再识角平分线 探寻一题多解

蔡忠平

沈阳市浑南四中李晨阳老师的直播课《再识角的平分线》，选自辽宁教育学院“辽宁省初中数学学科周末名师公益课堂”，旨在贯彻落实国家“双减”政策，帮助广大师生自主学习和个性化提升。

这节直播课以角平分线为背景，通过添加适当的辅助线，构造全等三角形.由具体到抽象，由特殊到一般，蕴含了数学模型思想和数学应用意识.

模型构建

模型1：过角平分线上的点向这个角的两边作垂线，构造基本模型，如图1;

模型2：角平分线遇平行线，构造“铁三角”模型，如图2;

模型3：在角平分线的两侧，构造全等三角形，如图3;

模型4：作角平分线的垂线，构造等腰三角形，如图4.

[O][B][P][A][M][C][N][O][P][Q][M][C][N][O][B][P][A][M][C][N][O][B][P][A][M][C][N]

模型应用

例1 已知：如图5，在△ABC中，∠C = 90°，AD是△ABC的角平分线，∠ADE = 90°，EF⊥BC.求证：CD = FD.

解法1：如图6，过点D作DG⊥AB，垂足为点G.

由已知条件可知AD平分∠BAC，DC⊥AC，

根据模型1，联想“过角平分线上的点向这个角的两边作垂线”，可得DC = DG.

易证Rt△ADC≌Rt△ADG（HL），可得∠CDA = ∠GDA.

由∠ADE = 90°，可知∠GDA + ∠GDE = 90°，∠CDA + ∠FDE = 90°，则∠GDE = ∠FDE.

由∠EGD = ∠EFD，∠GDE = ∠FDE，DE = DE，可得△DEG≌△DEF（AAS）. 从而CD = DG = DF.

解法2：在AB上截取AG = AC，连接DG，如图7，

由AD平分∠BAC，根据模型3，联想“在角平分线的两侧，构造全等三角形”，

先证△CAD≌△GAD（SAS），可得CD = GD，∠AGD = ∠ACD = 90°，

由解法1可知∠GDE = ∠FDE，DE = DE，可证△DGE≌△DFE（AAS），得到DG = DF.

再根据CD = GD，DG = DF，从而得到CD = FD.

解法3：如图8，延长ED，交AC的延长线于点G.

由AD平分∠BAC，∠ADE = 90°，

根据模型4，联想“作角平分线的垂线，构造等腰三角形”.先证△ADE≌△ADG（ASA），得到DE = DG，再证明△DGC≌△DEF（AAS）， 从而证得CD = FD.

变式延伸

例2 在△ABC中，若∠C ≠ 90°，AD是∠CAB的平分线，∠ADE = 90°，EF[?]AC，点F在BD上，则CD = FD还成立吗？

解法1：如图9，延长AD，交EF的延长线于点G.

已知AD是∠CAB的平分线，EF[?]AC，

根据模型2，联想构造“铁三角”模型，则∠DAC = ∠G，

因为∠DAC = ∠DAE，所以∠DAE = ∠G，

可证△ADE≌△GDE（AAS），则DA = DG，

再證△ADC≌△GDF（ASA）， 从而CD = FD.

解法2：如图10，延长AC，交ED的延长线于点H.

由AD平分∠CAB，∠ADE = 90°，根据模型4，联想“作角平分线的垂线，构造等腰三角形”，可证△ADE≌△ADH（ASA），得到DE = DH. 已知EF[?]AC，可得∠DEF = ∠H.由∠EDF = ∠HDC，可证△EDF≌△HDC（ASA），于是CD = FD.

分层作业

难度系数：★★★解题时间：10分钟

1.如图11，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD⊥AD，

已知S△ADC = 14，S△ABD = 10，则△ABC的面积为（）.

A. 20      B. 24    C. 28   D. 30

2.如图12，在△ABC中，AC = 2AB，AD平分∠BAC

交BC于点D，点E是AD上的一点，且EA = EC. 求∠ABE.

（作者单位：北票市桃园初级中学 ）