基于Gabor空间的未知调频率LFM信号压缩采样与重构

王 强 孟 晨 王 成 张 瑞

（陆军工程大学，石家庄校区，河北石家庄 050003）

1 引言

线性调频（Linear frequency modulated，LFM）信号是一种典型的非平稳信号。该信号时宽带宽积较大，具有良好的距离分辨力、抗干扰和抗截获能力，广泛用于各种雷达系统中［1］。为保证雷达系统性能，LFM 信号工作带宽通常可达数百甚至上千兆赫兹。此时，受限于Nyquist 采样定理，传统A/D 转换器需要工作在较高的采样频率下，来保证采样后LFM 信号能够得到有效重构。同时，高采样频率将会产生大量的数据信息，给信号采集系统的数据存储、传输带来巨大压力。

压缩感知理论的产生［2-3］，为宽带LFM 信号的采集提供了新的思路。在压缩感知理论下，信号的采集过程取决于信号本身的信息量，在采集的同时能够直接实现信号的压缩。基于压缩感知理论，国内外众多学者对信号的压缩采样系统进行研究，比较成熟的系统包括调制宽带转换器（Modulated Wideband Converter，MWC）［4］以及随机解调器（Random Demodulator，RD）［5］。但二者对信号的精确重构，主要依赖于信号在频域内的稀疏性。而对于LFM信号，其频谱在工作频带范围内，并不具有稀疏性。此时，要保证信号经过压缩采样后能够得到精确重构，MWC以及RD总采样频率必然要高于信号工作带宽。

利用LFM 信号在分数阶傅里叶变换域内的稀疏性，学者们将现有的压缩采样方法推广到分数阶傅里叶域，以寻求更低的采样频率与采样点数。目前，基于分数阶傅里叶变换的LFM 信号压缩采样方法主要可以分成两类。一类是基于现有压缩采样系统完成压缩采样，再通过构造分数阶傅里叶字典的方式完成原始信号重构，如文献［6-9］。这种方法利用成熟的压缩采样系统完成采样过程，通过构造合适的分数阶傅里叶字典，能够以极少的采样点数实现原始信号的有效重构。另一类方法对传统压缩系统进行改进，利用分数阶低通滤波器替换传统压缩采样系统中的低通滤波器，完成低速采样，并直接利用滤波器输出完成原始信号重构，如文献［10-11］。相比于传统压缩采样系统，该系统重构过程中不需要构造分数阶傅里叶字典，但分数阶低通滤波器设计相对复杂。此外，上述两种压缩采样方法均依赖于LFM 信号在分数阶傅里叶变换下的稀疏性，但是当LFM 信号调频率未知时，将无法找到合适的分数阶次来完成对LFM 信号的先验稀疏表示，则上述两种方法均不能有效实现LFM 信号的压缩采样与有效重构。

2012 年，Eldar 团队［12］提出了基于Gabor 变换的窄脉冲信号压缩采样系统，2021 年，文献［13］将该系统用于LFM 信号，取得了良好的重构效果。基于Gabor变换的压缩采样系统为解决LFM 信号的压缩采样问题提供了一种新思路。在Gabor变换下，LFM信号的稀疏表示不需要调频率作为先验信息，适用性较强，但在文献［12］中，基于Gabor 变换的压缩采样系统中不同采样点需要经过不同的通道获得，导致系统的采样通道利用率较低，且调制函数较为复杂，调制信号生成电路难以硬件实现。针对上述问题，本文将平移不变空间理论引入到压缩采样系统设计中，提出了基于Gabor 空间的LFM 信号压缩采样与重构方法。该方法不仅保留了原压缩采样系统先验信息依赖少、适用性强的特点，同时具有通道利用率高，调制电路简单、更易于硬件实现等优势。

2 基于Gabor空间的压缩采样与重构

Gabor 变换本质上是在有限的时频栅格内对信号进行的短时傅里叶变换，具有良好的时频分析能力。而LFM 信号的时变特性使得该信号在Gabor变换下具有了良好的稀疏性。与分数阶傅里叶变换相比，Gabor变换的时频特性分析能力是通过加窗的方式获得的，因此并不依赖于调频率等原始信号先验信息，这使得Gabor变换更适用于未知调频率条件下LFM 信号的压缩采样系统设计。考虑到压缩采样系统的实现问题，本文在平移不变空间理论下，将Gabor变换等效成信号在Gabor空间内的展开，进而提出了基于Gabor空间的LFM信号压缩采样系统。

