列表法在“每……每”问题中的应用

陈宏雯

列表法是同学们在学习苏科版数学教材七年级上册“4.3用一元一次方程解决问题”时所见过的一种审题方法，它能将应用题中的条件所涉及的各部分数量关系一一列举出来，使人对题目所叙述的各种数量了如指掌，最终达到将复杂问题简化的目的。但随着学习的深入和解题熟练度的提升，同学们习惯于直接列方程，列表法也渐渐被“丢弃”。但随着一元二次方程的学习，题目中出现的数量关系再次变多，“丢弃”列表法的同学可能对“用一元二次方程解决问题”感到棘手，尤其是遇到“每……每”问题。其实，列表是解决“每……每”问题的一剂良药。现以具体的例题来向大家介绍列表是如何在“每……每”问题中应用的，以期同学们在今后的解答中能熟练掌握。

例1 商场销售一批衬衫，平均每天可售出30件，每件盈利45元。为了扩大销售，增加盈利，商场采取降价措施。假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件。如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1800元，那么这种衬衫每件的价格应降价多少元？

【分析】本题是最典型的“每……每”问题，即“衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件”。此外，本题还有较多数量，这些数量直观上并没有什么联系，所以我们可以通过列表的方式找到它们之间的关系。

方法一：因为现在的每件盈利受降价影响，即现在的每件盈利等于原来的每件盈利减去降低的价格，而增加的件数由降低的价格决定，每个1元搭配2件衬衫。所以我们可以设降价为x元，增加的件数为2×[x1]件，现在的每件盈利为（45-x）元，件数为（30+2×[x1]）件。最终，根据利润的等量关系式：总利润=单利润×数量，列出一元二次方程解决问题。

解：设这种衬衫的单价降了x元。

根据题意，得

（45-x）（30+2x）=1800。

解这个方程，得x1=x2=15。

答：当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1800元。

方法二：降低的价格和现在的每件盈利有直接关系，现在的销售件数与降低的价格有直接的关系，可以利用降低的价格关联现在每件的盈利与现在的件数之间的关系。所以设现在每件盈利为x元，则降低的价格为（45-x）元，增加的件数为2×[（45-x）1]件。同样，根据利润的等量关系式：总利润=单利润×数量，列出一元二次方程解决问题。

解：设这种衬衫现在的每件盈利为x元。

根据题意，得

x[30+2×[（45-x）1]]=1800。

解這个方程，得x1=x2=30。

所以45-x=15。

答：当这种衬衫每件的价格降价15元时，商店每天获利1800元。

【点评】设降价为x元时，明明可以直接写出增加的件数是2x，为什么还要写成2×[x1]的样子？这是因为题目说增加2件是针对“每”降价1元来说的，因此，我们要找到降价中有多少个“1”。即对待“每……每”问题，重要的是能够找到第一个“每”所代表的意思是什么。此外，根据列表，我们可以清晰地看出表格中存在两个未知量，即调整的价格与销售件数和现在的每件盈利与销售件数，但两者之间可以由“每降1元，多售出2件”建立联系。

例2 某超市销售一种饮料，每瓶进价为6元。当每瓶售价为10元时，日均销售量为160瓶。经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少10瓶。当每瓶售价为多少元时，所得日均总利润为700元？

【分析】首先我们可以初步将题目中的条件用表格表示如下：

[ 原来的 调整 现在的 进价/元 6 不变 6 售价/元 10 增加 ？ 销售量/瓶 160 减少 ？ 日均总利润 （10-6）×160 700 ]

设每瓶售价增加x元，那么这里面有[x0.5]个0.5，所以销售量减少10×[x0.5]瓶，现在的售价为（10+x）元，销售量为（160-10×[x0.5]）瓶。根据利润的等量关系式：总利润=（售价-进价）×数量，可得到方程。

解：设增加x元时，所得日均总利润为700元。

根据题意，得

（10+x-6）×（160-10×[x0.5]）=700。

解得x1=1，x2=3。

所以10+x1=11，10+x2=13。

答：每瓶售价为11或13元时，所得日均总利润为700元。

【点评】与例1类似，我们还可以设现在每瓶售价x元时，所得日均总利润为700元。根据题意，列方程（x-6）（160-10×[x-100.5]）=700来解决问题。本题的“每……每”在于“售价每增加0.5元，日销售量减少10瓶”。但这里的0.5不像例1中的那么“整”，“每”这个词在数学中是“除以”的意思，所以需要找到增加的售价中有多少个“0.5”。因此，抓住第一个“每”是解决“每……每”问题的关键。

变式 某水果商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克。经市场调查发现，在进货价不变的情况下，出售价格每涨价3元，日销售量将减少60千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

解：设每千克应涨价x元。

根据题意，得

（10+x）（500-60×[x3]）=6000。

解这个方程，得x1=5，x2=10。

因为要使顾客得到实惠，

所以x2=10不合题意，舍去。

答：每千克应涨价5元。

【点评】解决一元二次方程中的“每……每”问题，还需要关注的是能找到题目的等量关系式。将属于同一类等量关系式的数量放进表格的同一行，例如涨价前的售价、销售量、利润为同一类，涨价后的售价、销售量、利润为同一类。设相应的未知数，用含有未知数的代数式表示出其他的未知量，最后根据等量关系式列出一元二次方程并求解。

此外，对于求解增加、降低等实际问题，直接设增加、降低等会使得所列表格更便于理解。最后，要认清题目中是否有目的性词语，即所求解方案是否符合要求，如同变式中“同时又要使顾客得到实惠”，所以需要舍去不符合要求的值。

（作者单位：江苏省南京市江宁开发区学校）