半偏法测电表内阻的“根”“本”“关键”

摘 要：半偏法测电阻的方法，涉及到欧姆定律、串并联电路的特点及系统误差分析，此法操作简单，而误差分析是此法之关键.按常规，若误差允许的范围是4%，由相对误差的定义δ=|R测-R真R真|×100%（根据本实验的原理，R测=R2，R真=R21-R2/（R1+r），电路图如图1所示）可知，若仅考虑因R2的并入造成的系统误差，按半偏法得出R测=R2的条件是R1+r>24R2.半偏法测电表内阻是欧姆定律、串并联电路基本特点及系统误差分析在电路实验中的具体体现.其中，欧姆定律是本实验之“根”， 串并联电路分压分流原理是本实验之“本” ，系统误差的主要来源是本实验之“关键”.只有抓住“根”和“本”，才能理解本实验的原理，只有抓住“关键”所在，才能确保实验成功.此法操作简单，精度较高，但是必须知其然更要知其所以然，才能有效应考.

关键词：半偏法;欧姆定律是根;串并联是本;系统误差是关键

中图分类号：G632 文献标识码：A 文章编号：1008-0333（2022）22-0116-03

教辅资料《走进云南师大附中》高三月考试题精选汇编的主编是云南师范大学附属中学物理教研组，此书第92页第9题和第10题分别是2020届第8次月考理综23题和2020届第9次月考理综23题，考的都是半偏法测电流表的内阻，连续两次月考都没有突破原理，只是机械地考查步骤，得出结果，全然不顾结论成立的条件.也许命题老师并未吃透本实验之关键，偏离了新课标要求的“核心素养”，不利于培养学生尊重科学、善于思考的优秀品质，故以此文，提醒广大师生，注意此实验的“根”“本”“关键”所在.

1 电流半偏法测电流表内阻原题再现：《走进云南师大附中》高三月考试题精选汇编（2020届第8次月考理综23题）：有一个电流表，它的满偏电流为Ig=1mA，如果要将它改装成3A量程的大量程电流表.

（1）先用图1所示电路测量此电流表的内阻，操作如下，请你将空缺内容补充完整.（①②填写电路图上对应的电学元件的字母符号）

①将R1调至最大，闭合开关S1，断开开关S2，调节R1，使电流表的指针偏转到最大量程处;

②闭合S2，调节R2，使电流表指针半偏;

③读出电阻箱R2的阻值为600Ω.

（2）应将阻值为R=Ω的电阻与该电流表并联.就能将此电流表改装成量程为3A的电流表，（结果取一位有效数字）

显然，命题老师的问题（1）的命题意图是想考查“半偏法测电流表内阻”这一方法，却忽视了该方法可行的条件：并联R2前后，干路电流几乎不变，即是（R1+r）Rg.由于未给出电源电动势，若认为Rg=R2，显然是不可靠的.比如：若电源用的是一节干电池，则电流表满偏时的回路总电阻为R=EIg=1500Ω，若认为Rg=600Ω，则R1+r=900Ω，值只是Rg的1.5倍，并非是远大于Rg，故这里的半偏法也就失去了前提条件，只能利用欧姆定律通过计算求得Rg.由E=Ir（Rg+R1+r）与E=

12IgRg+（12Ig+12IgRgR2）（R1+r），可得

Rg=R2（R1+r）（R1+r）-R2，若电源用的是一节干电池，则电流表满偏时R1+r+Rg=EIg=1500Ω，若电流表半偏时R2=600Ω，利用Rg=R2（R1+r）R1+r）-R2可知：Rg无解！由Rg=R2（R1+r）R1+r）-R2及R1+r+Rg=1500Ω可知，要Rg有解，R2应小于375Ω！由Rg=R2（R1+r）R1+r）-R2=R21-R2R1+r可知，只有当R1+rR2时，Rg才近似等于R2.

那么，如何界定“远大于”的条件呢？这得根据实验允许存在的精度要求来界定.按常规，若误差允许的范围是4%，由相对误差的定义δ=|R测-R真R真|×100%

（根据本实验的原理，R测=R2，R真=R21-R2/（R1+r））可知，若仅考虑因R2的并入造成的系统误差，按半偏法得出R测=R2的条件是R1+r>24R2.

其实，只要把握好串并联电路的基本特征和欧姆定律，就不会忽视半偏法的前提条件，还能根据本实验的原理来减小误差，也可以利用半偏法的“根”“本”“关键”，对实验器材的选择上做一些改进，以提高测量的精度.比如：下面两种电路，都能消除因RB的并入所造成的系统误差.