2.1 基于Gabor空间的LFM信号展开

本文LFM信号模型可以表示为：

其中，A为信号幅值，k'为调频率，f0为中心频率，信号带宽B=k'T。在特定的分数阶次下，LFM 信号在分数阶傅里叶变换下将表现为冲激函数。但在调频率未知时，分数阶傅里叶变换并不适用。为此，本文利用信号在Gabor 变换下的稀疏性，完成压缩采样系统设计。

对于连续时间LFM 信号x(t)，其Gabor 系数［14］可以表示为：

由式（3）构成的信号空间为Gabor 空间，可以看出，Gabor空间是一种具有多个生成函数的平移不变空间，不同生成函数之间通过调制的方式相互关联。

基于平移不变空间理论［15-16］，信号展开可以通过一个多通道系统实现。信号采样系统如图1 所示，图中假设生成函数个数为L（L=L2-L1+1，L1、L2由信号带宽确定）。该系统单个通道采样频率为1/T0，远远低于Nyquist 采样频率，但采样通道的增加，使得总采样频率与总采样点数成倍增加。理论上，为保证Gabor 基函数构成Riesz 基，时、频平移参数要满足T0f0≤1。这种条件下，基于Gabor空间的采样方法并不能够从总体上降低信号采样频率与采样点数。为此，本文将Gabor空间采样与压缩感知理论相结合，提出了基于Gabor空间的压缩采样系统。

2.2 LFM信号压缩采样系统

本文提出的基于Gabor 空间的压缩采样系统如图2所示，图中，采样通道个数为M，M＜L。采样过程中，LFM 信号同时进入M个通道，在第m个通道内，信号首先通过乘法器与调制函数进行调制，然后通过滤波器滤波，最后对滤波器输出进行采样以完成压缩采样过程。

与图1 中采样系统相比，本文基于Gabor 空间的压缩采样系统所采用的调制信号并不是具有单一频率的复指数信号，而是多个复指数信号的线性叠加。加权系数相互独立，服从分布：

图2 中单个通道采样频率为1/T0，表明本文压缩采样系统保留了Gabor空间采样系统低采样频率的特点。同时，采样通道个数满足M＜L，即本文压缩采样系统有效降低了采样通道个数。

本文压缩采样系统的另一点优势在于系统的工作稳定性更高。在图1中，一旦单个通道失效，将导致整个工作系统失效。而对于本文系统，单个通道内的调制信号是多个复指数信号的线性叠加，因此在一个或者少数几个通道失效的情况下，仍然能够通过重构算法，保证原始信号得到有效重构，因此系统的工作稳定性更高。

为进一步研究压缩采样系统工作原理，对压缩采样系统输出进行分析。在第m个通道内，t=kT0时刻的系统输出ym［k］可以表示为：

从式（5）可以看出，在t=kT0时刻，本文压缩采样系统任一通道的采样点，为图2 中L个通道采样点的线性叠加。由于M＜L，LFM 信号重构所需要的Gabor 系数无法通过简单的求逆等方式来获得。但考虑到Gabor 系数的稀疏性，可以通过压缩感知重构的方式来实现Gabor系数的重构。

2.3 压缩采样系统可实现性分析

本文基于Gabor 空间的压缩采样系统主要包含以下几个模块：调制模块、滤波模块、采集模块。压缩采样系统单通道采样频率较低，大大降低了对采集器工作频率的需求，因此可通过传统的A/D 转换器完成该部分功能。滤波模块是本文压缩采样系统的核心部分，传统滤波器设计关注的是滤波器的幅频响应特性，但本文压缩采样系统中，低通滤波器的设计需要考虑冲激响应特性（满足g*（-t））。随着模拟集成滤波电路的发展，现阶段，满足特定冲激响应的滤波器模拟集成电路实现已成为可能［17-18］，该技术为本文高斯模拟滤波器设计提供了解决方案。调制模块中，调制信号是不同频率的调制信号的线性叠加。为尽可能降低实现难度，本文加权系数为双极性参数。因此调制模块可通过多个单一频率调制信号通过正接或反接的方式合成本文所需要的调制信号。

与现有的RD、MWC 压缩采样系统相比［4-5］，本文压缩采样系统不需要高精度的时序电路来产生满足Nyquist频率的随机序列，因此具有更好的可实现性。此外，与文献［12］中所提的基于Gabor 变换的压缩采样系统相比，本文压缩采样系统在系统实现方面还具有以下几方面优势：

