巧借换元法，妙解代数题

陈建军

换元法即通过引入适当的变量元，将分散的条件联系起来，或者把隐含的条件显示出来，或者把条件与结论联系起来，从而把复杂的计算和推证简化，使问题轻松得解.利用换元法解数学题的关键在于巧妙地选择“新元”，灵活地进行代换.下面就解题中常用的几种换元方法举例说明.

一、均值换元法

均值换元法就是对代数式中存在实质联系的两部分，取它们的算术平均值，将这个算术平均值作为辅助元，由此架设解题“桥梁”，以达到解题的目的 .

例1分解因 式：①（a  + 3）4+（a  + 5） 4-706 ;

②（x  2-9x  +6）（x  2-9x  +10）+4.

分析：上述两道因式分解题都可以采用均值换元法.①取 a  + 3与a  +5的平均值作为辅助元 ，即把（a  + 3+a  +5）=a  +4作为一个整体，消去展开式中的奇次项后，很快就能分解出 因式.②本题可以看作是由x  2-9x 重复出现构成的，因此题干中的 x  2-9x，x  2-9x  +6或 x  2-9x  + 10都能作为辅助元，但相对而言，取 x  2-9x  + 6+x  2-9x  +10的平均值作为辅 助 元，显然要简便得多.

评注：一般地，若题目能转化为x+y=2S 形式时，常常采用均值换元法求解.

二、比值换元法

比值换元法是指在解答某些代数题时，当题目中出现比例式或者经过转化变形可以得出比例式时，可以巧设比例式为辅助元，从而简化运算，顺利解题.

例2

分析：上述两道题中均含有比例式，可以借助比值换元法求值.①直接将比例式设为辅助元即可;②为了与所求目标式x2+y2+z 相呼應，需要对已知条件进行变形，再将新的比例连等式设为辅助元.

解：

评注：若题目中出现比例等式，而按照常规方法解题有困难时，要注意结合代数式的结构特点，从比值换元入手.

三、常值换元法

常值换元法即把题目中某个已知数值用新的辅助元去替代，化已知为未知，变原来的主元为常量，从而使问题实现巧妙转化，得以快速解答.

例3

分析：本题已知等式中含有 两个未 知数，直接求值难度较大.若能转变思路，把其中的常值2设为辅助元k，把问题转化为关于k的一元方程，则可以降低解题难度.

解：

评注：常值换元法体现了“反客为主”的思维策略，可使数字间的特征更加突出，规律更加明显.这样既更容易找到解题途径，又可避免繁冗的数字运算.

总之，常用的换元方法并非只有上述提及的三种，同学们在解题中也不能局限于一种解题方法，要注意发散思维，多方尝试和探索，总结出行之有效的解题方法，并做到灵活迁移应用，从而提升数学解题能力.