2021年全国Ⅰ卷理科解析几何压轴题的多角度探析

摘要：2021年全国Ⅰ卷理科解析几何压轴题，在形式上有“简约而不简单”之感，计算量较大，大多数考生不知所措.本文提供九种解题妙法，引导学生多视角思考，引导学生经历用不同方法解决数学问题.

关键词：两根法;倾斜角法;巧用圆系方程;直线参数方程

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）13-0014-04

2021年全国Ⅰ卷理科解析几何压轴题，突出学科素养和区分导向，着重考查考生的运算能力以及综合运用数学思想方法分析问题、解决问题的能力，体现了解析几何压轴的应用价值，在考试评价中落实区分度的根本任务，对选拔高层次人才有很好的导向和选拔作用.

1 试题呈现

例题（2021年全国Ⅰ卷理科压轴题） 在平面直角坐标系xOy中，已知点F1-17，0，

F217，0，MF1-MF2=2，点M的轨迹为C.

（1）求C的方程;

（2）设点T在直线x=12上，过T的两条直线分别交C于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.

2 试题解析

2.1 第（1）问解析

解析因为MF1-MF2=2<F1F2=

217，所以轨迹C是以点F1，F2为左、右焦点的双曲线的右支.

设轨迹C的方程为x2a2-y2b2=1a&gt;0，b>0，

则2a=2，c=17.

可得a=1，b=17-a2=4.

所以轨迹C的方程为x2-y216=1x≥1.

2.2 第（2）问解析

解法1（常规法） 设点T12，t，若过点T的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线C无公共点，不妨设直线AB的方程为

y-t=k1x-12（k1≠0）.

即y=k1x+t-12k1.

联立y=k1x+t-12k1，16x2-y2=16，

消去y并整理，得

k21-16x2+k12t-k1x+t-12k12+16=0.

设点Ax1，y1，Bx2，y2，则x1>12且x2>12.

由韦达定理，得

x1+x2=k21-2k1tk21-16，x1x2=t-12k12+16k21-16.

所以TA·TB=TA·TB

=1+k21·x1-12·x2-12

=1+k21·x1x2-x1+x22+14

=t2+121+k21k21-16.

设直线PQ的斜率為k2，同理可得

TP·TQ=t2+121+k22k22-16.

因为TA·TB=TP·TQ，

即t2+121+k21k21-16=t2+121+k22k22-16.

整理，得k21=k22.

显然k1-k2≠0，故k1+k2=0.

因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法2（两根法） 同解法1，得

TA·TB=t2+121+k2k2-16.

因为TA·TB=TP·TQ，

令TA·TB=m，

则kAB，kPQ为方程t2+121+k2k2-16=m的两根.

即kAB，kPQ为方程t2+12-mk2+t2+16m+12=0的两根.

所以kAB+kPQ=0.

因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法3（倾斜角法） 设直线AB和直线PQ的倾斜角分别为α，β，T12，t，Ax1，y1，Bx2，y2，则TA=x1-xTcosα=x1-12cosα，TB=x2-xTcosα=x2-12cosα.

所以TA·TB=x1-12x2-12cos2α.

因为k2AB=tan2α=sin2αcos2α=1-cos2αcos2α=1cos2α-1，

所以1cos2α=k2AB+1.

故

TA·TB=1+k2ABx1-12x2-12.

下同解法1，得

TA·TB=1+k2AB·x1-12·x2-12

=t2+121+k2ABk2AB-16.

同理可得TP·TQ=t2+121+k2PQk2PQ-16.

因为TA·TB=TP·TQ，

即t2+121+k2ABk2AB-16=t2+121+k2PQk2PQ-16.

整理，得k2AB=k2PQ.

即kAB-kPQkAB+kPQ=0.

显然kAB≠kPQ，故kAB+kPQ=0.

因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法4（常规法） 设T12，t， Ax1，y1，Bx2，y2，设直线AB的方程为x=my+n，联立x=my+n，16x2-y2=16，消去x并整理，得

16m2-1y2+32mny+16n2-1=0.

由韦达定理，得

y1+y2=-32mn16m2-1，y1·y2=16n2-116m2-1.

所以TA·TB=1+m2y1-ty2-t=1+m216n+mt2-16-t216m2-1

=1+m2t2+1216m2-1.

同理设直线PQ的方程为x=ay+b，

同理可得TP·TQ=1+a2b2+1216a2-1.

因为TA·TB=TP·TQ，

即1+m2t2+1216m2-1=1+a2b2+1216a2-1.

整理，得m2=a2.

即m-am+a=0.

显然m-a≠0，故m+a=0.

即kAB+kPQ=1m+1a=m+ama=0.

所以直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法5（倾斜角法） 设直线AB和直线PQ的倾斜角分别为α，β，T12，t，Ax1，y1，Bx2，y2.

