以[x2n+1

对任意[n∈N*],都有[1

方法4:(数学归纳法+作差比较法)

(1)当[n=1]时,[x1=2>1];

(2)假设当[n=k(k∈N*)]时,不等式[xk>1]成立,那么[xk+1=2xk-1>2-1=1]成立,即当[n=k+1]时,不等式[xk+1>1]也成立。

根据(1)和(2),可知對任意[n∈N*],都有[xn>1]成立;

又[x2n+1-x2n=2xn-12-x2n=2xn-1-x2n=-(xn-1)2<0],所以[x2n+1

对任意[n∈N*],都有[1

点评:数学归纳法是一种重要的数学证明方法,通常被用于证明某个给定命题在整个(或局部)自然数范围内成立。运用数学归纳法可有效解决数列问题。

方法5:(“蛛网图”法)

由[xn+1=2xn-1],在平面直角坐标系中作出函数[f(x)=2x-1]与[y=x]的图像(如图1),直线[y=x]在曲线[f(x)=2x-1]的上方,且相切于点[A(1, 1)],画出相应的“蛛网图”,可知数列[xn]单调递减,当[n→+∞]时,[xn→1],即[1

点评:对于一个不可求通项公式的数列递推关系的范围确定问题,利用作差比较法、放缩法、数学归纳法等常见的方法,并借助“同号性”等不等式的性质来处理,可以有效破解问题。而“蛛网图”是解决此类问题比较特殊的方法,其常借助特征函数的图像与性质,数形结合,准确判定。

(二)对于命题[q]的判断

方法1:(裂项法+反证法)

因为[xn+1-1=2xn-1-1=2(xn-1)2xn-1+1],所以[xn+1-1xn-1=22xn-1+1-2xn+1+1],

则有[(xn+1-1)(xn+1+1)=2(xn-1)],即[1xn-1=1xn+1-1-1xn+1+1],亦即[1xn+1-1-1xn-1=1xn+1+1],所以[1xn-1-1=1xn-1-1xn-1-1+1xn-1-1-1xn-2-1+…+1x2-1-1x1-1 = 1xn+1 + 1xn-1+1 + … + 1x2+12n+1],[n≥2]。

假設存在[r∈(0, 1)],使得对任意[n∈N*],都有[xn≤rn-1+1],那么有[2n+12·1rn-1],[n≥2],两边取对数,可得[ln(n+1)>ln 2-(n-1)ln r],即存在[r∈(0, 1)],使得对任意[n∈N*],都有[ln(n+1)-ln 2+(n-1)ln r>0]成立,而[ln(n+1)-ln 2+(n-1)ln r

方法2:(极限特征法)

由[xn≤rn-1+1],可得[xn-1≤rn-1],那么[xn+1-1xn-1≤rnrn-1=r],即[2xn-1-1xn-1≤r],构造函数[f(x)=2x-1-1x-1=22x-1+1],此函数在定义域[12,+∞]上单调递减,所以自变量[x]从2→1的过程中单调递增,由于任意[n∈N*],而[x]无法取到1,则函数[f(x)]无最大值,那么[r]不存在,所以不存在[r∈(0, 1)],使得对任意[n∈N*],都有[xn≤rn-1+1],因此命题[q]为假命题。

方法3:(“蛛网图”法)

由[xn≤rn-1+1],可得[xn-1≤rn-1],那么[xn-1xn-1-1≤rn-1rn-2=r],即需要满足[(xn-1, xn)]与[(1, 1)]两点之间的斜率始终小于一个在[(0, 1)]之间的确切数值[r],如图2所示,随着[n]的增大,此斜率一直在递增,且无限接近于1,故必须满足[r≥1],所以不存在[r∈(0, 1)],使得对任意[n∈N*],都有[xn≤rn-1+1],所以命题[q]为假命题。

点评:根据存在性问题的判定特征,可以借助反证法加以判断,而涉及数列通项的变形与应用,可以利用裂项、累加等数列求和方式来处理,进而结合极限特征等方法来判断。同样,构建等比数列,从“蛛网图”的视角,结合几何意义来判断,借助斜率,数形结合,也可做出直观的判断。

综上可知,命题[p]为真命题,命题[q]为假命题,故选B。

在破解以数列为背景的综合性问题时,往往要充分展示数列的函数特征,通过回归函数的基本性质与基本方法,结合数列的基本特征来分析,从而达到知识与方法的巧妙融合。同时,要抓住函数的模型与相关知识,以及特殊数列模型,运用逻辑推理方法来分析与处理,使得问题指向明确,方便转化。

三、方法应用

解决线性根式型递推数列问题有特征根法和不动点法。而非线性递推数列问题是各种竞赛的难点和考试的热点,这类问题可以借助作差比较法、极限特征法、“蛛网图”法和数学归纳法解决比如下面两题。

1.数列[a0, a1, a2, …]与[b0, b1, b2, …,]定义如下:

[a0=22],[an+1=221-1-a2n],[b0=1],[bn+1=1+b2n-1bn(n=0, 1, 2, …)]。

证明:不等式:[2n+2an<π<2n+2bn]。

2.设数列[an]定义为[a1=1],[an+1=2an+3a2n+1],[n≥1]。

(1)证明:当[n>1]时,[an+1+an-1=4an];

(2)证明:[1a1+1a2+…+1an<1+32]。

(责任编辑 黄桂坚)

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