解答绝对值不等式问题的四个“妙招”

吴笋

绝对值不等式问题的常见命题形式有：（1）解绝对值不等式;（2）求含有绝对值代数式的取值范围.其中解绝对值不等式问题比较常见，解这类题目的关键是去掉绝对值符号，将绝对值不等式转化为不含绝对值的常规不等式去求解.本文介绍解绝对值不等式问题的四个“妙招”，以供大家参考.

一、分类讨论

一般地，若 x 为非负数，则 |x| = x;若 x 为负数，则|x| = -x. 由于绝对值内部式子的符号决定去掉绝对值符号后式子的表示形式，所以在解绝对值不等式时，往往要采用分类讨论法，对绝对值内部式子的符号进行讨论.可令每个绝对值内部的式子为零，然后将其零点标在数轴上，于是这些零点把数轴分成若干个区间，再在各个区间上对绝对值内部式子的符号进行讨论，去掉绝对值符号，便可通过解不等式求得问题的答案.

例1.

求出各个绝对值内部式子的零点后，将实数集划分为几个区间，可直接运用分类讨论法在每个区间上讨论绝对值内部式子的符号，便可根据绝对值的性质去掉绝对值符号，最后综合三种情况即可.

二、采用平方法

利用绝对值的性质 |a|2 = a2，也可以去掉绝对值符号.当确定不等式两边的式子都是非负的时，可根据绝对值的性质，将不等式平方，这也不失为一种切实可行的好方法.但该方法并非完美，它的缺点是平方后的式子比较冗长繁杂，此外求得的解还有可能是增根.

例2.

上述两种解法中都用到了平方法.相比较而言，解法2比解法1更简洁.一般地，若 0 < n < m，则 n < |ax2 +bx + c| < m 等价于 n < ax2 + bx + c < m 或-m < ax2 + bx + c< -n .值得注意的是，采用平方法去绝对值符号，必须先看不等式两边的式子是否同号，若不同号，需进行分类讨论，否则有可能出现增根.

三、利用等价转化法

所谓等价转化法，是指利用绝对值的性质进行等价转化，从而去绝对值符号.通常可将（1）|f （x）| ≥ g（x）等价转化为f （x） ≥ g（x）或f （x） ≤ -g（x）;（2）将|f （x）| ≤ g（x） 等价转化为 - g（x） ≤ f （x） ≤ g（x） .

例3.

四、数形结合

数形结合法是解数学题的重要方法之一.在解絕对值不等式问题时，可根据绝对值的几何意义，画出图形;还可将绝对值内部的式子看作函数，画出其函数图象，通过分析图形中x的取值，利用数形结合法求得问题的答案.

例4.

当一个不等式中含有两个绝对值时，一般会先想到采用分类讨论法，但如果我们换一个角度去思考，根据绝对值的几何意义可知 | x + 2| + | x - 1| < 4 表示到定点 A（-2） 和 B（1） 的距离之和小于4的点的集合，只需找A点左侧和B点右侧的点，即可找到满足不等式的点的集合，这样就避免了繁琐的分类讨论.一般地，形如 | x - a| + | x - b| < c 的不等式，表示数轴上的点 x 到a，b 点的距离之和小于c;形如 | x - a| - | x - b| > c 的不等式，表示数轴上的点 x 到 a，b 点距离之差大于c，该方法常用于解选择题、填空题.

解法 2：

该解法是从函数的观点来进行分析，在同一坐标系中分别作出函数 y1 = | x + 2| + | x - 1| 和函数 y2 = 4 的图象，通过观察两个图象间的关系，就可达到解题的目的.

解法1的重点在于研究绝对值的几何意义，这不失为一种便捷的好方法;对于解法2，需正确画出两个函数的图象，并准确写出它们交点的坐标，才能使问题顺利获解.运用数形结合法解绝对值不等式，需将代数式转化为几何图形，合理进行数形转化.

绝对值不等式，是新课标选修4系列中《不等式选讲》中的重要部分，也是新课标高考的必考内容，虽然在初中的教材中出现过，但同学们没有深入研究.而在高中教材中，它是在学完了其它内容后要学习的内容，所以我们应该利用所学的高中数学知识，灵活运用数学思想去研究绝对值，去掉绝对值符号.掌握上述四个“妙招”，我们就能灵活应对绝对值不等式问题了.

（作者单位：江苏省常州市金坛第一中学）