添加“数学符号” 架设思维桥梁

葛水忠

一、学生数学学习现状分析

部分学生在数学学习过程中常常做错题，可能是他们的观察、记忆、思维等能力偏弱导致。比如：（1）记忆能力偏弱。部分学生记忆能力较差，特别是短时记忆保持的时间较短，严重影响正常思维的发散。（2）思维出现断层。由于部分学生对知识理解片面、受思维定式影响严重、思维呆板，在解决问题过程中出现知识衔接障碍。学生概念模糊，分析问题不全面，受思维定式影响，往往接收不到正确的信息，导致推理失败。针对以上存在的问题，添加“数学符号”既能及时弥补学生遗忘的“支架”，又能预防学生出现思维断层，从而提高学生理解和获取信息的能力，帮助学生思考问题、解决问题。

二、小学数学教学添加的“数学符号”

本文的“数学符号”是指针对某一具体数学问题，由学生或师生共同创作，使用的数字、字母、运算符号、关系符号以及字数较少的其他文字、图形、表格等数学元素、数学信息，不是常规意义上的数学符号，而是比常规数学符号的范围更广。由于部分学生短时记忆保持的时间较短，思维常常被打断而出错。思维可视理论认为可以将原先看不见、摸不着的思维借助某种形式全部或部分呈现出来，弥补了短时记忆保持时间短的缺陷。思维具有非常丰富的内涵，它包括个体思考的维度、思考过程等丰富的心理活动，需要依托图示、图示组合、语言等形式展现出来。根据思维可视理论，可以将知识从“抽象”变成“具体”，从“难以理解”变成“易于表达”，从“隐性”走向“显性”，使获取的知识融会贯通。添加“数学符号”好像给思维建立了一个个桥墩，便于学生架起思维的桥梁，使学生的思维朝着正确的方向顺利地解决问题。

三、“数学符号”的顶层设计

（一） 创设添加“数学符号”的双路径模式

1.“数学符号”的纵向模式

思维可视理论认为：学习者是主动在脑中建立图式，并能依据新信息不断地修改与完善;图式的建构依赖于主体的经验和认知加工的过程。添加“数学符号”的运用与完善过程大致是大脑（思维）—手（写画符号）—眼（看符号）—大脑（思维）的循环过程，即用符号思考——运用脑、眼、手和符号之间的互动。

2.“数学符号”的横向模式

要使学生较好地添加“数学符号”，将数学思维真正内化成自己的解题策略，随时随地能应用，教师应当深入挖掘添加“数学符号”建构的路径，帮助学生形成完整的建构体系。笔者认为可以通过以下几方面进行添加“数学符号”的建构。

（1）学生学会模仿教师添加“数学符号”的示范，提取同类型题的数学信息，再基于自己的理解将获取的信息添加“数学符号”。（2）教师与学生合作添加“数学符号”，针对教学难点，教师引导学生并共同商量确定，添加合适的“数学符号”。（3）学生自主添加合适的“数学符号”。学生已经经历很多给题目添加“数学符号”的过程，已经具备添加“数学符号”的能力，也可以创造有个性的“数学符号”。

（二）添加“数学符号”的内容

通过整理，笔者发现添加“数学符号”提高解决问题的能力的范围很广。从教学内容上来说，添加“数学符号”不仅可以增进学生对“数与代数”及“几何与图形”等内容的理解，还能增强对“综合实践”等内容的理解。从类型来看，添加“数学符号”不仅可以促进学生理解数学概念，还能促进学生理解数学问题，从而更好地解决问题。

（三）“数学符号”的类型

以学生添加“数学符号”的功能为划分标准，笔者将添加“数学符号”分为以下三类： 解析型“数学符号”、提示型“数学符号”、桥墩型“数学符号”。

1.解析型“数学符号”

解析型“数学符号”主要应用于对数学问题的条件与问题的分解与解读。学生解题难，有时候就难在无法正确辨析句子的要求，阅读审题能力欠缺。解析型符号的存在能帮助学生将隐性的条件信息“显性”化，从而降低了解题难度。

比多比少问题是学生常见的基础性问题，但是很多学生解题时头脑中并不清楚究竟谁多、谁少，对题意的理解模糊导致解题错误。上图用〇和汉字“大”“小”的标注法，让学生明确题目中谁是较大数，谁是较小数，这样就容易列出正确的算式。

2.提示型“数学符号”

提示型“数学符号”，针对易错点，让学生明确解题思路，提醒学生使用正确的方法解决问题。有时候学生解决问题前在大脑中要先想起一些公式、计算方法、计算目的等，这样才可以正确地解决问题。部分学生只是凭一些零碎的经验就列式解答，往往容易出错。提示型符号能帮助学生回忆公式、计算方法、计算目的，把隐性的要点“显性”化，使学生熟记这些数学要点，理清解题思路，扫清解题障碍。

