广义计数算子的Skorohod积分-随机梯度表示

周玉兰，陈 嘉，孔华芳

(西北师范大学数学与统计学院,甘肃兰州 730070)

0 引言

近些年来，离散时间正规鞅泛函及其上的量子分析理论受到广泛关注[8-10].2001年，Emery[8]讨论了这类泛函的混沌表示性质;2008年，Privault[9]用重积分形式讨论了Bernoulli 泛函空间上的随机分析并给出了其在经济、金融等领域的实际应用.2010年，Wang等[10]构造了关于Bernoulli噪声平方可积泛函空间的一组标准正交基，建立了N的有限幂集Г上的平方可和函数空间l2(Γ)与正规鞅M的平方可积泛函空间L2(M)的等距同构关系，从而给出了Privault 理论的一个统一表达，同时提出了量子Bernoulli噪声的概念.量子Bernoulli噪声{∂k,∂*k：k≥0}是L2(M)上一列有界线性算子，满足典则反交换、等时可交换等性质.近来，周玉兰等[14]针对N上非负函数h，提出了广义随机梯度h和广义Skorohod 积分δh，发现h可用点态湮灭算子列{∂k:k≥0}表示，而δh可用点态增生算子列{∂*k:k≥0}表示；文献[15]讨论了广义计数算子Nh关于量子Bernoulli噪声{∂*k,∂k:k≥0}的加权表示.

基于以上工作的启发，本文针对不同类型的非负函数h，在L2(M)的不同稠子空间上讨论Nh与h,δh之间的表示关系，结论如下：

(a)若h为N上的常值函数，则DomNh=DomN，且对∀α∈R,有

Nhξ=δhαh1-α(ξ), ∀ξ∈DomN;

(b)若h为N上非负可和函数，则

(c)若h是N上有正下界的非负实函数，则

(d)Nh关于交换代数P+(N)的交换表示为

1 预备知识

设N表示非负整数集，Γ为N的有限幂集，即

Γ={σ|σ⊂N且#(σ)<∞},

(1)

定义1概率空间(Ω,F,P)上的平方可积过程M=(Mn)n∈N称为离散时间正规鞅，如果M满足：

( i )E[M0|F-1]=0且

E[Mn|Fn-1]=Mn-1,∀n≥1;

其中F-1={∅,Ω},Fn=σ(Mk;0≤k≤n),n∈N,E[·|Fn]表示关于Fn的条件期望.

设M=(Mn)n∈N是(Ω,F,P)上的离散时间正规鞅.应用M=(Mn)n∈N可构造离散时间过程Z=(Zn)n∈N如下:

Z0=M0,Zn=Mn-Mn-1,n≥1.

易证满足下面性质:

因此Z=(Zn)n∈N可看作离散时间正规噪声.

定理A[8]设Z=(Zn)n∈N是与M相关联的离散时间正规噪声，定义Z∅=1，而

(2)

其中∅表示空集，则{Zσ|σ∈Γ}是L2(Ω,F,P)的可数标准正交基.

记L2(M)=L2(Ω,F,P)，即关于M的平方可积泛函全体所成Hilbert空间，其上内积和范数分别记为·,·和||·||; 用L2(M×N)表示正规鞅M平方可积过程全体所成Hilbert空间，其上内积和范数分别记为·,·,||·||L2(M×N).

(3)

其中级数依L2(Ω,F,P)中范数收敛.

其中f=J-1(ξ)∈l2(Γ)，则∂k是L2(M)上的有界线性算子且||∂k||=1.特别地

∂kZσ=1σ(k)Zσk, ∀σ∈Γ.

(5)

对∀k∈N，记∂*k为∂k的共轭算子.

定理D[5]设k∈N，则∂*k有以下性质:

∂*kξ=J[f(*k)1*(k)], ∀ξ∈L2(M),

(6)

其中f=J-1(ξ).特别地，

∂*kZσ=(1-1σ(k))Zσ∪k, ∀σ∈Γ.

(7)

定义2定义L2(M)中线性算子N如下:

称N为L2(M)中的计数算子.

为Γ上的h加权计数测度，简称h-计数测度.

定义4[13]设h是N上非负实函数，定义L2(M)中的线性算子Nh如下：

称Nh是L2(M)中的h广义计数算子，简称广义计数算子.

注1显然，若h(k)≡1,∀k∈N，则#h和Nh分别是Γ上的记数测度和L2(M)中的计数算子.

定理E[13]设h是N上的非负实函数，则对应的广义计数算子Nh是L2(M)中的稠定自伴闭线性算子.

特别地，Nh是L2(M)上有界线性算子当且仅当h是N上的可和函数，在这种情况下，有

定义5[14]对N上任意非负函数h，称线性算子h:L2(M)L2(M×N)：

称为广义Skorohod积分算子.

注2显然，若h(k)≡1，则h=,δh=δ分别是随机梯度和Skorohod积分.

由点态增生算子族{∂*k:k≥0}的性质可知：

定理G[14]设h是N上非负函数，则广义随机梯度h是L2(M)中的稠定闭线性算子，广义Skorohod积分算子δh是L2(M×N)到L2(M)中的稠定闭线性算子.h和δh有界当且仅当h是N上平方可和函数，且

2 主要结果

本节讨论离散时间正规鞅平方可积泛函空间L2(M)中广义计数算子Nh关于广义Skorohod积分δh和广义随机梯度h的表示问题，针对不同类型的非负函数h，当指标不同时，Nh的表示在L2(M)的不同稠子空间中成立.为方便起见，本节用P+(N)表示定义在N上的非负实函数所成集合，表示N上非负可和序列所成集合.

