“变换”视角下的例题探析

孙凯

初中数学教材上的例题有着非常重要的学习价值。但在平时的学习中，受到课堂时间的限制，我们可能只解决了例题中提出的问题，对于例题背后蕴涵的价值挖掘不够，造成了宝贵资源的浪费。因此，同学们可以从“变换”的视角对例题进行进一步探析。

一、改变某个条件

改变某个条件是指将例题中的某个关键条件变更为另一个条件，在新的条件下探析结论是否成立，以实现对知识的横向关联，加深对所学知识的理解。

例1 （苏科版数学教材八年级下册第68页例2）已知：如图1，在▱ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且AE=CF。求证：四边形BFDE是平行四边形。

【分析】例题中给出的条件是——四边形ABCD是平行四边形和AE=CF，根据平行四边形的性质我们可以获得更多的条件，那么哪些条件可以用来判定四边形BFDE是平行四边形呢？这就涉及判断的依据问题。思路1：由▱ABCD、AE=CF，证明DE=BF，DE∥BF，根據“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”实现证明的目的（证明过程见教材）;思路2：证明△ABE≌△CDF，从而证得BE=DF，易证DE=BF，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”从而证得结论。

【变换】已知：如图2，在▱ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，与AD、BC分别交于点E、F。求证：四边形BFDE是平行四边形。

【评析】将例题中的条件“AE=CF”变换为“BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC”，生成了一个新的问题。根据题目中的条件，有不同的思路证明四边形BFDE是平行四边形，其中根据定义“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”实现证明的方法比较简捷。

二、条件结论互换

条件结论互换是指将例题中的条件与结论互相替换，由此生成一个新的问题情境，新问题与原问题之间是一种“互逆”的逻辑关系。

例2 （苏科版数学教材八年级下册第69页例3）已知：如图3，在▱ABCD中，点E、F分别在AC上，且AE=CF。求证：四边形EBFD是平行四边形。

【分析】例题中给出的条件是——四边形ABCD是平行四边形和AE=CF，由此我们联想到对角线互相平分可以判定平行四边形，即连接BD，根据“平行四边形的对角线互相平分”，由AE=CF，易证四边形EBFD的对角线互相平分，实现证明的目的（证明过程见教材）。

【变换】已知：如图3，在四边形ABCD中，E、F是AC上两个不同的点，四边形EBFD是平行四边形，且AE=CF。求证：四边形ABCD是平行四边形。

【评析】将例题中的条件与结论互换，形成新的问题情境。新问题和例题是一种互逆的关系，解题思路基本一致，都是通过构造“对角线互相平分”来实现证明。这种变换处理实现了正向和逆向的双向探究，有利于更深入地理解平行四边形的判定。

三、强化或弱化条件

强化或弱化条件是指在例题原有条件基础上增加或减少一个条件，以丰富例题内涵的一种变换探究的方法。

例3 （苏科版数学教材八年级下册第87页例题）已知：如图4，在四边形ABCD中，AC=BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是菱形。

【分析】例题主要研究的是四边形的四边中点依次连接所形成四边形（简称“中点四边形”）的形状，根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半”，可证四边形EFGH为平行四边形，再由AC=BD，证得四边形EFGH为菱形（证明过程见教材）。

【变换1】已知：如图5，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是平行四边形。

【变换2】已知：如图6，在四边形ABCD中，AC=BD且AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证：四边形EFGH是正方形。

【评析】变换1是对例题中的条件进行弱化，减少条件“AC=BD”，探究任意四边形的中点四边形的形状特征;变换2是对例题中的条件进行强化，增加了条件“AC⊥BD”，探究特殊四边形（对角线互相垂直且相等）的中点四边形的形状特征，最终形成完整的探究结论。

（作者单位：江苏省苏州市阳山实验初级中学校）