Jordan不等式在求解导数压轴题中的应用

董立伟

[摘 要]文章研究Jordan不等式在求解含有正弦、余弦形式的函数的导数压轴题中的应用。

[关键词]Jordan不等式;导数;应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2022）14-0016-03

一、Jordan不等式

Jordan不等式有如下兩种常用形式。

形式1：设[0≤x≤π2]，则[2πx≤sinx≤x]。当且仅当[x=0]或[x=π2]时，第一个等号成立;当且仅当[x=0]时，第二个等号成立。

形式2：设[0

Jordan不等式形式1的后半部分以习题的形式出现在普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2A版（人民教育出版社，2007年1月第2版）第32页习题1.3的B组第1题。

在高考题与高考模拟试题中，涌现出不少以正弦、余弦函数与其他初等函数相结合的函数为模型函数的导数压轴题。由于这类函数的导函数形式较复杂，以及正弦、余弦函数具有周期性等特点，使得导数压轴题的求解思路不易找到，而且求解过程通常较为烦琐。借助Jordan不等式，可以帮助我们快速找到问题的突破口，简化解题步骤。

二、Jordan不等式的应用

（一）适度放缩变形，简化关系形式，辅助范围确定

Jordan不等式将[sin x]放缩为有关[x]的正比例函数形式，这使得放缩后的式子形式变得简单，从而更容易求出所得式子的取值范围。

[例1]已知函数[fx=sin x-x cos x-16x3]， [fx]为[fx]的导数。

（1）证明：[fx]在区间[0，π2]上不存在零点;

（2）若[fx>kx-x cos x-16x3-1]对[x∈0，π2]恒成立，求实数[k]的取值范围。

解：（1）[fx=x sin x-12x2]，因为[x∈0，π2]，由Jordan不等式，[fx=x sin x-12x2>2πx2-12x2>0]，所以[fx]在区间[0，π2]上不存在零点;

（2）[fx>kx-x cos x-16x3-1]，即[sin x-kx+1>0]。因为[x>0]，所以[sin x-kx+1>0]对[x∈0，π2]恒成立，等价于[k2π]。又因为[1x>2π]，所以[sin xx+1x>4π]，故[k≤4π]。

因此[k]的取值范围是[-∞，4π]。

[例2]已知函数[fx=x sin x-a ln x]（[a∈R]）的图像在[x=π2]处的切线的斜率为[-1]。

（1）求证：当[x∈0，π2]时， [fx>0];

（2）求证：[32sinπ3+12+43sinπ3+13+…+n+1nsinπ3+1n>π lnn+12]（[n≥2]，[n∈N*]）。

第（1）问的证明：[fx=sin x+x cos x-ax]，由条件可知 [fπ2=-1]，即[1-2aπ=-1]，解得[a=π]，所以 [fx=x sin x-π ln x]。

当[x∈0，π2]时，由Jordan不等式， [fx>2πx2-π ln x]，构造函数[gx=2πx2] [-π ln x]，[x∈0，π2]，则[gx=4πx-πx=4x2-π2πx]。

当[x∈0，π2]时，[gx<0]，所以[gx]在[0，π2]上单调递减。

故[gx>gπ2=π2-πlnπ2>π2-πlne=0]。

因此当[x∈0，π2]时， [fx>0]。证毕。

第（2）问可借助第（1）问所得结论来证明，此处不再赘述。

（二）利用成立条件，巧设分类标准，辅助分类讨论

求解含有[sinx]、[cosx]的导数压轴题，通常需要分类讨论。如何快速准确地确定分类标准是这类问题的一个难点。Jordan不等式自带成立条件（如形式1中[x∈0，π2]，形式2中[x∈0，π2]，这给我们寻找分类标准提供了参考。

[例3]已知函数[fx=ex-cos x-ax]（[a∈R]）。

（1）若[fx]在[0，+∞]上单调递增，求[a]的取值范围;

（2）证明：[?x∈0，+∞]，[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]。

第（1）问的[a]的取值范围是[-∞， 1]。因为其解答较为容易，所以略去解答过程。下面我们主要研究第（2）问。

证明：当[x=0]时，不等式显然成立。

当[x∈0，π2]时，由Jordan不等式，有[sin x0]，所以[sin2x+2sin x-sin x cos x=sin2x+2-cos xsin xx sin x+2x-x cos x]，即[ex>2+sin x-cos x]。构造函数[gx=ex-2-sin x+cos x]，[x∈0，π2]，则[gx=ex-cos x-sin x≥ex-cos x-x]。记[hx=ex-cos x-x]，则[hx=ex+sin x-1>e0+sin0-1=0]，所以[hx]在[0，π2]上单调递增，从而有[hx>h0=0]，故[gx>0]。于是，[gx]在[0，π2]上单调递增，所以[gx>g0=0]，原不等式成立。

当[x∈π2，+∞]时，[xex>π2eπ2>π2e32>4]，[sin2x+2sin x-sin x cos x≤1+2+1=4]，所以[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]成立。

因此，[?x∈0，+∞]，[xex≥sin2x+2sin x-sin x cos x]。证毕。

[例4]（1）研究函数[fx=sin xx]在[0 ， π]上的单调性;

（2）求函数[gx=x2+π cos x]的最小值。

分析：第（1）问明显是以Jordan不等式为背景命制的，解答较为容易，略去其解答过程。下面我们主要研究第（2）问。

解：[gx=2x-π sin x]，由Jordan不等式，当[x∈0 ， π2]时，[sin x>2πx]，即[2x<π sin x]，所以[gx<0]。当[x∈π2，+∞]时，[2x>π]，[-1≤sin x≤1]，所以[2x-π sin x>0]。当[x=π2]时，[gx=0]，所以[gx]在[0， π2]上单调递减，在[π2，+∞]上单调递增。又因为[gx]是偶函数，所以[gx]在[-∞，-π2]上单调递减，在[-π2， 0]上单调递增。