3.桥墩型“数学符号”

桥墩型“数学符号”，主要是为了避免学生在思考较复杂的问题时因短时记忆保持较短而容易出错，而添加的中间结果或其他符号。有些問题需要学生把每一步思考过程都在脑子里完成，部分学生短时记忆能力较差，在解决问题时顾此失彼，思路常常被打断。他们在思考下一步时忘记了上一步的结果，如果学生能在适当的位置把这个中间的结果记下来，可以使学生减少错误。添加“数学符号”能使思考过程显性化，学生看到添加的“数学符号”，能从这些“数学符号”出发再次开始思考、推理与操作，这样可以大大减少出错的可能。

例如，约分344÷4时，学生容易忘记了34÷4的余数“2”。学生可以在十位4下面添加余数“2”，方便学生把2与个位上的4合成24，再除以4。这个“2”就是我们所说的“桥墩”，它连接了34÷4商8余2和24÷4=6，使学生的思路得到畅通。

四、添加“数学符号”的教学实施策略

策略一：要针对易错点添加“数学符号”

不要为了添加“数学符号”而添加，添加“数学符号”应该是有目的、有效果的，或是为了解析问题，或为了预防学生出现思维断层而提示学生，或为思维增设必要的“桥墩”。学生在解决不容易出错的问题时就不需要添加“数学符号”。遇到易错点，教师和学生要想方设法添加合适的“数学符号”。添加的“数学符号”应当对减少错误、突破难点起到有效的作用。

策略二：添加“数学符号”要醒目，要能及时提示学生思考

添加的“数学符号”不能过小，使学生比较容易找到需要的信息，及时提示学生，方便学生继续思考。我校D老师教的是二年级两个班的数学课。其中202班（对照班）学生用教材上的方法计算多位数退位减法，201班学生用添加新的“数学符号”的方法计算。教材上的方法是：不够减时，让学生在前一位被减数上写一个点，表示退一。这是传统添加的“数学符号”，但是添加的“数学符号”不够明显，学生容易遗忘。添加新的“数学符号”是这样的：不够减时，让学生划掉前一位的被减数，并把前一位被减数减一的差写在前一位上面，接着划掉本数位的被减数，并把十加本数位被减数的和写在本数位上面，然后开始分别相减。

照教材上学生添加的“数学符号”只是一个小小的点，学生容易遗漏，而新方法中学生添加的“数学符号”是划掉了原来的数字，学生不会再用原来的数字去减，从而避免了错误。

策略三：添加“数学符号”要简单易写

在添加“数学符号”时，要允许学生写得少一些，让学生乐于添加“数学符号”，以便学生养成添加“数学符号”的良好习惯。

解答多步计算数学问题时，让学生在每一个算式前添加该算式要计算的名称或方法。一些聪明的学生往往明白在解决问题时自己每一步解决的是什么，而有些学生往往是通过问题中的个别信息来回答。添加了这些名称或方法，使学生的思维有条有理，明确接下来要计算什么，为学生的思维提供正确的方向。在添加名称或方法时不必要求添加的内容全面。在添加时，允许只写一个字，如右题：先求长与宽的总数就写“总：”或者“长+宽：”，再求长方形的长，就写“长：”，然后求长方形的宽，就写“宽：”，最后求长方形的面积，就写“面积：”。

添加的“数学符号”多与少，这个需要根据每个学生的学习能力来确定。学习能力强的可以少写甚至不写，学习能力弱的要多写，鼓励他们把更多的思考过程写下来。

策略四：及时拆解支架

良好的学习习惯需要长时间的培养，要养成学生添加“数学符号”的良好习惯，最好是在教学新内容时，一开始就要求学生添加“数学符号”。因为起初不添加“数学符号”，等到学生习惯了，他们就不主动、也不习惯添加了。比如圆柱和圆锥体积相等，底面积也相等的时候，通过回忆推导圆锥体积公式的实验，画出圆锥压扁后的圆柱图，使学生明白等底等积时圆柱高是圆锥高的1/3。并要求每次练习同类题目都画上圆锥压扁图，使之变成习惯，使学生不断加深圆柱和圆锥的关系而且及时提醒学生圆柱与圆锥的高之间的关系。

但是等到学生能比较熟练地分析问题、解决问题以后，就不必要求学生添加“数学符号”，而且教师要有意识地逐渐拆解思维的支架，培养学生的记忆能力和思维能力。学生一旦熟练数学问题以后，也懒得写“数学符号”，教师就不必要求学生一定添加，如果教师硬性要求，学生往往有逆反心理，这样就得不偿失了。一部分学生很熟练，还有一部分学生不熟练，可以让熟练的学生不添加“数学符号”，而让不熟练的学生继续添加。有些学生往往非常依赖添加的“數学符号”，一下子不添加了，错误又增加了。教师可以先让这些学生少写些“数学符号”，逐渐过渡到全部不写。