设直线AB的方程为x=my+n，直线PQ的方程为x=ay+b，则

TA=y1-yTsinα=y1-tsinα，TB=y2-yTsinα=y2-tsinα.

所以TA·TB=y1-ty2-tsin2α.

因为m2=1k2AB=1tan2α=cos2αsin2α=1sin2α-1，

所以1sin2α=m2+1.

所以TA·TB=1+m2y1-ty2-t.

下同解法4，得

TA·TB=1+m2y1-ty2-t

=1+m2t2+1216m2-1.

同理可得TP·TQ=1+a2b2+1216a2-1.

因为TA·TB=TP·TQ，

即1+m2t2+1216m2-1=1+a2b2+1216a2-1.

整理，得m2=a2.

即m-am+a=0.

显然m-a≠0，故m+a=0.

即kAB+kPQ=1m+1a=m+ama=0.

所以直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法6（巧用圆系方程） 因为TA·TB=TP·TQ，

所以A，B，P，Q四点共圆.

设直线AB的方程为x=my+n，

直线PQ的方程为x=ay+b，

构造同时过A，B，P，Q四点的二元二次曲线系方程：λ16x2-y2-16x+x-my-nx-ay-b=0，

因为此方程表示的曲线为圆，

所以x·y的系数-m+a=0.

即kAB+kPQ=1m+1a=m+ama=0.

所以直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法7（直线参数方程） 设T12，t，lAB：x=12+tcosθ1y=m+tsinθ1t为参数，

代入x2-y216=1，得16cos2θ1-sin2θ1t2+16cosθ1-2msinθ1t-m2+12=0.

不妨设TA=t1，TB=t2，则

TA·TB=t1·t2=-m2+1216cos2θ1-sin2θ1.

设lPQ：x=12+tcosθ2y=m+tsinθ2t为参数，不妨设TP=t3，TQ=t4，同理可得

TP·TQ=t3·t4=-m2+1216cos2θ2-sin2θ2.

因为TA·TB=TP·TQ，

所以m2+1216cos2θ1-sin2θ1=m2+1216cos2θ2-sin2θ2.

因為lAB和lPQ不重合，所以θ1≠θ2.

故θ1=π-θ2.

所以直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法8（坐标平移法） 将坐标系向右平移12个单位，则问题转化为“点T在y轴上，过点T的两条直线分别与C：x+122-y216=1x≥12交于A，B两点和P，Q两点，且TA·TB=TP·TQ，求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.”

设T0，n，lAB：y=mx+n，lPQ：y=kx+n，

所以联立方程y=mx+n，x+122-y216=1，

得16-m2x2+16-2mnx-n2+12=0.

设Ax1，y1，Bx2，y2，则由韦达定理，得

x1+x2=16-2mnm2-16，x1x2=n2+12m2-16.

则TA·TB=TA·TB

=x1·x2+y1-n·y2-n=1+m2x1x2=1+m2n2+12m2-16.

同理可得TP·TQ=1+k2n2+12k2-16.

因为TA·TB=TP·TQ，

所以整理可得m2=k2.

即m-km+k=0.

显然m≠k，故m+k=0.

因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

解法9（坐标另设法） 设T12，n，以T为坐标原点，建立平面直角坐标系tOy，则

C：t+122-y+n216=1t≥12，

lAB：y=k1x，lPQ：y=k2x.

所以联立方程y=k1x，t+122-y+n216=1，

得k21-16t2+2k1n-16t+n2+12=0.

设At1，y1，Bt2，y2，则由韦达定理，得

t1+t2=16-2k1nk21-16，x1x2=n2+12k21-16.

则TA·TB=TA·TB=t1·t2+y1·y2=1+k21t1t2=1+k21n2+12k21-16.

同理可得TP·TQ=1+k22n2+12k22-16.

因为TA·TB=TP·TQ，

所以整理可得k21=k22.

即k1-k2k1+k2=0.

显然k1≠k2，故k1+k2=0.

因此，直线AB与直线PQ的斜率之和为0.

以上的九种证明方法从不同角度合理地解决问题，因此教师在日常教学中，应引导学生多视角思考，引导学生用不同方法来解决数学问题，引导学生以平易近人的思维探寻压轴题的解题思路，如何以自然而然的思维来解决压轴题，这样才能更好地培养学生的思维品质，提高学生运算、分析问题和解决问题的能力，从而提高学生的数学核心素养.

参考文献：

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[责任编辑：李璟]

收稿日期：2022-02-05

作者简介：彭耿铃（1979-），男，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

基金项目：福建省教育科学“十三五”规划2020年课题“基于高考评价体系的数学高考试题研究”（项目编号为：FJJKXB20-1066）.[FQ）]