怎样求解圆锥曲线中的“韦达定理非对称”问题

杨小强

在解答直线和圆锥曲线问题时，我们往往要采用代数法，将直线的方程与圆锥曲线的方程联立起来，再消去x或y，得到一个关于x或y的一元二次方程.不妨设方程 ax2 + bx + c = 0 的两根为 x1 和 x2 ，由韦达定理 可 得 x1 + x2 = - ba 、x1x2 = ca ，即 可 得 x12 + x22 、| x | 1 - x2 、1x1+ 1x2等的值.但在某些问题中，可能会出现两 根 不 是 轮 换 对 称 的 式 子 ，如 x1 = tx2（t≠1），λx1 + μx2（λ ≠ μ） 等，像这种结构的式子，我们称之为非对称韦达式，此时利用韦达定理无法直接求得问题的答案.那么如何求解这类“韦达定理非对称”的问题呢？下面结合实例进行探讨.

类型一：形如 x1 = tx2 （t ≠ 1） 的非对称韦达式

当遇到形如 x1 = tx2（t≠1）的非对称韦达式时，需先将该式变形，推出 （x1 + x2）2 = （t + 1）x22，x1x2 = tx22 ，可得 （x1 + x2）2x1x2= t + 1t ，即通过配凑、变形，构造出关于x1 + x2、x1x2 的式子，再根据韦达定理，通过整体替换，建立关于 t 的方程，从而求得答案.

例 1. 已 知 椭 圆 C1 和 抛 物 线 C2 有 公 共 焦 点F（1 ， 0） ，C1 的中心和 C2 的顶点均是坐标原点，过点M（4 ， 0） 的直线 l 与抛物线 C2 分别相交于A，B两点.

解答第二个问题，需将直线 l 与抛物线 C2 的方程联立，根据韦达定理得到 y1 + y2 、y1y2 ，然后通过配凑得到有关 y1 + y2 、y1y2 的式子，最后通过恒等变换消去 y1、y2 ，得到只含有k的式子，通过解方程求得k的值，即可解题.

类型二：形如 λx1x2 + μx2（λ ≠ μ） 的非对称韦达式

当题中出现形如 λx1x2 + μx2（λ ≠ μ） 的非对称韦达式，直接运用韦达定理肯定是行不通的，此时我们可以利用韦达定理，将一个根用另外一个根表示出来，再代入目标式中，通过整体约分来求得问题的答案.

在解题中，同学们要学会识别非对称韦达式，将其与一元二次方程、韦达定理关联起来，进行适当的配凑或变形，再根据韦達定理进行计算或整体约分，从而使问题得解.在日常解题的过程中，同学们要学会总结解题方法，归纳通性通法，从而真正地提升解题的能力.

（作者单位：江苏省如东县马塘中学）