元素分析视角下表征数学概念的路径

摘要 数学概念是数学学习的重要内容，可以分解为多个单一元素得以表征。作为表征数学概念的路径设计的一种新视角，元素分析能有效地将数学概念进行有序分解与重组，促进思维的下沉与上浮，从而表征知识核心内涵，突破教学难点疑点，体悟数学思想方法，获得数学概念理解、概念应用和概念转化的意义建构。

关  键  词 小学数学 元素分析 数学表征 数学概念

引用格式 姚建法.元素分析视角下表征数学概念的路径[J].教学与管理，2022（20）：44-46.

概念是逻辑思维的主要形式，既有外显元素样态，又有内在逻辑结构。数学概念有着精简而严谨的结构化组成元素，具有抽象结构与具体操作的两重性。不同的概念有着不同的概念元素表征与结构关联构造，呈现个性化教学路径设计。“知识的理解与学习需要经过还原与下沉、经验与探究、反思与上浮的‘U型过程”[1]，进而逐步表征出清晰明确的概念理解、应用与转化。

元素分析，是指为了减轻理解数学概念的认知负荷，分析数学概念的本质内涵并将其解构为若干概念元素，形成数学信息后同步或异步传输给儿童，展开下沉与反思，再按一定的数学逻辑或准则实施概念元素的重塑与重组，表征出儿童个性化的概念理解样态，展开上浮与输出，并在交互重构中获得完整清晰的概念建构与理性认知的表征过程与表征行为（如图1）。元素分析能有效实现数学概念从整体到部分、再从部分到整体的双向互动与深度跨越。

一、运用元素分析表征概念核心内涵

数学概念具备呈现形式的丰富性以及系统表征的严密性，其核心内涵存在内隐性，需要设计有效的教学路径将其外显可视，以获得深刻体认与深层理解。教师不能脱离概念本质而盲目地追求学习或表征方式的多样性，需要对概念的核心本质进行合理外显以及言语表征，促进概念认知与内涵建构。将数学概念进行元素分析，实施分解与组合，既降低学习负荷，又提高教学效率，为儿童学习知识提供了一种数学眼光：用部分观照整体或从整体推论部分。

例如苏教版《数学》四年级下册“旋转”。旋转三元素分别是旋转点（中心）、旋转方向和旋转角度。作为图形运动中的一个重要内容，需要儿童更加具备“运动视角”，发展空间观念。教材例2（如图2）的第一组问题应用动作表征和图像表征，揭示旋转的三个元素中的两个：旋转点和旋转方向。第二组问题应用图像表征与符号表征揭示出顺时针90度和逆时针90度，得到第三个旋转元素——角度（虽然一定程度上角度从属于方向，是对方向的进一步精确和细化，但为了研究的方便，往往把它剥离为一个独立的单位元素）。豆荚老师的两个问题引领儿童将旋转三元素有机整合在一起，实现元素重组，应用完整的专业化数学语言表征出旋转现象，丰润旋转概念内涵本质的体验与理解。

二、运用元素分析突破例题难点疑点

具体概念依靠的是感知经验表征，而抽象概念则依靠抽象的符号表征[2]。任何数学概念都会因数学化而抽象，基于儿童的年龄特征与认知规律，总是或多或少地存在着认知困难和理解疑难。值得注意的是，教材例题是具有相应认知结构背景下的“好例子”，需要从其内涵本质上进行深入思考，挖掘并设计内化路径，积累教与学的经验，而不是随意改编或更换教材例题。于是，如何分析概念的元素组成，精心设计教学活动，从而突破重难点、厘清疑点就成为教学路径选择的应然考量。

例如苏教版《数学》五年级上册“平行四边形的面积”例2（如图3），教材设计了有向开放的问题：你能把右边的平行四边形转化成长方形吗？教学时需要突出转化三元素：转化对象、转化目标（转化方向）和转化方法。转化对象（平行四边形）和转化方向（长方形）十分具体而明确，转化方法却是丰富而开放。显然，儿童根据自身学习经验容易得到不同的转化方法：沿不同的高剪。但在聚类分析时“为什么都是沿高剪”却成为儿童思维的难点与疑点。事实上，如果溯源于转化方向——长方形角的特征元素，即“长方形四个角都是直角”，那么就清晰了要寻找或“制造”直角才能将平行四边形转化成长方形的思维方向与路径，而垂直能够产生直角，于是通常选择作高。

三、运用元素分析体悟数学思想方法

概念的结构分解始于分步认知、分层推进，归于元素重构，从而达成概念的深度理解。在数学概念的形成与学习进程中，渗透并彰显着不同的数学思想与方法，常见的数学思想有分类、转化、函数、抽象、推理、建模等，教师应让数学思想方法通过元素分析的方式扎根、实施，进而提升学生的数学思维。