（1）文献［12］中，单个采样点通过单个通道获得，采样点数与所需要的通道个数相同，而本文压缩采样系统中，滤波器的引入使得单个通道可获得多个采样点，在相同采样点数下，所需要的通道个数大大降低，通道利用率显著提升。

（2）文献［12］中，单个通道的调制函数为复指数信号、窗函数的叠加，且不同通道采用不同的调制函数，需要生成的调制函数个数较多，而本文压缩采样系统中调制信号仅为复指数信号的叠加，调制函数生成简单且调制函数个数较少。

3 Gabor系数重构模型与误差分析

3.1 Gabor系数重构模型

从式（5）可以看出，压缩采样系统输出本质上是对Gabor系数的线性叠加。构造向量及矩阵如式：

式中y·k∈ℂM，D∈ℂM×L，z·k∈ℂL，则压缩采样系统输出可以表示为：

在压缩感知理论下，D为测量矩阵。由式（4）可知，本文采用的测量矩阵为贝努利随机矩阵。假设稀疏向量z·k的稀疏度为S，则当M≥O（S×log（L/S））时，该矩阵能够以很高的概率满足RIP性质［19］。在压缩感知理论框架下，向量z·k的重构模型可以表示为：

该模型可以通过压缩感知重构算法求解，本文采用了稀疏贝叶斯学习（Sparse Bayesian Learning，SBL）算法［20］。

3.2 重构误差分析

在实际的工作过程中，压缩采样系统将不可避免地受到非理性因素的影响。为此，在综合考虑噪声、失配的条件下，本文对LFM 信号的重构误差进行分析。

假设信号x（t）由两部分组成，x（t）=x0（t）+e（t），x0（t）为不含噪声的LFM 信号，e（t）为高斯噪声。在第m个通道内，t=kT0时刻的系统输出ym［k］可以表示为：

考虑到测量过程中存在的测量噪声wl[k]，ym［k］可以表示为：

则压缩采样系统输出可以表示为矩阵形式：

假设n·k=De·k+w·k，则式（13）可以简化为：

假设噪声方差为σn2，则含噪条件下的重构模型为：

根据文献［21］中推导的结果，Gabor 系数的重构误差可以表示为：

式中μ0、μ1为常数，表示z·k的S项最佳逼近。本文LFM 信号为有限时域支撑信号，考虑到信号能量主要分布在有限的频带范围内，定义信号本质带宽F=[Ω1，Ω2]，满足：

式中，X0(f)为信号x0（t）的傅里叶变换，Fc表示F以外的频带，ϵΩ＜1。假设本质带宽内信号为，则有

假设窗函数g（t）的本质带宽为[-Ωg，Ωg]，为保证采样过程不会对本质带宽内LFM 信号造成信息丢失，参数L1、L2设置为：

在综合考虑噪声以及失配的影响下，LFM 信号的重构误差如推论1所示。

推论1：x（0t）为不含噪声的LFM 信号，为经过压缩采样后对Gabor系数的重构。利用该系数对原始LFM信号进行重构，则重构误差为

式中βγ为Riesz基上界。

证明：见附录A。

4 实验与分析

4.1 仿真LFM信号

根据式（1）产生两种LFM 信号，信号参数设置如表1 所示，信号时域波形以及频谱如图3 所示。两种LFM 信号时域支撑均为［0，1μs］，本质带宽分别为［-420 MHz，420 MHz］、［-620 MHz，620 MHz］。表中给出了调频率的取值，但利用所提方法进行压缩采样与重构时，调频率不会作为先验信息。

表1 两种LFM信号参数设置Tab.1 Parameter setting for two LFM signals

4.2 采样系统参数设置

针对上述LFM 信号，利用本文压缩采样系统对信号进行压缩采样。采样系统中g（t）为高斯窗函数，该窗函数在［0，0.075 μs］上紧支撑，本质带宽为［-60 MHz，60 MHz］。

在本文压缩采样系统中，时、频平移参数T0、f0对系统性能影响较大。首先，为了保证Riesz 基的存在性，频移参数需要满足如下条件：

式中，C、D满足0＜C≤D＜∞，G(f)为g（t）的傅里叶变换。参数f0取值越小，C、D越接近，Gabor 框架的鲁棒性越好，但同时L值越大，采样系统通道越多。不同频移f0条件下，（D-C）/C的取值如图4所示。在综合考虑框架稳定性以及采样系统通道个数的条件下，设定f0=20 MHz。