图2中当支路电流表的示数是干路电流表示数的一半时就有Rg=RB.

图3中当与RB串联的电流表示数与另一个电流表示数相等时就有Rg=RB， 所以抓“根”抓“本”抓“关键”，是正确选择实验器材的保证，万变不离其宗，各种测量方法都必须先抓“根”“本”，才能抓住“关键”：系统误差，以达到最佳的实验效果.

2 电压半偏法测电压表内阻

“半偏法测电压表内阻”的电路图如图4所示， 操作步骤：

（1）按图连线;

（2）将R1的滑动触头滑到最左端，电阻箱R2的阻值调到0，闭合开S1;

（3）缓慢移动R1的滑片，直到电压表的指针指到满刻度处;

（4）调节电阻箱R2，直到电压表指针指到半刻度处;

（5）若RVR1左，则可以认为RV=R2.

那么，如何判断RVR1左呢？

滑动变阻器的阻值是不可知的，“远大于”该如何认定呢？其实，只需利用电源电动势及电压表的量程，以及滑动变阻器的总电阻（铭牌上有标注），即可估算电压表满偏时的R左 ，再根据电压表半偏时电阻箱的读数R2，即可估算出R2与R左的倍数关系，根据误差允许的范围，就可断定此法是否可行.现举例如下：

设所要测的电压表量程为0.3V，所用电源为内阻不计电动势为6V的电源，滑动变阻器R1的总阻值为100Ω，电压表可视为理想的电压表，则当其满偏时，与之并联部分的滑动变阻器R1的阻值为50Ω;若电阻箱阻值调到3000Ω时，电压表半偏，则R左为R2的1.7%，若测量误差允许的范围是4%以内，则可认为此法可行，及RV=R2=3000Ω. 这是粗略的估算方法，可能还是会有学生不能理解，毕竟电压表内阻并非无穷大，但我们只需回到并联电路的基本特征，写出并联电阻的表达式就能明白.令电阻R1和R2并联且R2>R1，则并联后的等效电阻为R并=R1·R2R1+R2=R11+R1R2 ，若误差在4%以内可用R1近似替代R并（也就是把R2视为断路），根据相对误差的定义，由δ=R1-R并R并×100%<4%可知R2应大于25R1， 若误差要求控制在1%以内可用R1近似替代R并，则R2应大于100R1 .也就是说，R2是否远大于R1，取决于实验本身对精度的要求.

本实验中，若电压表串联了R2后，当电压表半偏时R2连入电路中的值是滑动变阻器滑片左侧电阻R左的25倍以上，即可认为系统误差小于4%，若这一误差是本实验允许的误差范围，则RV测=R2.然而，根据串联电路分压原理，R2串入电路时使滑动变阻器左侧电阻两端电压增大，即电压表半偏时，R2两端的电压就大于了12U满

，这就意味着，RV测=R2>RV真，即测量结果偏大了.

本实验要严格算出相对误差比较繁琐，但只要让学生明白，两个电阻并联，如果大电阻是小电阻的25倍以上，相对误差就在4%以内，大电阻即可视为断路，则本实验半偏法的原理也就突破了.

若希望消除串入R2后造成的系统误差，可对实验做如下改进：

图5、图6两图中，电压表V1、V2完全相同，则当U1=2U2时（须同时调节R1、R2使V1满偏、V2半偏），则RV=R2.

那么，改进后的实验方法是否就完全消除了本实验的系统误差呢？当然没有，该方案只是消除了原方案中因R2的串入引起了并联部分的电压升高造成的系统误差，而电压表和电阻箱的精度也会造成系统误差.事实上，我们在调节过程中也是不能绝对达到U1=2U2的，实验的难度会比原方案大一些.实际上，原方案“半偏法测电压表内阻”的实验，若R2是R左的100倍以上（相对误差小于1%），可能电压表的精度已经测不出因R2的串入造成的系统误差了，这种方案测得的电压表内阻的精度已经较高了，而且操作也比较简单.明确了“R2远大于R1”的含义后，对这种测量方法的原理、误差分析及改进方案也就清晰明了了.

參考文献：

[1]关磊.走进云南师大附中·高三月考试题精选汇编[M].昆明：云南科学出版社，2021（01）：92.

[2] 张雄.物理实验设计与研究[M].昆明：云南科学出版社，2020（09）：21-24.

[3] 张汀淼.高中物理电路知识的解题思路与学习方法分析[J].文理导航，2017（32）：46.

[责任编辑：李 璟]

收稿日期：2022-05-05

作者简介：陈必兴（1978.3-），男，云南省昭通人，本科，中学高级教师，从事高中物理教学研究.