研题四部曲“来路—思路—出路—套路”——一道最值题的突破

⦿福建省石狮市第三中学 林燕峰

1 引言

老子《道德经》的二十八章：知其雄，守其雌，为天下谿；……知其白，守其黑，为天下式；……知其荣，守其辱，为天下谷.

在数学教学与学习，以及数学解题研究过程中，我们提取相关问题的精华，尝试做到数学解题研究过程中的“四部曲”——来路、思路、出路、套路.

2 问题“来路”

此题以双变量所满足的二次方程(圆的一般方程形式)为背景，结合含根式的分式代数式的最值的确定与求解来合理创设代数问题，从代数的“数”的角度来巧妙创新与设置，实现“数”与“形”之间的合理转化与应用.

3 寻找“思路”

思路一：解析几何思维.

图1

解后反思：根据问题的平面解析几何背景，直接通过平面解析几何中的相关知识来切入与转化，是解决此类问题最直接、最常用的基本方法之一.结合代数式的形式特征，通过点到直线的距离公式、两点间的距离公式等来转化，“数”转化为“形”，进而数形结合，直观形象确定相应的最值，可以达到非常不错的解题效果.

图2

思路二：平面向量思维.

解后反思：根据所求代数关系式的形式特征，合理联想到平面向量的数量积的坐标公式，是利用该方法求解代数式最值的关键所在.平面向量的数量积公式具有非常特殊的形式，在解决一些相关的数学问题中，形式与其类似或接近时，经常可以采用构建合理的平面向量，通过平面向量的数量积加以转化与应用，从而解决相关数学问题.

思路三：三角函数思维.

解后反思：根据条件中的代数关系式加以合理变形与转化，引入三角函数利用三角换元来处理，巧妙结合题目条件确定三角参数的取值限制，进而利用三角函数的图象与性质来确定对应的最值问题，这也是求解代数式最值时比较常用的一类技巧方法.三角换元的求解关键就是合理引参，巧妙转化，构建正弦型或余弦型三角函数，利用三角函数的图象与性质解决.

4 拓展“出路”

探究1：根据原问题及其解析过程，通过相应代数式的最大值的确定，自然而然想到确定对应代数式的取值范围问题，从而得到以下对应的变式问题.

解后反思：除了借助平面向量的数量积公式法来解决以上变式问题，还可以参照原问题的解析几何思维与三角函数思维等来解决该变式问题，关键是讨论对应代数式取得最小值与最大值这两个极端值时的成立条件，这里就不多加以叙述了.

5 总结“套路”

涉及代数式的最值或取值范围的确定问题，解决问题的主要“套路”可以总结为以下两种：

(1)“数”视角切入.利用代数思维，从函数与方程、不等式、三角函数等视角来转化与应用，结合相应的知识进行合理的代数运算、逻辑推理，从而得以分析与处理，确定对应代数式的最值或取值范围问题.

(2)“形”视角切入.利用代数式的几何意义，化“数”为“形”，利用几何思维，从平面几何图形、解析几何图形以及立体几何图形等直观图形及其对应的几何意义视角来直观想象，转化为相关点、直线、曲线、平面等之间的位置关系，数形结合来分析与处理，确定对应代数式的最值或取值范围问题.

在以上“数”或“形”等不同视角切入时，巧妙转化问题，结合二次函数的图象与性质、基本不等式等重要不等式、三角函数的图象与性质、导数及其应用、平面几何的直观图形等“数”或“形”知识来综合与应用，合理数学建模，掌握通技通法，不断深入挖掘，剖析研题“四部曲”——来路、思路、出路、套路，提升解题效益，跳出“题海战术”，从而全面提升思维品质，提高数学能力，培养数学核心素养.Z