在Gabor 空间内，构成Riesz 基的另一个必要条件为T0f0≤1。由于f0=20 MHz，则不同时移参数T0条件下，原始LFM 信号在Gabor 系数下的重构误差如图5 所示。实验中，采用相对误差（Relative Error，RE）作为重构误差量化指标。相对误差表达式为：

式中为Gabor系数下的重构信号。

可以看出，当T0≥0.05 μs 时，T0×f0＞1，窗函数及其平移、调制形式并不能构成Riesz 基，相对误差较大。相反，T0＜0.05 μs 时，Riesz 基构造条件得到满足，此时，T0值越小，采样密度越大，相对误差越低。综上所述，为保证系统的有效性，设置T0＜0.05 μs。

在给定窗函数以及参数f0、T0的条件下，线性调频信号在Gabor变换下的稀疏度S即可确定，再根据信号本质带宽以及式（21）即可确定Gabor空间采样系统中通道个数L。而根据压缩感知理论，本文压缩采样系统中采样通道个数满足M≥O（S×log（L/S））。需要说明的是，上述通道个数确定过程是以信号本质带宽为先验信息的。通常条件下，信号频带越宽，L取值越大，所需要的通道个数越多。而对于任意的线性调频信号，若信号带宽未知，则只能对信号的本质带宽进行假设，而压缩采样后的重构过程仅能保留原始信号本质带宽内信息，而本质带宽外的信息将会丢失。要解决上述问题，需要在压缩采样系统中添加自适应机制，以在采样过程中自适应调整系统参数。目前，自适应的压缩采样方法仍在研究当中，具体的采样方案与系统组成仍需进一步的探索与完善。

4.3 压缩采样与重构性能分析

在给定时、频移参数的条件下，对本文压缩采样系统性能进行分析。实验过程中，f0=20 MHz，T0设置为0.045 μs、0.040 μs、0.035 μs。此时压缩采样系统的单个通道的工作频率分别为22.2 MHz、25 MHz、28.6 MHz。压缩重构是对Gabor 系数的重构，因此该实验中重构相对误差为：

可以看出，随着采样通道个数的增加，Gabor 系数重构概率不断提高，并逐渐趋近于1。同时，当通道个数在9～25 之间时，相同的通道个数下，采样频率越高，重构概率越高。这是因为采样频率的提高增加了采样点数，而采样点数的增加使得信号的重构效果得到有效改善。

对压缩采样点添加不同信噪比的噪声，以分析噪声对本文压缩采样与重构方法的影响。对于信号1，通道个数分别设置为16、20、24；对于信号2，通道个数设置为18、22、26。此时，不含噪声条件下，两种信号的重构概率均大于95%。其他参数设置保持不变，则不同信噪比下，信号的重构概率如图7所示。

从图7中可以看出，当信噪比较低时，信号并不能得到有效重构。随着信噪比的升高，信号重构概率不断提高。当信噪比达到25 dB 时，重构概率主要取决于通道个数，通道个数越多，重构概率越高。另一方面，可以看出，增加采样通道能够有效提高含噪条件下的重构效果，例如，对于信号1，当M=20、24时，信噪比大于18 dB即可实现重构概率稳定在95%以上。因此，在应用过程中，可以通过适当增加采样通道的方式来改善压缩采样系统在含噪条件下的重构效果。

引入不同的采样方法进行对比分析，对比方法包括：

方法1：Gabor空间采样；

方法2：Gabor空间采样+任意单通道失效；

方法3：RD压缩采样+分数阶傅里叶字典［6］；

方法4：RD 压缩采样+分数阶傅里叶字典+分数阶次失配；

方法5：基于Gabor变换的压缩采样［12］；

方法6：本文基于Gabor空间的压缩采样；

方法7：本文基于Gabor 空间的压缩采样+任意单通道失效；

方法8：本文基于Gabor 空间的压缩采样+任意三通道失效。

对于方法1、2、5、6、7 以及8，时、频移参数分别设置为f0=20 MHz，T0=0.035 μs，所提方法中单通道采样点数K可以通过下式确定：

方法3、4、5、6、7、8 均为压缩采样系统，方法3 中分数阶傅里叶字典中旋转角α=-arccot(2π·k′)，考虑未知调频率的条件下，分数阶次将发生失配现象（方法4），此时假设旋转角α=-arccot(2π·(k′ +))，其中，。实验中，设置方法3、4、5、6 具有相同的总采样点数。8 种不同采样方法的采样效果与重构误差如表2所示，含噪条件下，噪声信噪比设定为20 dB。