定理1若h是N上的非负常值函数，则DomNh=DomN，且对∀α∈R，有

特别地，Nhξ=CNξ=δh∘(ξ)=δ∘h(ξ), ∀ξ∈DomN,这里C=h(k),∀k≥0.

证明设h是N上非负常值函数C>0，首先证明Domh=Dom，Nh=N且DomN⊂Dom.事实上，由定义有

从而在h是常值函数时可知，Domh=,DomNh=DomN，且

故DomN⊂Dom.而对∀α∈R,

h1-αξ=(h1-α(k)∂kξ)k≥0=C1-αξ,

于是

故DomNh⊂Domh1-α=Dom.

对∀ξ∈DomN，作过程uξ如下：

则

对N上非负可和函数h，当指数在不同范围内时，Nh关于广义Skorohod积分δh和广义随机梯度h的复合表示在L2(M)的不同稠密子空间上成立.

( i )若α≤1/2，则

Nhξ=δhα∘h1-α(ξ), ∀ξ∈L2(M);

(15)

( ii )若α>1/2，则

Nhξ=δhα∘h1-α(ξ), ∀ξ∈Domh1-α.

(16)

证明( i ) 若h是N上非负可和函数，首先说明当α≤1/2时广义随机梯度h1-α是L2(M)上的有界线性算子.由可知,于是存在K≥0,使得对∀k>K有h(k)<1;而当α≤1/2时，有2(1-α)≥1，从而

下证对∀ξ∈L2(M),h1-αξ∈Domδhα.实际上，h1-αξ=(h1-α(k)∂kξ)k≥0,而

即(15)式在L2(M)上成立.

( ii )若α>1/2，则2(1-α)<1，此时,尽管h是N上可和函数，但h1-α未必可和，若在(17)式中将1-α替换为α，可知hα平方可和，故由定理E和G可知，Nh是L2(M)上的有界线性算子，δhα是L2(M×N)上的有界线性算子，从而对∀ξ∈Domh1-α，必有h1-αξ∈Domδhα.与(18)式同理，可得(16)式成立.】

对N上任意非负函数h，对特殊的指标α=0和α=1，在L2(M)的不同稠子空间上,有

定理3设h∈P+(N)，则广义计数算子Nh有如下表示：

证明为证Nhξ=δ∘hξ，首先说明DomNh⊂Domh.事实上，由于h是非负函数，所以

于是，对∀ξ∈DomNh，由(20)式有

故ξ∈Domh.由ξ任意性可知

DomNh⊂Domh.

对∀ξ∈DomNh,作过程

下证uξ∈Domδ且δ(uξ)=Nhξ.事实上，由uξ的作法及δ的定义，有

这表明在DomNh上，有Nhξ=δ(hξ)，Nh可表示为广义随机梯度h与Skorohod积分算子δ的复合.特别地，若由定理2的证明过程可知Nh,h都是L2(M)上的有界线性算子，且h(L2(M))⊂Domδ，从而对∀ξ∈L2(M)，有Nhξ=δ(hξ).

为证Nhξ=δh∘ξ,对∀ξ∈Dom∩DomNh,作过程由δh的定义，有

Nhξ=δh(ξ), ∀ξ∈Dom.】

一般来说，对N上的非负函数h，广义计数算子Nh与随机梯度的定义域存在公共稠子集S0(M)，但未必有包含关系，而对于N上具有正下界的非负函数h,DomNh和Dom间存在包含关系，从而对不同范围内的指标α，可得Nh关于δh及h在L2(M)的不同稠子空间上的表示.

定理4设h∈P+(N)，且h有正下界，

( i )若α≥0，则DomNh⊂Domh1-α，且

δhα∘h1-α(ξ)=Nhξ, ∀ξ∈DomNh;

(21)

( ii )若α<0，则Domh1-α⊂DomNh,且

δhα∘h1-α(ξ)=Nhξ, ∀ξ∈Domh1-α.

(22)

( i )对∀α≥0,∀σ∈Γ，有

于是

故DomNh⊂Domh1-α.

下证对∀ξ∈DomNh,有h1-αξ∈Domδhα.实际上，因为

则由(20)式，有

从而DomNh⊂Domh.因此，由(24)式可知,h1-α(DomNh)⊂Domδhα，且类似(18)式的计算，对ξ∈DomNh有δhα∘h1-α(ξ)=Nhξ.

( ii )若α<0，则对∀σ∈Γ，有

容易验证，P+(N)关于函数的逐点乘积成为一个交换代数.定理E说明，广义计数算子关于δh和g的复合表示在L2(M)的稠子空间S0(M)上关于h,g是可交换的.

定理5设h,g∈P+(N)，则

证明设h,g∈P+(N)，对∀ξ∈S0(M),

gξ=(g(k)∂kξ)k≥0

是截断过程，故

g(S0(M))⊂S(M×N)⊂Domδh.

又

从而(25)式成立.】