例析古典概型的交汇问题

■郑 玮

古典概型是一种概率模型,是概率论中最直观和最简单的模型。在这个模型下,随机试验的所有可能结果是有限的,并且每个基本结果发生的可能性是相同的。下面例析古典概型的交汇问题。

一、与集合有关的概率问题

例1 已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则它是集合A∩B中的元素的概率为( )。

评注:古典概型的两个基本特征,即有限性和等可能性。在应用古典概型的概率公式时,关键是正确理解随机事件和样本点的关系,事件和样本空间的关系。

二、与函数有关的概率问题

例2 已知a∈{-2,0,1,2,3},b∈{3,5},则函数f(x)=(a2-2)ex+b为减函数的概率是( )。

评注:涉及函数的概率问题,解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数。

三、与向量有关的概率问题

例3 设连续掷两次骰子得到的点数分别为m,n,令平面向量a=(m,n),b=(1,-3)。

四、与几何图形有关的概率问题

评注:求与几何图形有关的概率问题,应充分利用几何图形的性质。

五、与游戏有关的概率问题

例5 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动。参加活动的儿童需转动如图1所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数。记两次记录的数分别为x,y。奖励规则如下:①若xy≤3,则奖励玩具一个;②若xy≥8,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶。

图1

假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀。小亮准备参加此项活动。

(1)求小亮获得玩具的概率。

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由。

解:用数对(x,y)表示小亮参加活动先后记录的数,则样本空间Ω与点集S={(x,y)|x∈N*,y∈N*,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应。因为S中元素的个数是4×4=16,所以样本点的总数n=16。

评注:生活中的概率游戏问题,背景真实,内容鲜活,具有知识性、娱乐性、趣味性和益智性。

六、与取球有关的概率问题

例6 一个盒子里装有标号1,2,3,4的4个形状大小完全相同的小球,先后随机地选取2个小球,根据下列条件,分别求2个小球上的数字为相邻整数的概率。

(1)小球的选取是无放回。

(2)小球的选取是有放回。

解:记事件A=“选取的2个小球上的数字为相邻整数”。

评注:对于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看成是有顺序的,也可以看成是无顺序的,其最后结果是一致的。但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误。对于有放回抽样,在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b),(b,a1)不是同一个样本点。解答本题的关键是要分清“无放回抽取”与“有放回抽取”,且每一件产品被取出的机会都是均等的。