构建空间向量，转换求解立体几何问题的思路

肖雄伟

对于一些较为复杂的立体几何问题，尤其是与动点有关的立体几何问题，采用常规的方法很难使问题获解，此时需转换解题的思路，构造空间向量，利用向量法来求解.那么如何运用向量法来解答立体几何问题呢？下面结合具体的例题来探讨运用向量法求解立体几何中的四种问题的思路.

一、角度问题

立体几何中的角度问题，通常是指异面直线所成的角、二面角、直线与平面所成的角问题.解答此类问题，需先根据几何体的结构特征，建立空间直角坐标系，然后求得各个点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，再根据向量的数量积公式   来

求解.

例1.

首先结合题目中所给的条件建立空间直角坐标系，设出动点 P 的坐标，并求得直线 AP 和直线 BC 的方向向量，便可根据向量的数量积公式求得异面直线所成的角的范围.在根据向量的数量积公式求立体几何中的角度问题时，要注意异面直线所成的角的范围为   ，二面角的范围为 （0，π] ，直线与平面所成的角的范围为

二、距离问题

立体几何中的距离问题十分常见，常见的考查形式有：求两点之间的距离、求点到平面的距离、求平面与平面之间的距离、求直线到平面的距离等.一般地，可将平面与平面之间的距离、求直线到平面的距离转化为点到平面的距离、两点之间的距离.运用向量法求两点之间的距离，需在建立空间直角坐标系后，借助向量的模的公式 |a| = x2 + y2 求解;运用向量法求点到平面的距离，需求得过点的斜线 AP 的方向向量与平面的法向量 n ，然后利用数量积公式   ，求得点到平面的距离  .

例 2.

由于 P、Q 点均为动点，且无法确定其具体的位置，所以建立空间直角坐标系，设出动点 P 、Q 的坐标，并求出各个条线段的方向向量，根据PQ 与AC 的位置关系建立关系式，确定参数的取值范围，然后根据向量的模的公式求得 PA 的长的表达式，便可根据参数的取值范围求得 PA 的取值范围.

三、面积问题

立体几何中的面积问题，通常要求根据已知条件求几何体的表面积、某个三角形的面积、几何体的某一个侧面的面积.此类问题侧重于考查简单空间几何体的表面积公式、简单平面几何图形的面积公式.运用向量法求解立体几何中的面积问题，需在建立空间直角坐标系后，求得各个点的坐标、向量的模，然后根据简单空间几何体的表面积公式、简单平面几何图形的面积公式进行求解.

例 3.

解答本题，需首先根据几何体的结构特点建立空间直角坐标系，并设出动点 Q 的坐标，然后求得二面角 Q - PD - A 的两个半平面的法向量，求得其二面角，从而明确点 Q 的轨迹以及分割后的图形，再根据三角形和梯形的面积公式进行求解.

四、體积问题

立体几何中的体积问题侧重于考查三棱柱、球体、四棱锥等简单几何体的体积公式.运用向量法解答体积问题，需通过坐标运算求出几何体的边长、高、底面的面积，再将其代入体积公式进行运算.

例4.

因 为 △BCD 的 面 积 为 定 值 ，所 以 求 三 棱 锥P - BCD 的体积的最大值，只需求得三棱锥 P - BCD的高的最大值，通过向量坐标运算求得动点 P 的轨迹方程，便可根据图形找到三棱锥 P - BCD 的高的最大值.

可见，运用向量法解答立体几何中的角度问题、距离问题、面积问题、体积问题，关键在于建立合适的空间直角坐标系，构造出向量，将问题转化为向量运算问题来求解.同学们在解答立体几何问题时，要学会根据空间几何体的结构特征建立空间直角坐标系，构造出空间向量，以便转换解题的思路，提升解题的效率.

（作者单位：江苏省江安高级中学）