计算得[g0=π]，[g-π2=gπ2=π24]。

因此，当[x=π2]和[x=-π2]时，[gx]取得最小值[π24]。

（三）寻找充分（或必要）条件，规避思维难点，辅助问题解决

当函数解析式中同时含有指数函数、对数函数、三角函数等多种函数形式时，由于函数形式的复杂性，使得很多时候正面求解导数压轴题并不容易。对此，我们可以先寻找原问题的充分（必要）条件，再证明所得条件也恰好是原问题的必要（充分）条件的方法。Jordan不等式可以将[sinx]放大或缩小，为我们寻找这类问题的充分（必要）条件提供了可能。

[例5]已知函数[fx=ax2-1-ln x]，[a∈R]。

（1）讨论[fx]的单调性;

（2）求实数[a]的取值范围，使得[fx>a sinx-1+1x-e1-x]在区间[1，+∞]上恒成立（[e=2.71828…]为自然对数的底数）。

第（1）问较为容易，此处略去其解答。下面我们主要研究第（2）问。

先给出如下引理。

引理：当[x>0]时，[ln x≤x-1]。

证明：构造函数[Nx=ln x-x+1]，则[Nx=1-xx]。由[Nx=0]得[x=1]。当[x∈0， 1]时，[Nx>0];当[x∈1，+∞]时，[Nx<0]。由此可知，[Nx]在[0， 1]上单调递增，在[1，+∞]上单调递减。因此，[Nx≤N1=0]，即[ln x≤x-1]。

第（2）问的解答：[fx>a sinx-1+1x-e1-x]在区间[1，+∞]上恒成立，即[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在区间[1，+∞]上恒成立。特别地，当[x=2]时成立，解得[a>ln 2+12-1e3-sin 1>0]。

由引理，当[x>1]时，[ln x2-x]。由Jordan不等式，[sinx-1a sinx-1+1x-e1-x]在区间[1，+∞]上恒成立的充分条件是[ax2-1-x-1≥ax-1+1x-2+x]在区间[1，+∞]上恒成立。 由[x>1]，化简得[a≥-1x2+2x]可得[a≥1]。

下证[a≥1]是[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在区间[1，+∞]上恒成立的必要条件。

记[gx=ax2-1-ln x-a sinx-1-1x+e1-x]，则[gx=2ax-1x-a cosx-1+1x2-e1-x]。因为[g1=0]，所以若有[ax2-1-ln x>a sinx-1+1x-e1-x]在区间[1，+∞]上恒成立，则有[g1=a-1≥0]，解得[a≥1]。

因此，[a]的取值范围是[1，+∞]。

[例6]已知函数[fx=ax-sin x]，[x∈0，+∞]（[a∈R]）。

（1）若[fx>0]，求[a]的取值范围;

（2）当[a=1]时，证明：[2 fx+cos x>e-x]。

第（1）問的解答： [fx>0]，即[ax-sin x>0]。由Jordan不等式，当[x∈0 ，+∞]时，[sin x0]的一个充分条件是[ax-x≥0]，解得[a≥1]。

下证[a≥1]是[fx>0]的必要条件。

[fx=a-cos x]。因为[f0=0]，所以若有[fx>0]，则有[f0≥0]，即[a-1≥0]，解得[a≥1]。

因此，[a]的取值范围是[1，+∞]。

第（2）问的解答省略。

[例7]已知函数[fx=2sin x-x cos x-x]。 [fx]为[fx]的导数。

（1）证明：[fx]在区间[0 ， π]存在唯一零点;

（2）若[x∈0 ， π]时， [fx≥] [ax]，求[a]的取值范围。

分析：第（1）问较为容易，过程省略。下面我们主要研究第（2）问。

解：当[x=0]时，显然成立。

当[x∈0， π]时，由Jordan不等式， [fx=2sin x-x cos x-x<2x-x cos x-x=x1-cos x]，所以  [fx≥ax]成立的一个必要条件是[x1-cos x>ax]，即[1-cos x>a]。解得[a≤0]。

下证“[a≤0]”是“[x∈0， π]时，[fx≥ax]成立”的一个充分条件。事实上，我们只需证明[a=0]时成立即可。

当[a=0]时，原不等式即[2 sin x-x cos x-x≥0]，[fx=cos x+x sin x-1]，[fx=x cos x]。由[fx=0]解得[x=0]或[x=π2]。当[x∈0， π2]时，[fx≥0];当[x∈π2， π]时，[fx≤0]， [fx]在[0， π2]上单调递增，在[π2， π]上单调递减。

当[x∈0， π2]时， [fx≥f0=0]。当[x∈π2， π]时，因为[fπ2=π2-1>0]， [fπ=-2<0]，所以由函数零点存在性定理，[?x0∈π2， π]，使得[f（x0）=0]。

当[x∈0 ， x0]时，[fx≥0];当[x∈x0 ， π]时，[fx≤0]，所以 [fx]在[0 ， x0]上单调递增，在[x0 ， π]上单调递减，故[fx≥f0=fπ=0]。

因此，[a]的取值范围是[-∞， 0]。

Jordan不等式是求解含有正弦、余弦形式的函数的导数压轴题的一个有力工具。在教学中，教师需要引导学生寻找试题与Jordan不等式的契合点，帮助学生快速形成解题思路。

（责任编辑 黄桂坚）