解答不等式证明问题的常用方法

张万琼

不等式证明题是数学高考试题中的常考题型.这类题目的综合性较强，一般难度较大.在解题时，需灵活运用不等式、函数、方程、向量等知识对不等式进行适当的变形、整合，通过推理、运算证明不等式，因而此类问题对同学们的综合分析和逻辑推理的能力有较高的要求.下面结合实例谈一谈解不等式证明题的三种方法：分析法、换元法和放缩法.

一、分析法

分析法是指从所要求证的不等式出发，通过分析、推理寻求证明不等式成立的充分条件，逐步靠拢已知条件或定理、性质等，从而证明原不等式成立.运用分析法证明不等式需“执果索因”，即由“所证不等式”向“已知条件”推理.

例1.已知 a， b 为正数，且 a + b =1，证明：

证明：要证成立，

需证4ab2+4a2+b2-25ab +4≥ 0，

即证4ab2+4a2+b2-25ab +4≥ 0，

则需证4ab2- 18ab +8≥0，

解得 ab≤  或 ab ≥4，

因为 a +b =1，且 a +b ≥2  ，

所以1≥2  ，

则ab≤ 成立，因此，原不等式得证.

题目中给出的条件较少，需从所要求证的不等式出发，运用完全平方公式，通过分解因式求得ab 的取值范围，然后根据基本不等式证明 ab 的取值范围满足题意，从而证明不等式成立.当已知条件与结论之间的联系不够明显，或题目中所给的条件较少时，可直接采用分析法来求证.

二、三角换元法

三角换元法也是证明不等式问题的常用方法.运用三角换元法证明不等式，需首先将不等式中的两个变量用三角函数替换，如设 x =rcosα、 y =r sinα，这样便将所要求证的不等式转化为三角函数式，利用三角函数的单调性和有界性即可证明不等式成立.

例2.已知 x2+y2= 1，证明：-  ≤ x +y ≤  .

证明：∵ x2+y2= 1，

∴设 x = cosα， y = sinα，

∴ x +y = cos α+ sinα=  sinè（?）α+  ?（?），∵sinè（?）α+  ?（?）∈-1，1，

∴ x +y ∈- ，，

∴-  ≤ x +y ≤  .

设x = cosα、 y = sinα，通过三角换元将问题转化为三角函数问题，运用辅助角公式对三角函数式进行化简，便能直接运用正弦函数的有界性求得最值，从而证明不等式成立.在变形不等式的过程中，通常要运用到三角函数中的基本公式，如诱导公式、辅助角公式等进行三角恒等变换，以便化简不等式.

三、放缩法

运用放缩法证明不等式，需将所要求证不等式的一侧或者两侧式子进行放大或者缩小，再根据不等式的传递性证明不等式成立.在放缩代数式时，常见的放缩形式有  -1 <、2  >  +

例3.已知a，b，c不全等于零，证明：  +  +  >a +b +c.

分析：观察所要求证的不等式可以发现，不等式左侧的三个根号下的式子具有相同的特点，所以只需分析其中一个式子即可.可先将根号下的式子配方，然后利用平方式恒大于或等于0的性质对根号下的式子进行放缩，最后根据不等式的可加性证明结论.

证明：

同理可得：>b +  ，

综上可得，  +  +  >a + b +c.

相比较而言，分析法和放缩法的适用范围较广，但对同学们的推理、分析能有较高的要求;三角换元法较为简单，但运算量较大.在证明不等式时，有时可根据解題需求同时运用两种或两种以上的方法进行求证.

（作者单位：江苏省沙溪高级中学）