1.分类思想的路径设计

分类是将数学研究对象按一定标准分为不同种类，从而抽象出数学的本质属性，它以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。比如，苏教版《数学》二年级上册“认识乘法”导入部分先口算①1+4+2、②5+5+5、③7+7+7+7、④8+2+3、⑤6+6+6，然后开展分类活动，得到两种分类标准与分类结果：第一种依据加数是否相同分为：②③⑤和①④，第二种依据加数个数分为：①②④⑤和③。“相同加数”与“相同加数的个数”是乘法意义的两大元素，于是学生对乘法即相同加数的累加得到渗透性的理解。儿童在分类过程中“求同”与“存异”，透过教材例题的多元表征分析抽象出乘法概念的本质，并通过言语表达整体触摸与内化乘法的意义，促成意义建构。“数学学科的高度抽象性与应用的广泛性规定了数学知识结构发展的过程，就是不断地求同（聚合）—求异（发散）—求同（聚合）的过程。……同数学知识結构建立和发展的进程一样，思维只有在求同与存异的矛盾运动之中，才能得到发展与提高。”[3]

2.转化思想的路径设计

布鲁姆在《教育目标分类学》中指出数学转化思想是把问题元素从一种形式向另一种形式转化的能力。转化既是一种解决问题的策略，也是一种数学思想。在转化对象与转化方向之间存在联系，为转化方法的路径寻求方向。仍以“旋转”为例。教材例2应用旋转三元素规范表征旋转之后，例3设计了三角形纸的操作活动，通过动作表征积累感性经验（如图4），然后再在方格纸上画出旋转图形（如图5）。

事实上，三角形纸旋转的动作表征只是直观体认，不代表一定能成功画制，仍需要加入旋转三元素，并用完整的数学言语一边表征旋转路径、一边逐步绘图，从而将平面图形（如三角形）的旋转，转译并回归线段（如转杆）的旋转，即重塑为先将三角形的两条边分别进行一维旋转、再连接两条边的顶点得到旋转后的三角形。在画出旋转图形的过程中，转化对象是三角形，转化方向是线段，转化方法是“维度转换”。点可以看作零维，线、面、体分别属于一维、二维、三维。概念应用时在这个维度上不能解决或一时难以解决的数学问题，在另一个维度上却很容易被解答。因此，维度之间可以相互转换，要么升维、要么降维，从而使复杂问题变得简单，既深度理解并习得概念，又获得思想方法上的深刻体悟。

3.函数思想的路径设计

函数思想的本质在于建立和研究变量之间的对应关系，主要元素便是自变量和因变量。函数到中学才具体揭示形式化概念，但在小学阶段却有着丰富的渗透。比如苏教版《数学》一年级上册“分与合”中例1的数学模型是“a+b=4”（如图6），可分三个层次组织教学：第一层次得出“1和3”“2和2”“3和1”三种方案，训练多元思维和有序思维;第二层次概括出“4可以分成几和几”或“几和几合成4”的数学模型，渗透抽象思维和模型思想;第三层次观察思考“什么不变？什么原因又导致什么变了”，得出“一共4个桃不变，第一盘的桃变（多）了，第二盘的桃变（少）了”。儿童体验到自变量与因变量的联系与变化，以及变与不变的辩证唯物主义观点。这其实就是一种函数思想，也是数学哲学的一次生根过程。应用元素打包原则，还可以将后续的四则运算规律归结为“什么不变，什么变了（自变量），什么跟着怎么变（因变量）”，从而不断规范数学言语表达，丰富和发展逻辑推理过程，体会把握规律的重要性，浸润函数思想。

可见，面对不同的数学概念，把握概念的本质元素，实施元素分析，调用不同的数学表征，设计认知路径，在有向聚力中交流互鉴，能够清晰地展开概念的程序性表达与结构性认知，促进概念理解、应用与转化，服务于儿童的数学学习。

參考文献

[1] 郭元祥.增强课堂的画面感——谈课程改革的深化（5）[J].新教师，2016（05）：13-15.

[2] 殷融，叶浩生.多元表征假设：概念表征机制的新观点[J].心理科学，2014，37（02）：483-489.

[3] 张乃达.数学思维教育学[M].南京，江苏教育出版社，1990.

*该文为江苏省教育科学“十三五”规划重点资助课题“苏教版小学数学教材例题中多元表征的教学研究”（B-a/2020/02/06）、江苏省教育科学“十三五”规划立项课题“小学生数学逻辑推理能力培养的实践研究”（D/2020/02/08）的研究成果