一场微信群里的大讨论

陈慧华

星期六晚上，我正在看电视，这时我班微信群里有几名学生对一道数学题展开了激烈的讨论. “导火索”是小A（昵称“好事者”）的爸爸给他买的课外书《智慧大比拼》中的一道题：已知直角三角形的面积为24 cm2，两条直角边的和为14 cm，求该直角三角形的斜边长.

好事者：要求斜边长，应根据勾股定理求两条直角边的长. 设其中一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（14 - x）cm，根据“直角三角形的面积为24 cm2”，列方程得[12]x（14 - x） = 24，整理得x2 - 14x + 48 = 0. 这是关于x的一元二次方程，目前我们还没有学到一元二次方程的解法，我实在计算不下去了，只好来微信群里求助.

小机灵：把[12]x（14 - x） = 24变形为x（14 - x） = 48，这样只要找到两个数，使这两个数的和为14，积为48，就可以求出x. 由于6 × 8 = 48，且6 + 8 = 14，这样可以求出两条直角边的长分别为6和8，由勾股定理不难求出斜边长为[62+ 82] = [102] = 10 （cm）.

闪电：小机灵的解法有“瞎猫撞上死耗子”的嫌疑. 我找符合“和为14，积为48”的两数时，发现和为14的两数比较多，积为48的两数也比较多，怎么就想到6和8这两个数呢？这种解法有“拼凑”的嫌疑，不科学.

勇哥：有一种均值设元法，即如果两数m，n满足m + n = p，那么可设m = [p2] + t，n = [p2] - t，我们称这种设未知数的方法为均值设元法. 利用这种方法，根据“两条直角边的和为14 cm”，设其中一条直角边长为（7 + t）cm，另一条直角边长为（7 - t）cm，其中t > 0，再根据“直角三角形的面积为24 cm2”列方程得[12]（7 + t）（7 - t） = 24，即72 - t2 = 48，则t2 = 1. 由t > 0，可知t = 1，所以两条直角边长分别为8 cm和6 cm，由勾股定理不难求出斜边之长为10 cm.

谦虚：其实，我们没有必要把两条直角边的长度求出来. 解题目标是求出斜边长，我们只要能求出x2 + （14 - x） 2的值就可以了. 由[12]x（14 - x） = 24，可得x2 - 14x = - 48.由于x2 + （14 - x） 2 = x2 + 196 - 28x + x2 = 2x2 - 28x + 196 = 2（x2 - 14x） + 196 = 2 × （ - 48） + 196 =  - 96 + 196 = 100. 于是斜边长为10 cm.

沉默：如果设两个未知数，是不是更方便呢？

稳健：设两条直角边长分别为a cm和b cm，根据题意，得a + b = 14，[12]ab = 24. 只要根据这两个式子求出a2 + b2的值就行了. 由两数和的完全平方公式得（a + b）2 = a2 + b2 + 2ab，由[12]ab = 24得ab = 48，则142 = a2 + b2 + 2 × 48，即a2 + b2 = 100，从而斜边长为10 cm.

羡慕：这种方法在列出两个关系式后，只要运用完全平方公式就能很快求出直角三角形的斜边长，真是一种简捷的方法.

沉默 ：这道题既然出自《智慧大比拼》，我们能不能用拼的方法求解呢？

数学王子：利用拼图法证明勾股定理时，有两个比较典型的图形（如图1、图2）. 根据图1将四个全等的直角三角形拼成弦图，如图3所示，这是一个边长为14 cm的正方形，四个直角三角形的面积都为24 cm2，正中间是一个小正方形，这个小正方形的边长正好为所求直角三角形的斜邊长. 由于S小正方形 = S大正方形 - 4S直角三角形 = 142 - 4 × 24 = 100（cm2），所以斜边长为10 cm.

讨论过程中不时有同学发出感叹：“哇，这种方法好简单啊！”话不说不透，理不辩不明. 通过激烈地讨论和踊跃地发言，同学们对这类问题的解法有了深刻的认识. 我早已按了电视遥控器上的暂停键，默默地享受着班级微信群里的智慧盛宴.

（作者单位：广西壮族自治区钦州市外国语学校）