表2 采样效果与重构误差对比Tab.2 Comparison of sampling and reconstruction error

两种信号的本质带宽分别为［-420MHz，420MHz］、［-620 MHz，620 MHz］，在Nyquist 采样定理下，最低的采样频率分别为840 MHz 以及1240 MHz。可以看出，方法1 与方法6 具有相同的单通道采样频率与采样点数，但方法1 采样通道的增加，使得其总采样频率以及总采样点数均高于传统Nyquist 采样方法。由于方法1 不同通道包含有不同的成份信息，因此当任意单通道失效时（方法2），重构误差明显升高。而对于方法5，其单个通道内的调制信号是不同频率信号的线性叠加，因此当任意单通道以及三通道失效时（方法7、8），重构误差并未明显升高。方法5 与方法6 的重构效果相接近，但方法5 通道个数较高，并不利于硬件实现。方法3 利用了调制信息产生分数阶傅里叶字典，重构效果较好，特别是在不含噪声的条件下，重构误差远远低于其他方法，但在调频率未知的条件下，分数阶次将发生失配现象，则从方法4 可以看出，两种信号的重构误差较大，信号并不能得到有效重构。

4.4 实测信号实验

为进一步验证本文压缩采样系统性能，利用实测的LFM 信号进行压缩采样与重构实验。LFM 信号发生与采集设备如图8所示。图中同一个机箱内安装有M9381A 以及M9391A 两套PXI 设备。软件系统中，89600 VSA 用来记录M9391A 中采集到的信号，并对采集到的信号进行基本的频谱分析。

实验过程中，LFM信号本质带宽设置为［-90 MHz，90 MHz］，因此在Nyquist采样定理下，该信号的最低采样频率为180 MHz。信号以射频周期信号的形式发出，调制频率为1.3 GHz，信号的周期为14.62 μs。在接收端，信号经解调后，再经过M9391A 采集，信号采集频率为204.7 MHz，采集得到的信号时域图如图9（a）所示。利用89600 VSA 对信号进行频谱分析，如图9（b）所示。

对于实测LFM 信号，利用上述8 种采样系统进行采样与重构实验。本文压缩采样系统参数设置为Wg=1.235 μs，Ωg=3.627 MHz，f0=2.13 MHz，T0=0.352 μs，单通道采样频率为2.84 MHz。根据式（21），方法1 中的最低通道个数为87。本文压缩采样系统中，系统通道个数设定为30。其他参数设置与仿真实验保持一致，不同方法下信号的压缩采样与重构效果对比如表3 所示，图10 中为相应的重构信号时域波形。

表3 实测信号采样效果与重构误差对比Tab.3 Comparison of sampling and reconstruction error for measured signals

从实验结果可以看出，方法3 下原始信号能够得到有效重构，但当分数阶次发生失配时（方法4），RD 压缩采样+分数阶傅里叶字典的压缩采样与重构方法将失效。方法1 的重构误差最低，但是该方法所需要的总采样频率与总采样点数均高于Nyquist 采样方法。方法5 与方法6 的重构效果相近，但方法5 所需要的通道个数过多，难以硬件实现。当考虑通道失效时（方法2、方法6 以及方法8），本文压缩采样系统在任意单通道以及三通道失效时，重构误差变化不大，重构信号波形基本不受影响，而方法1 在任意单通道失效时，某特定频段范围内的重构信号产生明显失真。因此，本文压缩采样系统具有更高的工作稳定性。

5 结论

本文研究了宽带LFM 信号的压缩采样与重构方法，针对现有压缩采样系统在采样过程中存在的采样系统不适用、调制信息依赖等问题，提出了一种基于Gabor 空间的LFM 信号压缩采样与重构方法。该方法不需要LFM 信号调频率作为先验信息，具有更广泛的适用性。通过仿真与实测信号，验证了本文LFM 信号压缩采样与重构方法的有效性，实验结果表明，在保证原始LFM 信号有效重构的前提下，本文压缩采样与重构方法降低了LFM 信号的采样频率与采样点数，并提高了系统的工作稳定性。

附录A